基于傳遞函數(shù)模型的白銀價格分析與預測

（湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002）

基于傳遞函數(shù)模型的白銀價格分析與預測

余云彩，劉 玲，胡宏昌，肖勁光

（湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002）

本文基于紐約商業(yè)交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀和黃金月收盤價數(shù)據(jù)，建立反映黃金與白銀價格動態(tài)變化的傳遞函數(shù)模型，并與2015年5月至2016年2月的真實值進行比較分析，結(jié)果顯示，傳遞函數(shù)模型的預測效果明顯優(yōu)越于回歸模型和ARIMA模型，最后用傳遞函數(shù)模型對2016年2月之后10期白銀月末收盤價進行預測，為白銀產(chǎn)業(yè)鏈條企業(yè)及相關(guān)投資者提供參考與決策。

白銀價格；傳遞函數(shù)模型；回歸模型；ARIMA模型；預測

一、引言

明朝嘉靖八年（1529）白銀正式成為法定貨幣，直至1935年國民黨政府放棄銀本位制，至此存續(xù)了406年。同黃金的強金融屬性相比，白銀逐漸褪下貨幣光環(huán)，成為名副其實的商品。那么，今時今日的“商品”白銀和“金融”黃金之間的價格是不是完全脫鉤了呢？這里面蘊藏著兩層含義：一是黃金與白銀二者之間的價格是否存在較強的相關(guān)性；二是黃金價格變動與白銀價格的變動是否還存在很強的相關(guān)性。樊元等（2012）指出黃金與白銀價格的變動方向與趨勢基本一致，并建立了反映兩者關(guān)系的回歸方程。Christian Pierdzioch等（2015）用剩余增廣最小二乘（RALS）檢驗黃金和白銀價格的協(xié)整關(guān)系，結(jié)果表明兩者沒有長期的協(xié)整關(guān)系。李燕平等（2015）用VAR模型研究了白銀價格的波動性，得出黃金價格對白銀價格的波動影響最顯著的結(jié)論。劉澄等（2007）考慮黃金和白銀價格的線性比例，分析了兩者的數(shù)理關(guān)系，并且建立了黃金價格與白銀價格變動率的回歸模型，但由于時間的可變性，使得這種方法有所局限。王維瑋（2015）在分析全球白銀供需狀況的基礎(chǔ)上，對白銀價格進行了短期的宏觀預測。本文基于黃金價格對白銀價格有巨大影響，并且這種影響是動態(tài)的這一事實，選取紐約商業(yè)交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀（SI）和黃金（GC）的月收盤價，用黃金價格作為輸入變量來研究白銀價格這一輸出變量，借助SAS軟件建立反映黃金價格對白銀價格動態(tài)影響的傳遞函數(shù)模型，并將回歸模型、ARIMA模型和傳遞函數(shù)模型未來10年的預測結(jié)果與真實結(jié)果進行比較，從而對白銀價格進行更準確的預測。

二、傳遞函數(shù)模型

ARIMA模型和回歸模型在實際建模中發(fā)揮著重要作用。然而在實際中，一個時間序列未來的發(fā)展趨勢不僅與自身過去的行為相關(guān)，而且還受另一個時間序列的影響，這使得ARIMA模型的應用受到限制，由于兩序列之間的影響可能是同步的，也可能是滯后的，并且這種過程呈現(xiàn)出動態(tài)性，所以回歸模型的結(jié)果也不盡人意。為了克服以上兩種模型的弊端，本文引進由George E.P.Box和Gwilym M.Jenkins等提出的傳遞函數(shù)模型。

1、傳遞函數(shù)模型的原理

記時刻t的輸入序列和輸出序列分別為Xt，Yt，令

由于傳遞函數(shù)v（B）參數(shù)太多，并且計算過程冗雜，在實際中，我們用有理函數(shù)來近似表示：

其中，P（B）=1-ω1B-ω2B-…-ωsBs，Q（B）=1-δ1B-δ2B-…-δrBr，b表示Xt延后b期影響Yt，C為刻度參數(shù)，P（B），Q（B）分別是次數(shù)為s和r的滯后算子多項式。尤其當一個序列對另一個序列的影響同步（即b=0時），實際應用的傳遞函數(shù)模型可以寫成如下形式：

2、傳遞函數(shù)模型的建立

傳遞函數(shù)模型的建立有預白噪聲化和最小平方兩種方法，本文用預白噪聲化法，具體步驟如下：第一步，識別輸入序列的適應性模型，并對其預白噪聲化。第二步，計算兩序列平穩(wěn)化后的交互相關(guān)函數(shù)，識別初步傳遞模型。第三步，鑒別初步傳遞函數(shù)模型殘差的白噪聲性，確定最后的傳遞模型。

三、白銀價格傳遞函數(shù)模型的建立

1、數(shù)據(jù)來源與描述

2018年7月22至29日在美國路易斯安納州新奧爾良市舉行了“新奧爾良國際鋼琴比賽”。比賽結(jié)果如下：獲得第一名的是中國的Ziang Xu；獲得第二名的是韓國的Sung Chang；獲得第三名的是韓國的Jae Weon Huh。此外，共有12位選手參加最后的決賽。

本文選用紐約商業(yè)交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀（SI）和黃金（GC）月收盤價，記Yt為t月份的COMEX白銀月末收盤價，Xt為t月份的COMEX黃金月末收盤價。

圖1、圖2顯示黃金價格Xt和白銀價格Yt均呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢，并且兩者呈現(xiàn)出非常強烈的正相關(guān)性。在這近8年間，有兩個階段比較引人關(guān)注：其一，2008年金融危機爆發(fā)，國際經(jīng)濟大幅下滑，白銀價格有所下滑，黃金價格亦有小幅度下降。此后，黃金由于其儲備貨幣及避險功能，價格大幅上漲，而白銀價格持續(xù)低迷。其二，2010年至2011年，白銀價格暴漲，一度接近其歷史最高值，而黃金價格也持續(xù)上漲，但增長速率比白銀價格要慢。2012年至2015年，國際經(jīng)濟復蘇，美元價格回升，白銀價格回落。

表1 ▽Xt模型的參數(shù)估計

圖1 黃金價格Xt時序圖

圖2 白銀價格Yt時序圖

表2 ▽Xt模型的殘差白噪聲檢驗

表3 ▽Xt與▽Yt的交互相關(guān)函數(shù)

表4 初步傳遞函數(shù)模型的參數(shù)估計

表5 初步傳遞模型殘差的白噪聲檢驗

表6 輸入序列▽Xt與模型殘差at的交互相關(guān)性檢驗

表7 Yt序列ARIMA模型的參數(shù)估計

2、建立傳遞函數(shù)模型

（1）識別Xt的適應性模型，并進行預白噪聲化。由黃金和白銀價格的時序圖可看出其不平穩(wěn)性，我們對兩序列同時進行一階差分，令▽Xt=Xt-Xt-1，▽Yt=Yt-Yt-1。

由表1和表2可知，▽Xt的適應模型為ARMA（1，2），

其中，序列at為白噪聲序列。

（2）計算▽Xt與▽Yt的交互相關(guān)函數(shù)，識別初步傳遞模型。從表3可以看出，▽Xt和▽Yt的樣本互相關(guān)函數(shù)在延遲0階處顯著不為零，說明▽Xt對▽Yt的影響是同期的，即b=0，我們?nèi)=2，k=2提出如下模型：

根據(jù)表4，初步傳遞函數(shù)模型可寫成：

（3）檢驗ηt的白噪聲性，確定最后的傳遞模型。由表5知，0.0511＞0.05，表明前面建立的傳遞函數(shù)模型殘差at顯著平穩(wěn)，可認為是隨機白噪聲序列。由表6知，互相關(guān)函數(shù)顯著為零，輸入序列▽Xt與模型殘差at相互獨立，模型有效。最終得到的傳遞函數(shù)模型為：

四、傳遞函數(shù)模型與ARIMA模型、回歸模型預測效果的比較

從形式上，傳遞函數(shù)模型可看作ARIMA模型與回歸模型的結(jié)合，為了檢驗傳遞函數(shù)模型的預測效果，本文對單個序列Yt建立了ARIMA模型，并對Xt和Yt序列建立了回歸模型。

1、ARIMA模型

由于本文研究的重點是傳遞函數(shù)模型，所以建立ARIMA模型的具體過程此處省略，最終模型建立如下：

表8 Yt序列ARIMA模型殘差白噪聲檢驗

表9 回歸模型的參數(shù)估計

表10 三種模型與真實值的比較

表11 傳遞函數(shù)模型對2016年3月至2016年12月白銀價格的預測

圖3 三種模型的預測結(jié)果與真實值的比較圖

其中，εt是白噪聲序列。

表7顯示，白銀價格Yt序列擬合的ARIMA模型參數(shù)顯著。表8表明Yt序列擬合的ARIMA模型殘差為白噪聲，模型可用于預測。

2、回歸模型

根據(jù)劉澄等（2007）建立回歸模型的方法，視Xt為自變量，Yt為因變量，先去除COOK距離大于0.04的強影響點（第51，52，53，55，56個觀測值），再用最小二乘估算回歸參數(shù)，最終建立Yt與Xt的一元回歸方程為：

由表9可知，回歸方程的參數(shù)顯著，此結(jié)果與劉澄等（2007）建立的回歸模型非常接近，可以用于對白銀價格的預測。

3、三者預測結(jié)果與真實值的比較

為了評估傳遞函數(shù)模型的預測效果，我們將傳遞函數(shù)模型、回歸模型、ARIMA模型對未來10期的預測結(jié)果與2015年 5月至2016年2月COMEX白銀月收盤價真實值進行比較。

表10顯示，在相對誤差的意義下，傳遞函數(shù)模型的預測效果明顯優(yōu)于回歸模型和ARIMA模型，所以筆者認為在對多變量時間序列建模時，使用傳遞函數(shù)模型更能準確把握未來發(fā)展趨勢。圖3則更直觀地顯示了傳遞函數(shù)模型優(yōu)越的預測效果。

五、白銀價格的分析與預測

黃金與白銀價格兩者之間存在相關(guān)關(guān)系，兩序列一階差分后平穩(wěn)，并且交互相關(guān)系數(shù)顯著為零，表明兩者沒有長期的協(xié)整關(guān)系。從擬合的結(jié)果來看，用黃金價格作為輸入序列的傳遞函數(shù)模型在分析白銀價格未來走勢上具有很好的可信度。下面用傳遞函數(shù)模型對2016年3月至2016年12月的COMEX白銀月收盤價進行長期的預測，由于建模過程跟之前的建模過程類似，此處略，預測結(jié)果見表11。

結(jié)果顯示，2016年全球經(jīng)濟將仍處于修復期，上半年白銀價格仍有繼續(xù)下探的趨勢，7—8月會降到全年的最低價，9月會有所上升，但是漲幅不是很大，10月會下跌，11—12月白銀價格有所回升，但總體來看全年白銀價格波動不大。

[1] Christian P.，Marian R.，Sebastian R.. Cointegration of the Prices of Gold and Silver：RALS-Based Evidence[J].Finance Research Letters，2015（15）.

[2] 李燕平、趙翔宇：基于VAR模型的白銀價格影響因素分析[J].經(jīng)濟問題，2015，10（12）.

[3] 樊元、王群：黃金白銀投資比較及價格影響因素分析[J].商業(yè)研究，2013，1（11）.

[4] 劉澄、張均東：國際黃金、白銀價格變動的實證分析[J].特區(qū)經(jīng)濟，2007（12）.

[5] 王維瑋：2014年白銀市場分析及2015年市場展望[J].中國貴金屬，2015（1）.

[6] 肖枝洪、郭明月：時間序列分析與SAS應用[M].武漢：武漢大學出版社，2009.

[7] 汪遠征、徐雅靜：傳遞函數(shù)模型在我國GDP數(shù)據(jù)分析中的應用[J].數(shù)學的實踐與認識，2007，37（16）.

[8] 朱宗元、王秋霞：基于傳遞函數(shù)模型的我國社會消費品零售總額預測[J].統(tǒng)計與決策，2010，10（24）.

（責任編輯：劉冰冰）

國家自然科學基金項目，相依回歸模型與擴散過程的統(tǒng)計推斷及其應用，編號：1471105。