一種提高軌道預(yù)測(cè)精度的遞推估值算法

張 冰，喬建江

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

一種提高軌道預(yù)測(cè)精度的遞推估值算法

張 冰，喬建江

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

測(cè)控雷達(dá)系統(tǒng)必須具有跟蹤目標(biāo)速度快、精度要求高等特點(diǎn)，并且當(dāng)目標(biāo)信號(hào)受到障礙物遮擋目標(biāo)丟失后，要求測(cè)控系統(tǒng)能夠?qū)δ繕?biāo)運(yùn)行軌跡進(jìn)行精確預(yù)測(cè)，提高目標(biāo)重新出現(xiàn)后的重捕概率。為了提高軌道預(yù)測(cè)精度，在軌道跟蹤算法基礎(chǔ)上引入了最小二乘法數(shù)據(jù)外推理論，使用最小二乘法對(duì)丟失后的目標(biāo)軌道數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)估值外推分析，并針對(duì)最小二乘法數(shù)據(jù)外推隨著時(shí)間增長(zhǎng)精度快速變差的缺點(diǎn)，引入了遞推的最小二乘法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析表明，使用遞推最小二乘法能夠大幅度提高目標(biāo)丟失5 s內(nèi)的軌道預(yù)測(cè)精度，滿足雷達(dá)測(cè)控系統(tǒng)記憶跟蹤和目標(biāo)重捕的要求。

軌道預(yù)測(cè)；遞推估值；最小二乘法；記憶跟蹤

0 引言

為了完成航空或航天飛行器再入飛行境內(nèi)段航區(qū)和著落段航區(qū)的遙控、遙測(cè)、跟蹤定位和圖像傳輸?shù)热蝿?wù)要求，測(cè)控系統(tǒng)需要對(duì)目標(biāo)進(jìn)行快速地捕獲跟蹤，為了能使跟蹤系統(tǒng)正常工作，當(dāng)目標(biāo)信號(hào)受到障礙物遮擋丟失時(shí)，要求對(duì)跟蹤目標(biāo)軌道進(jìn)行預(yù)測(cè)，一旦目標(biāo)重新進(jìn)入視場(chǎng)，能夠快速準(zhǔn)確地對(duì)目標(biāo)實(shí)施重捕[1-2]。跟蹤目標(biāo)軌跡預(yù)測(cè)實(shí)質(zhì)是利用目標(biāo)進(jìn)入盲區(qū)前飛行測(cè)量數(shù)據(jù)，估出各階導(dǎo)數(shù)推出目標(biāo)飛行軌跡進(jìn)行跟蹤，從而使目標(biāo)出盲區(qū)時(shí)不丟失[3]。目前使用較普遍的方法是拉格朗日插值算法和牛頓插值算法，拉格朗日插值算法在差值區(qū)間中部插值精度較高，但在靠近插值區(qū)間兩端則會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，影響整個(gè)插值的精度，從而限制了其在數(shù)據(jù)處理和擬合中的應(yīng)用[4]。而牛頓插值算法插值數(shù)據(jù)較多時(shí)，需要大量的計(jì)算時(shí)間，從而影響系統(tǒng)實(shí)時(shí)性[5]。此外，目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)的速度和方向發(fā)生改變，也會(huì)造成實(shí)時(shí)跟蹤的困難，為了補(bǔ)償跟蹤誤差，達(dá)到實(shí)時(shí)、穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)的目的，本文在分析了傳統(tǒng)最小二乘法軌道預(yù)測(cè)精度的基礎(chǔ)上，提出了一種實(shí)時(shí)遞推的最小二乘預(yù)測(cè)跟蹤算法，能夠滿足大多數(shù)雷達(dá)測(cè)控系統(tǒng)中對(duì)目標(biāo)丟失后重捕的需要[6]。

1 最小二乘法

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過(guò)最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，它用最簡(jiǎn)單的方法求得一些絕對(duì)不可知的真值，而令誤差平方之和為最小[7]。為了確定n個(gè)不可直接測(cè)量的未知量X1，X2，…，Xn的估計(jì)量x1，x2，…，xn，可對(duì)該n個(gè)未知量Yn進(jìn)行直接測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為l1，l2，…，ln。設(shè)未知量Y1，Y2，…，Yn的估計(jì)值用y1，y2，…，yn表示，則線性參數(shù)的測(cè)量方程為：

(1)

相應(yīng)的估計(jì)量為：

(2)

由于測(cè)量誤差的存在，估計(jì)值與實(shí)測(cè)值不完全相等，其誤差方程為：

(3)

由最小二乘法可知，參數(shù)的最佳值應(yīng)該在殘余誤差平方和為最小的條件下給出，即應(yīng)滿足

(4)

利用極值的偏導(dǎo)數(shù)為零的性質(zhì)，現(xiàn)用殘余誤差平方和對(duì)t個(gè)未知量求偏導(dǎo)，并令其為零，可得到t個(gè)方程，整理后得：

(5)

此方程即為線性參數(shù)最小二乘法的正規(guī)方程，方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，有唯一確定的解，將其表示為矩陣形式：

(6)

令

則式(6)可表示為：

ATV=0。

(7)

式(3)可表示為：

(8)

把式(7)代入式(8),得

(9)

由此可得未知量最佳估計(jì)值的矩陣解為：

(10)

本系統(tǒng)中選用的二次拋物線擬合函數(shù)為：

y=b0+b1x+b2x2。

(11)

待定系數(shù)有3個(gè)，即b0，b1和b2。設(shè)定輸入值x即為采樣時(shí)刻，做變量變換,

α0=1，α1=x，α2=x2。

(12)

則原函數(shù)變?yōu)?

y=b0α0+b1α1+b2α2。

(13)

設(shè)選定觀測(cè)次數(shù)為n，則

(14)

在確定了觀測(cè)次數(shù)n后，矩陣A可完全確定，那么在計(jì)算式(1)中，[ATA]-1AT可視為已知，可預(yù)先計(jì)算其結(jié)果并作為數(shù)據(jù)表存于程序中，從而大大減少了程序執(zhí)行過(guò)程中的運(yùn)算量，節(jié)省程序的處理時(shí)間。

若令

T=[ATA]-1AT，

(15)

則計(jì)算式(10)變?yōu)?

(16)

這樣，將矩陣T作為數(shù)據(jù)表放在程序末端，實(shí)際上求擬合曲線的參數(shù)只需要進(jìn)行一次矩陣與列向量之間的乘法運(yùn)算就可以了。

2 數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)與結(jié)果分析

預(yù)測(cè)精度是反映預(yù)測(cè)效果好壞的重要指標(biāo)[8]，本文中采用系統(tǒng)隨機(jī)誤差來(lái)度量預(yù)測(cè)效果的好壞，目標(biāo)角度預(yù)測(cè)值的系統(tǒng)隨機(jī)誤差表示如下：

采用某雷達(dá)天線實(shí)際測(cè)角定位數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，首先分析了通過(guò)使用不同觀測(cè)點(diǎn)，預(yù)測(cè)不同時(shí)刻產(chǎn)生的系統(tǒng)隨機(jī)誤差，如圖1所示。

圖1 觀測(cè)值數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)值誤差影響

從圖1中可以看出，對(duì)于系統(tǒng)模型數(shù)據(jù)，當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)為5個(gè)時(shí)，通過(guò)最小二乘法預(yù)測(cè)的軌道數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)產(chǎn)生了很大的偏差，并且隨著預(yù)測(cè)點(diǎn)數(shù)的增加，誤差急劇增大，最終導(dǎo)致了數(shù)據(jù)的發(fā)散。隨著觀測(cè)點(diǎn)數(shù)逐漸增加，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的偏差逐漸減小，但是當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)某個(gè)程度時(shí)，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差再次增大，因此對(duì)于觀測(cè)個(gè)數(shù)n的確定，需要根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)特征等多種因素綜合考慮，如果n取值太小，容易造成較大的變化幅度，導(dǎo)致預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)誤差較大；當(dāng)n取值太大的時(shí)候，預(yù)測(cè)公式對(duì)于系統(tǒng)的變化反應(yīng)速度較慢，預(yù)測(cè)值不能及時(shí)反映出系統(tǒng)的真實(shí)變化規(guī)律，同樣造成較大的誤差[10]。

通過(guò)上面的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)為50時(shí)得到了較好的預(yù)測(cè)估值效果，基本上可以滿足一般系統(tǒng)的需求，采用50次觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行外推估值結(jié)果與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比如圖2所示。從結(jié)果中可以看出，隨著估值量的增加，誤差仍然在不斷增大，當(dāng)估值量達(dá)到一定程度后，系統(tǒng)仍然有發(fā)散的趨勢(shì)。為了解決以上問(wèn)題，可以引入遞推最小二乘法。

遞推最小二乘法就是當(dāng)被辨識(shí)系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)，每取得一次新的觀測(cè)數(shù)據(jù)后，就在前一次估計(jì)結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用新引入的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)前次估計(jì)的結(jié)果根據(jù)遞推算法進(jìn)行修正，從而遞推地得出新的參數(shù)估計(jì)值，這樣隨著新的觀測(cè)數(shù)據(jù)的逐次引入，一次接一次地進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，直到參數(shù)估計(jì)值達(dá)到滿意的精確度為止。采用遞推最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)外推結(jié)果如圖3所示。從分析數(shù)據(jù)中可以看出，遞推最小二乘法估值數(shù)據(jù)能夠真實(shí)有效地反映實(shí)際數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，估值數(shù)據(jù)總體精度得到了很大的提升。

圖2 目標(biāo)觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值比較

圖3 采用遞推算法觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值比較

當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入盲區(qū)導(dǎo)致信號(hào)丟失后，測(cè)控系統(tǒng)自動(dòng)轉(zhuǎn)入記憶跟蹤工作方式，并且通常要求在5 s內(nèi)能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡，完成重新發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后的自動(dòng)重捕[11]。從上述的分析中可以看出，使用傳統(tǒng)的最小二乘法預(yù)測(cè)目標(biāo)軌跡誤差隨著時(shí)間的推移急劇增大，無(wú)法滿足記憶跟蹤對(duì)目標(biāo)重捕的要求。而使用遞推最小二乘法，通過(guò)將系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)前次的估值結(jié)果進(jìn)行不斷地修正，可以大幅度提高估值精度，減小估值誤差，在5 s內(nèi)的估值結(jié)果完全能夠滿足對(duì)目標(biāo)重捕的需要，提高了目標(biāo)捕獲概率。

3 結(jié)束語(yǔ)

遞推最小二乘法在軌道預(yù)測(cè)方面具有計(jì)算簡(jiǎn)單、實(shí)時(shí)性強(qiáng)和預(yù)測(cè)精度高等優(yōu)點(diǎn)，但其預(yù)測(cè)精度受到觀測(cè)數(shù)據(jù)的選取和外推數(shù)據(jù)長(zhǎng)度等因素的影響，只有通過(guò)合理選取觀測(cè)數(shù)據(jù)，才能獲得一定時(shí)間內(nèi)的高精度預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

由上述分析可以看出，該算法解決了以往算法預(yù)測(cè)精度低、計(jì)算復(fù)雜等缺點(diǎn)，在雷達(dá)測(cè)控領(lǐng)域的應(yīng)用完全能夠滿足系統(tǒng)軌道預(yù)測(cè)和記憶跟蹤的需求，配合跟蹤方式的適當(dāng)調(diào)整，可以達(dá)到目標(biāo)丟失后的快速重捕和穩(wěn)定跟蹤的目的，相比于常規(guī)的軌道數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)算法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

[1] 黃玉學(xué)．智能天線技術(shù)[J].無(wú)線電通信技術(shù)，2006，32(4)：27-29.

[2] 張 曉，薛鋒章.智能天線內(nèi)置一體化合路校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)[J].移動(dòng)通信，2014，38(2)：76-79.

[3] 高京龍．單脈沖單通道跟蹤體制精度分析方法[J]．無(wú)線電工程，2007，37(7)：32-34.

[4] 李 強(qiáng)，崔 巖．切比雪夫多項(xiàng)式在單臺(tái)經(jīng)緯儀記憶跟蹤中的應(yīng)用[J]．激光與光電子學(xué)進(jìn)展，2013(4)：172-176.

[5] 戴聚嶺．多項(xiàng)式插值法在工程計(jì)算中應(yīng)用[J].福建電腦，2006(4)：178-179.

[6] 米芳彬，徐小剛，梁 健．基于有限記憶最小二乘的雷達(dá)誤差配準(zhǔn)算法[J]．無(wú)線電工程，2016，46(2)：65-68.

[7] 孫明軒，黃寶?。鷮W(xué)習(xí)控制[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1999.

[8] 費(fèi)業(yè)泰．誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1994.

[9] 章勁松，林宇生，譚云華.GEO衛(wèi)星多波束天線指向測(cè)量方法與誤差分析[J]．無(wú)線電通信技術(shù)，2015，41(6)：58-60.

[10] 李連升，張志英，劉紹球．現(xiàn)代雷達(dá)伺服控制[M]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1987.

[11] 董旭鋒，張志彪．天線伺服系統(tǒng)的冗余設(shè)計(jì)[J]．無(wú)線電通信技術(shù)，2012，38(6)：42-44.

張 冰 男，(1981—)，碩士，工程師。主要研究方向：測(cè)控雷達(dá)伺服控制系統(tǒng)。

喬建江 男，(1974—)，碩士，高級(jí)工程師。主要研究方向：測(cè)控雷達(dá)伺服控制系統(tǒng)。

Recursive Estimation Algorithm for Improving Orbit Prediction Precision

ZHANG Bing,QIAO Jian-jiang

(The54thResearchInstituteofCETC,ShijiazhuangHebei050081,China)

The antenna of TT&C system must have characteristics of high dynamic capability and high measurement precision.When the signal is shielded from the antenna and the target is lost,it is required to predict the orbit and re-capture the target quickly.The least square method is analyzed to improve the measurement precision.A recursive-estimation algorithm is used to solve the problem of the least square method in satellite orbit forecast.The test and data analysis indicate that the orbit prediction precision is improved greatly through the recursive-estimation algorithm,and it can meet the requirement of memory track and target re-capture.

satellite orbit forecast;recursive-estimation algorithm;least square method;memory track

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.05.20

張 冰,喬建江.一種提高軌道預(yù)測(cè)精度的遞推估值算法[J].無(wú)線電工程,2017,47(5):84-86，94.[ZHANG Bing,QIAO Jianjiang.Recursive Estimation Algorithm for Improving Orbit Prediction Precision[J].Radio Engineering,2017,47(5):84-86，94.]

2017-02-28基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃基金資助項(xiàng)目(2013CB37900)。

TN850

A

1003-3106(2017)05-0084-03