碰撞過(guò)程動(dòng)能損耗的定量分析

趙元晟,高 淵,樂(lè)永康,原 媛

(復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系,上海 200433)

碰撞過(guò)程動(dòng)能損耗的定量分析

趙元晟,高 淵,樂(lè)永康,原 媛

(復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系,上海 200433)

使用高速攝像機(jī)拍攝碰撞打靶實(shí)驗(yàn)中兩球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，使用Tracker視頻分析軟件對(duì)撞球和被撞球的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析，得到了整個(gè)碰撞過(guò)程的具體數(shù)據(jù)及運(yùn)動(dòng)圖像，進(jìn)而定量分析了各個(gè)階段的能量損失.

碰撞打靶；視頻分析；能量損失；Tracker；Origin

碰撞分為彈性碰撞和非彈性碰撞，兩者區(qū)分的依據(jù)是：是否存在動(dòng)能損耗. 實(shí)驗(yàn)上，動(dòng)能損耗評(píng)定的一種辦法是利用頻閃照相分析照片中的物體運(yùn)動(dòng)軌跡得到物體在各處的即時(shí)速度[1]，但此方法的實(shí)驗(yàn)過(guò)程比較繁雜，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中使用越來(lái)越少了；另一種辦法是通過(guò)類(lèi)似碰撞打靶[2]這樣的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，從被碰物體運(yùn)動(dòng)軌跡的落點(diǎn)位置等信息來(lái)倒推碰撞后物體的運(yùn)動(dòng)速度，顯然，這種間接法很難全面計(jì)入被碰物體在后續(xù)運(yùn)動(dòng)中的各種阻力、入射球在碰撞后的速度等對(duì)結(jié)果的影響.

近年來(lái)，Tracker等視頻分析軟件在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中得到了越來(lái)越多的應(yīng)用[3-6]. 利用Tracker可以將運(yùn)動(dòng)視頻分解一幀一幀的圖片，根據(jù)物體在每一幀畫(huà)面中的位置和幀與幀之間時(shí)間間隔來(lái)確定物體運(yùn)動(dòng)的速度，進(jìn)而為驗(yàn)證能量守恒或者動(dòng)力學(xué)過(guò)程的動(dòng)能損耗提供可能. ，學(xué)生可以通過(guò)智能手機(jī)在任何時(shí)間、任何地點(diǎn)拍攝實(shí)驗(yàn)視頻，利用Tracker軟件探究物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程等內(nèi)容，有利于學(xué)生更扎實(shí)地掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)等相關(guān)的內(nèi)容. 使用高速攝像機(jī)(250FPS)錄制碰撞打靶實(shí)驗(yàn)的視頻，借助Tracker分別對(duì)撞球和被撞球的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行數(shù)據(jù)采集[7-10]，利用Origin軟件對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行詳盡地?cái)?shù)據(jù)分析，得到了實(shí)驗(yàn)中各個(gè)階段能量損失的量化分布.

1 實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，撞擊球m1從初始高度h被釋放，當(dāng)其沿弧線運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)與初始高度為y的被撞球m2發(fā)生正碰，此后被撞球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移為x. 根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒定律，2球發(fā)生彈性碰撞，有

(1)

實(shí)驗(yàn)中，要求學(xué)生可以根據(jù)前一次實(shí)驗(yàn)被撞球?qū)嶋H落點(diǎn)的水平位移x′計(jì)算實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的“能量損失”ΔE:

(2)

并以此修正撞擊球的初始高度以補(bǔ)償體系所損失的能量，直至被撞球落入靶紙上10環(huán)所在位置(水平位移x處)，實(shí)驗(yàn)結(jié)束.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意

2 利用Tracker軟件采集小球運(yùn)動(dòng)軌跡

實(shí)驗(yàn)使用250FPS高速攝像機(jī)拍攝從撞擊球釋放到被撞球平拋運(yùn)動(dòng)擊中靶臺(tái)的整個(gè)過(guò)程. 拍攝過(guò)程注意了攝像機(jī)正對(duì)裝置，且距離不過(guò)近(保證拍攝到的影像相對(duì)實(shí)際物體的變形是微小的). 攝像機(jī)的拍攝速率較高，能滿(mǎn)足整個(gè)過(guò)程有足夠多的數(shù)據(jù)，以提高精度.

實(shí)驗(yàn)用鐵球作為撞擊球，質(zhì)量為28.1 g；相同直徑的鋁球作為被撞球，質(zhì)量10.0 g. 實(shí)驗(yàn)所用攝像機(jī)250幀/s，即畫(huà)面間時(shí)間間隔為4.00 ms. 視頻拍攝完成后，導(dǎo)入Tracker 4.92，以實(shí)驗(yàn)儀器自帶豎直標(biāo)尺進(jìn)行標(biāo)定，使得視頻圖像中的長(zhǎng)度與實(shí)際的尺寸相對(duì)應(yīng). 使用軟件的自動(dòng)標(biāo)記功能可自動(dòng)得到2個(gè)小球的x(t)和y(t)(位移-時(shí)間)關(guān)系，再利用Origin對(duì)原始數(shù)據(jù)作進(jìn)一步分析.

2.1 運(yùn)動(dòng)軌跡分析

r=(0.051 92+0.000 15)m,

x0=(0.002 12+0.000 08)m,

y0=(0.228 1+0.000 4)m.

圖2 運(yùn)動(dòng)軌跡

由擬合結(jié)果可以看出撞擊球運(yùn)動(dòng)軌跡確為圓弧的一部分，圖2給出了撞擊球在[-50°,30°]范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從擬合結(jié)果可以看出拍攝過(guò)程中的畸變可視為小量.

將Tracker所得一次碰撞過(guò)程中撞擊球和被撞球的x(t)和y(t)數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin，可以繪得運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩球的運(yùn)動(dòng)軌跡(如圖3所示).

圖3 兩球運(yùn)動(dòng)軌跡

對(duì)實(shí)驗(yàn)視頻進(jìn)行逐幀分析，視頻分析窗口如圖4(a)所示，可以得到兩球開(kāi)始撞擊的時(shí)間為3.900 s，撞擊結(jié)束的時(shí)間為3.916 s.

(a)碰撞開(kāi)始時(shí)

(b)碰撞結(jié)束時(shí)圖4 視頻圖像

將被撞球從碰撞結(jié)束時(shí)3.916 s至擊中靶臺(tái)時(shí)間內(nèi)的x(t)和y(t)數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin，并分別進(jìn)行擬合. 豎直方向上，小球作自由落體運(yùn)動(dòng)；水平方向上，小球作勻速直線運(yùn)動(dòng). 考慮到空氣阻力的影響，認(rèn)為豎直方向上位移y與時(shí)間t的關(guān)系應(yīng)是P次曲線，選用y=y0+A(t-t0)P作為擬合方程，擬合結(jié)果為

y0=(0.000 89+0.000 10) m,

t0=(3.914 01+0.000 12) m,

A=4.78,P=2.

由擬合結(jié)果可以看出，被撞球豎直方向上的運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)確的二次曲線關(guān)系，擬合得到的碰撞結(jié)束時(shí)間(3.914 s)與觀看視頻所得時(shí)間(3.916 s)一致(視頻分析的最小時(shí)間間隔是0.004 s)，且可以得到重力加速度g=2A=9.56 m/s2，相對(duì)偏差2.4%(取上海地區(qū)重力加速度9.794 m/s2). 其水平方向上的運(yùn)動(dòng)可以使用線性方程x=x0+vxt進(jìn)行擬合. 擬合結(jié)果為

x0=-5.679 m,

vx=(1.454 2+0.001 5) m/s.

2.2 能量分析

將被撞擊球球心初始位置的水平面定義為零重力勢(shì)能面. 運(yùn)動(dòng)小球的總能量為

(3)

其中，m為球的質(zhì)量，g為重力加速度，Δh為距離零勢(shì)能面的高度差，vx和vy分別為小球在水平方向和垂直方向上的速度.

Origin對(duì)碰撞過(guò)程中撞擊球和被撞球的x(t)和y(t)數(shù)據(jù)作差分處理，即可得2球各自的vx(t)以及vy(t)，代入式(3)即可得到兩球的E-t關(guān)系，計(jì)算結(jié)果如圖5所示.

(a)撞擊球

(b)被撞球圖5 撞擊球和被撞球的能量與時(shí)間關(guān)系圖

從能量-時(shí)間關(guān)系圖中可以看出：

1) 撞擊球從釋放到碰撞前損耗的能量為

ΔE1=(0.018 77-0.017 6) J≈1.2×10-3J.

2) 兩球碰撞時(shí)(3.904～3.916 s)，損耗的能量為：

ΔE2=(0.017 55-0.005 771-0.010 43) J≈

1.4×10-3J.

3) 碰撞結(jié)束后，被撞球的能量損失很小.

4) 總的能量損失為：

ΔE=ΔE1+ΔE2=2.6×10-3J.

由以上分析可得碰撞過(guò)程的能量分布如圖6所示. 整個(gè)過(guò)程中損失的能量占初始總能量的14%，其中碰撞前的能量損失為6.5%，碰撞時(shí)的能量損失7.2%.

圖6 整個(gè)碰撞過(guò)程的能量分布圖

3 結(jié)束語(yǔ)

視頻分析軟件Tracker可以對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的物體進(jìn)行精確定位和跟蹤，給出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡. 利用數(shù)據(jù)處理軟件Origin對(duì)物體的位移-時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，可以輕松得到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量分布. 將這2種軟件應(yīng)用到碰撞實(shí)驗(yàn)中，可以直觀地得到各運(yùn)動(dòng)小球的軌跡、動(dòng)量、能量等物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系，為碰撞過(guò)程的能量損失分析提供了大量的數(shù)據(jù)支持，能更好地幫助實(shí)驗(yàn)者理解碰撞過(guò)程所涉及的力學(xué)規(guī)律和定理定律.

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[2] 沈元華，陸申龍. 基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京：高等教育出版社，2003：29.

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[責(zé)任編輯：郭 偉]

Quantitative analysis of energy loss in a collision process

ZHAO Yuan-sheng, GAO Yuan, LE Yong-kang, YUAN Yuan

(Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433， China)

High speed video recorder was used to trace the motion of the two balls in the experiment of target hitting through collision. With the help of video analysis software Tracker, the position of the balls in each moment was obtained. With the further obtained speed of the balls before and after the collision, the energy loss of the collision process could be analyzed quantitatively.

target hitting through collision; video analysis; energy loss; Tracker; Origin

2016-05-30

趙元晟(1996-),男，浙江杭州人，復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系2014級(jí)本科生.

原 媛(1982-),女，山西長(zhǎng)治人，復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系工程師，碩士，從事理論物理數(shù)值計(jì)算及物理實(shí)驗(yàn)教學(xué).

O313.4

A

1005-4642(2017)04-0044-04

“第9屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文