任意邊界條件非局部彈性桿縱振特性分析

杜敬濤　許得水　呂朋　劉志剛

摘要：基于非局部彈性理論，研究了彈性邊界約束條件下桿結(jié)構(gòu)縱向振動特性。在非局部桿兩端引入縱向約束彈簧，通過設(shè)置相應(yīng)彈簧剛度系數(shù)，可以得任意經(jīng)典邊界及其組合情況下非局部桿結(jié)構(gòu)縱振問題。非局部彈性桿縱振位移采用一種改進傅立葉級數(shù)進行展開，在標準傅立葉級數(shù)基礎(chǔ)上構(gòu)造附加函數(shù)，以使縱振位移在整個求解域內(nèi)足夠光滑。通過聯(lián)合求解非局部縱振微分方程與彈性邊界約束條件獲得系統(tǒng)特征矩陣。通過與現(xiàn)有文獻中不同邊界條件非局部彈性桿縱振模態(tài)數(shù)據(jù)進行對比，充分驗證了所構(gòu)造模型的正確性。在此基礎(chǔ)上討論了邊界約束剛度系數(shù)和非局部特征參數(shù)對非局部彈性桿縱振特性的影響。與現(xiàn)有方法相比，該方法能夠統(tǒng)一考慮任意邊界條件，當邊界條件改變時不需要對理論推導和計算程序進行重新修改，實現(xiàn)了非局部彈性桿縱振特性分析的最為一般情況。

關(guān)鍵詞：非局部理論；桿結(jié)構(gòu)；縱向振動；彈性邊界約束

引言

經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論廣泛應(yīng)用于固體和結(jié)構(gòu)力學行為的建模分析，并取得了豐碩的研究成果，然而對于外部載荷特征尺度與內(nèi)部微觀特征尺度相近情況下的裂紋尖端應(yīng)力奇異性、高頻波彌散現(xiàn)象和微納米材料等問題，采用經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論難以獲得令人滿意的結(jié)果。1966年，Eringen在考慮微觀力學中長程效應(yīng)的基礎(chǔ)上提出非局部理論，作為經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論的擴充與發(fā)展，非局部理論能夠有效計及微觀尺度效應(yīng)，為解決考慮內(nèi)部微觀或細觀結(jié)構(gòu)的問題奠定了理論基礎(chǔ)。

自非局部理論提出以來受到了研究人員的極大關(guān)注，理論體系逐步完善，并在黏彈性力學、斷裂力學、晶體錯位理論等方面的研究中取得了一系列成果，解決了許多經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學難以解決的問題。戴天民對連續(xù)統(tǒng)理論進行了大量工作，對微極連續(xù)耦合場論和極性連續(xù)統(tǒng)理論的基本原理進行了詳細論述。周振功等采用非局部彈性理論，計算了裂紋尖端應(yīng)力場，消除了裂紋尖端應(yīng)力場的奇異性。畢賢順等推導了半無限大平面不同材料在線性載荷作用下非局部彈性問題的解析解；劉振國等采用非局部線性理論分析了圓孔周邊應(yīng)力集中的量綱問題。Pisano和Fuschi獲得了非局部彈性直桿應(yīng)變場的封閉解。Weckner和Abeyaratne將長程力應(yīng)用于無限長桿的動力學響應(yīng)分析。Lei等采用非局部理論研究了含非局部阻尼分布參數(shù)系統(tǒng)的動力學問題。

近年來，隨著材料科學的迅速發(fā)展，碳納米管等納米材料因其具有獨特的行為特性，針對其振動分析受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。研究表明經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)理論難以充分刻畫其力學行為，為此，學者們進一步引入尺度效應(yīng)，即采用非局部理論研究納米結(jié)構(gòu)振動特性?？v向振動作為納米管（棒）一種重要的振動形式，基于非局部理論開展納米棒（桿）縱振特性分析引起了人們的研究興趣。鄭長良在非局部彈性理論框架下分析了彈性直桿縱向振動，結(jié)合一維晶格動力學，得到了Eringen非局部理論中材料常數(shù)的一個上限。Aydogdu基于非局部彈性理論，研究了不同邊界條件下非局部直桿幾何參數(shù)和非局部特征參數(shù)對縱振固有頻率的影響。黃偉國等運用非局部理論分析了三種典型邊界條件下壓桿穩(wěn)定與軸向振動問題，并討論了臨界壓力和固有頻率的尺度效應(yīng)。雷勇軍等分別運用Ritz法和傳遞函數(shù)法求解了非局部彈性桿經(jīng)典邊界條件下縱向振動的模態(tài)頻率。由于數(shù)學處理上存在一定難度，這方面的研究主要局限于經(jīng)典邊界條件，即固定、自由等，事實上，邊界條件作為影響結(jié)構(gòu)振動特性的重要因素，對于納米桿縱振同樣具有重要影響，顯然，現(xiàn)有研究限制了人們對此類問題的全面認識。

針對現(xiàn)有研究不足，本文基于非局部彈性理論建立了彈性邊界約束桿結(jié)構(gòu)縱向振動分析模型，任意經(jīng)典邊界及其組合可以通過設(shè)置邊界約束剛度系數(shù)得到。非局部桿縱振位移采用改進傅立葉級數(shù)展開，聯(lián)合求解非局部縱振微分方程與彈性邊界約束條件獲得系統(tǒng)特征矩陣。通過與文獻中不同邊界條件非局部彈性桿縱振固有頻率對比，對本文模型正確性進行驗證，并討論了邊界約束剛度系數(shù)和非局部特征參數(shù)對非局部彈性桿縱振特性的影響。