基于MATLAB的一類生態(tài)數(shù)學(xué)模型的建模仿真

席偉

摘要：圍繞野生生物保護區(qū)的生態(tài)數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB的OBE繪圖器pplane，得到了此類生態(tài)模型的臨界點、相軌線、積分曲線，并且利用MATLABsimulink系統(tǒng)實現(xiàn)了此類生態(tài)系統(tǒng)模型的仿真設(shè)計，最后給出了OBE軟件的圖形結(jié)果及simulink的仿真結(jié)果，對推動此類生態(tài)模型在具體實踐中的應(yīng)用和普及，具有實際意義。

關(guān)鍵詞：生態(tài)數(shù)學(xué)模型；OBE；Simulink；建模仿真

中圖分類號：TP391 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（201 6）29-0193-02

1微分方程組穩(wěn)定性與相平面概述

自然世界中很多現(xiàn)象是以二維一階微分方程組作為模型的，即

微分方程的穩(wěn)定性理論由俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫創(chuàng)立，通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，然后判斷李雅普諾夫函數(shù)V（x）及dV/dt的符號就可以判斷出臨界點的穩(wěn)定性。同時法國數(shù)學(xué)家龐加萊創(chuàng)建了微分方程的定性理論，通過構(gòu)建微分方程的相平面、相軌線、平衡解來分析在平衡點附近的微分方程的相軌線的變化趨勢，這些理論構(gòu)成了微分方程的定性與穩(wěn)定性理論，是微分方程的主要發(fā)展方向。

2基于MATLAB的oBE軟件與Simulink仿真系統(tǒng)概述

微分自治系統(tǒng)（1.1）的方向場及相軌線可以由OBE軟件畫出，本文使用的是JohnPolking建立的基于MATLAB的pplane程序，這個程序可以免費使用（math.rice.edu/-dfield），pplane程序界面如圖1所示。

通過pplane軟件將微分自治系統(tǒng)輸入到The differentialequatioits，然后在The display window輸入x，y的取值范圍，點擊proceed按鈕得到相應(yīng)微分系統(tǒng)的向量場，并且可以在向量場中選定初值點得到對應(yīng)的相軌線，而且pplane軟件可以求解出微分自治系統(tǒng)的平衡點，程序運行結(jié)果如圖2所示。

自治微分系統(tǒng)（1）可以通過Simulink系統(tǒng)和仿真環(huán)境得到相應(yīng)的積分曲線，Simulink是目前仿真領(lǐng)域首選的計算機環(huán)境。Simulink系統(tǒng)具有豐富的模塊庫：連續(xù)模塊、非連續(xù)模塊、離散模塊、邏輯模塊、數(shù)學(xué)模塊信號路線模塊等，通過這些模塊庫可以容易的建立所要研究的系統(tǒng)框圖，通過執(zhí)行系統(tǒng)框圖就可以得到相應(yīng)系統(tǒng)的仿真結(jié)果。Simulink系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示，仿真結(jié)果如圖4所示。

3野生生物保護區(qū)生態(tài)數(shù)學(xué)模型的建模與仿真

某大型野生生物保護區(qū)，現(xiàn)有x₀只山羊和y₀只老虎，t個月后，山羊的數(shù)量x（t）和老虎的數(shù)量y（t）滿足自治微分系統(tǒng)：

（2）

利用MATLAB OBE軟件pplane可以畫出生態(tài)系統(tǒng)（圖5）的向量場和相軌線以及臨界點，如圖5、圖6所示，畫出了三條相軌線，分別過初值點（1000，4000），（800，3000），（600，1500），且給出了臨界點f300，5001，臨界點附近的相軌線均為閉軌線，從而可以分析出老虎與山羊的數(shù)量將會周期變化，并且臨界點（300，500）是穩(wěn)定的平衡解，但不是漸進穩(wěn)定的。

利用Simulink仿真系統(tǒng)可以給出生態(tài)系統(tǒng)（圖5）的結(jié)構(gòu)框圖及建模仿真結(jié)果圖，如圖7、圖8所示，給出了經(jīng)過初值點（1000，4000）的仿真結(jié)果圖，從仿真結(jié)果曲線可以看出老虎與山羊的數(shù)量變化周期是200（月），山羊數(shù)量的最大值是1800只，第一次出現(xiàn)時間是170（月），老虎數(shù)量的最大值是5000只，第一次出現(xiàn)的時間是180（月）。

4結(jié)論

本文利用MATLAB OBE軟件pplane及Simulink仿真系統(tǒng)討論了一類生態(tài)系統(tǒng)模型，給出了此類生態(tài)系統(tǒng)的向量場、典型的相軌線、臨界點，同時也給出了此類生態(tài)系統(tǒng)的Simulink結(jié)構(gòu)框圖和系統(tǒng)仿真圖，并且分析得到了此類生態(tài)系統(tǒng)的循環(huán)周期、最大值等結(jié)論，實例表明MATLAB的pplane軟件與Simu-link仿真系統(tǒng)在生態(tài)系統(tǒng)建模仿真問題上有著重要的應(yīng)用價值。