用改進(jìn)的弦法求解奇異問題

侯新華,初元紅,劉 杰,蔣紅敬

(1. 湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院商貿(mào)旅游系,中國(guó) 長(zhǎng)沙 410208；2.黃河科技學(xué)院,中國(guó) 鄭州 450063)

用改進(jìn)的弦法求解奇異問題

侯新華1,初元紅2,劉 杰2,蔣紅敬2

(1. 湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院商貿(mào)旅游系,中國(guó) 長(zhǎng)沙 410208；2.黃河科技學(xué)院,中國(guó) 鄭州 450063)

在Hilbert空間，將外推技巧和弦線法相結(jié)合，得到新的迭代格式，用來求解奇異問題，使改進(jìn)的弦線法收斂速率由0.618 034提高到0.381 966，并通過數(shù)值例子檢驗(yàn).此結(jié)論對(duì)一般的Banach空間同樣適用.

Hilbert空間；弦法；奇異問題；幾何特征；收斂速率

自上世紀(jì)六十年代開始，Ostrowski[1]和Traub[2]就展開研究如何構(gòu)造一些解非線性方程的迭代格式，使得每步計(jì)算量較少但收斂階較高，由此開啟了現(xiàn)在十分熱門的解非線性方程的算法研究.其基本思想為：利用前面獲得的關(guān)于方程左端函數(shù)的信息—在函數(shù)充分光滑的前提下，逐步迭代轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)的信息.如Newton法[3-4]，每步只需要計(jì)算一個(gè)函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值，其收斂階為2.上面的情況只適用于函數(shù)充分光滑且在解點(diǎn)處導(dǎo)算子的逆存在，當(dāng)導(dǎo)算子的逆不存在時(shí)，無論是算法的收斂條件，收斂性還是收斂速率都受到很到的影響，于是Decker和Kelley[5-6]等人針對(duì)上面特殊情況進(jìn)行了研究，首次提出Newton法在一個(gè)星形區(qū)域內(nèi)仍然收斂且為線性收斂.之后，楊月梅和潘狀元[7]又證明了Newton法的變體弦線法的收斂性并得到了漸進(jìn)收斂率0.618 034.本文修正了弦法，使得漸進(jìn)收斂率提高到0.381 966.

1 主要引理

設(shè)F為Hilbert空間H到H的光滑非線性算子，x*為方程F(x)=0的解.考慮用弦線法[8-9]求解非線性方程，其迭代如下：

xn+1=xn-F(xn,xn-1)-1F(xn).

(1)

假設(shè)F′(x*)為指數(shù)為0的Fredholm算子，用N和X表示F′(x*)零空間和值域，用PN和PX表示H到N和X上的投影算子且滿足[10]：

引理1 若F滿足下列條件:

(1)dimN=1,

(2)B(z)=PNF″(x*)(z,PN)為N上的可逆算子,?z∈N,

引理3 ?x,y∈H，H是Hilbert空間，t為參數(shù)，則有

‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2.

(2)

2 主要結(jié)論

我們提出如下改進(jìn)迭代格式：

(3)

這里tn是依賴于n的待定常數(shù)，在奇異點(diǎn)附近，弦法在F′(x*)的零空間N方向收斂速度特別慢，我們主要想法是選擇適當(dāng)tn，從而加速迭代格式(3)在零空間N方向收斂速度.

(4)

利用Hilbert空間的特征不等式得

將上式帶入得

為了提高算法的收斂速率,令

3 計(jì)算實(shí)例

取初始點(diǎn)x1=0.1，x2=0.5，y1=0.12和y2=0.5，部分計(jì)算結(jié)果見表1.

表1 部分計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

[1] BALL L B. Convergence of the Newton process to multiple solutions[J]. Numer Math, 1966,9(1):23-37.

[2] REDDIEN G W. On Newton’s method for singular problems[J]. SIAM J Numer Anal, 1978,15(5):993-996.

[3] 初元紅,孫貴玲. 用改進(jìn)的Newton法求解非線性奇異問題[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2014,37(5):81-84.

[4] 付永鋼.奇點(diǎn)附近牛頓迭代法的加速[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用, 2002,32(2):139-143.

[5] DECKER D W, TELLEY C T. Convergence rates for Newton’s method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal, 1983,20(2):296-314.

[6] DECKER D W, KELLEY C T. Convergence acceleration for Newton’s method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal, 1982,19(1):219-229.

[7] 楊月梅,潘狀元. 用非精確的平行割線法求解奇異問題[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2013,43(6):240-245.

[8] 楊忠華.弦法在奇異點(diǎn)處一個(gè)改進(jìn)格式[J].高等計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1990,(2):151-157.

[9] 初元紅,潘狀元，劉曉敏.用修正的Broyden方法求解奇異問題[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2006,11(1):39-42.

[10] 劉炳初. 泛函分析[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2004.

(編輯 HWJ)

The Modified Chord Method for Solving Singular Problem

HOUXin-hua1,CHUYuan-hong2*,LIUJie2,JIANGHong-jing2

(1.Business and Tourism Department, Hunan Industry Poletechnic, Changsha 410208, China;2.Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China)

In Hilbert space, the singular problems are solved by modifying secant method and using the extrapolation technique. Our modified chord method is shown to yield a new sequence that improves the convergence rate from 0.618 034 to 0.381 966. This method is tested by numerical examples. This new approach can also be applied to a Banach space.

Hilbert space; chord method; singular problems; geometry character; convergence rate

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.02.014

2016-11-20

鄭州市科技局資助項(xiàng)目(20141374)和(20141375)

O241

A

1000-2537(2017)02-0085-04

*通訊作者,E-mail：chuyuanh@163.com