砂帶虛擬形貌的建模*

何喆 李建勇,2 劉月明,2 聶蒙,2 樊文剛,2

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院， 北京 100044;2.北京交通大學(xué) 載運工具先進(jìn)制造與測控技術(shù)教育部重點實驗室， 北京 100044)

砂帶磨削是磨削加工的一種方式，可以看作眾多植于基材表面的微切削刃與工件相互作用的過程.砂帶的磨削性能不僅取決于磨削時施加的工藝參數(shù)，還與砂帶表面形貌特征息息相關(guān).所謂形貌特征是指砂帶表面磨粒形狀、尺寸、排布間距以及出刃高度等信息.在砂帶的制造流程中，形貌特征由制造方法決定，本身帶有極強的隨機(jī)性，難以定量描述.這導(dǎo)致在加工過程中無法確定實際參與磨削的動態(tài)切刃數(shù)目及所處的切削狀態(tài)，從而深刻影響加工表面質(zhì)量、磨削力、磨削溫度等方面的研究[1- 2]，阻礙砂帶磨削技術(shù)的發(fā)展.

隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，虛擬磨削技術(shù)得到了普及[3]，建立磨具的虛擬形貌成為解決上述問題的新思路.因此，眾多學(xué)者圍繞磨具虛擬形貌模型的建立開展了豐富的研究工作.目前對磨具虛擬形貌建模主要以砂輪為主，可細(xì)分為兩種方式[4]：其一為從微觀磨粒入手，研究磨粒形狀、尺寸與排布規(guī)律，生成磨具虛擬表面.Pellegrin等[5]將磨粒等效為隨機(jī)多面體，該多面體為多個平面依據(jù)特定規(guī)則切割坯料而成.在一定程度上，它表征了磨粒的形狀特征，用以研究磨削過程中磨粒的鋒利程度；Hisakado等[6]將磨粒的形狀簡化為半球體或尖頂圓錐，研究了兩種模型下工件與磨具之間的摩擦因數(shù).在磨粒分布規(guī)律方面，劉月明等[7]將隨機(jī)值多次賦予互不干涉的磨粒，獲得磨粒的空間位置；張祥雷等[8]劃分互不干涉的區(qū)塊，將磨粒隨機(jī)放置于各個區(qū)塊內(nèi)，進(jìn)而獲得磨粒的隨機(jī)位置.其二為統(tǒng)計磨具表面特征，建立多參量函數(shù)擬合磨具表面.曹有為等[9]通過對砂輪表面的采樣與數(shù)據(jù)處理，運用統(tǒng)計學(xué)理論和Johnson變換方法獲得了非正態(tài)分布砂輪表面形貌的數(shù)學(xué)描述方程；呂長飛等[10]假設(shè)磨粒高度為非高斯隨機(jī)分布，采用Johnson變換和Gabor小波變換在隨機(jī)域內(nèi)對砂輪表面形貌進(jìn)行了仿真.

必須指出的是，砂帶與砂輪制造方式與各自磨粒形狀的不同導(dǎo)致砂帶與砂輪虛擬形貌之間存在較大差異[11].有學(xué)者[12- 13]在開展形貌角度定量描述磨具屬性或量化磨具磨損程度的工作中，因兩者形貌不同而區(qū)別對待.文中所闡述的砂帶虛擬形貌建模方法將采用隨機(jī)多面體構(gòu)建砂帶磨粒的基本特征，設(shè)定相應(yīng)的磨粒排布算法，將眾多磨粒隨機(jī)排布于砂帶基材表面，從而建立砂帶的虛擬形貌.利用統(tǒng)計方法獲得實際砂帶表面的相關(guān)參量，對比虛擬表面與實際表面的相關(guān)參量，驗證砂帶虛擬形貌模型的合理性與模型建立方法的正確性.

1 砂帶磨粒多面體模型

實際砂帶磨粒是大塊磨料經(jīng)輥式破碎機(jī)碾壓破碎而成.破碎后微小磨粒長寬比近似為3∶1[11].在對磨粒進(jìn)行分類時，通常經(jīng)過兩道篩網(wǎng)進(jìn)行篩選.磨粒直徑分布介于兩次篩網(wǎng)孔徑之間即為同一粒度.因此，同粒度磨粒的直徑為一特定范圍.Hou與Chen等[14- 15]經(jīng)研究后認(rèn)為，同一粒度的磨粒直徑服從正態(tài)分布.設(shè)磨粒的直徑為dg，其分布規(guī)律為

(1)

為保證砂帶磨粒具有特定的長寬比，采用隨機(jī)多面體方式建立磨粒三維模型.首先建立三軸比例為1∶1∶3的橢球體內(nèi)核(兩短軸長為dg，長軸長為3dg)，并將橢球體內(nèi)核內(nèi)接于一立方體.過橢球體表面任意一點做其外切面并與立方體相交.多次重復(fù)建立切面，將切面與立方體包絡(luò)而成的幾何體作為砂帶單顆磨粒形狀.圖1所示為不同切面數(shù)目下模型磨粒與實際磨粒的形狀對比.

圖1 不同切面磨粒模型與真實磨粒對比

Fig.1 Comparison of grain model and real grain in various sections

磨粒形狀建模是砂帶虛擬形貌建模的最小單位，其運算量直接決定了砂帶虛擬形貌的復(fù)雜程度.單顆磨粒形狀建模的過程中，存在著最佳磨粒切面數(shù)目選取的問題.過少的切面數(shù)目會造成模型對真實磨粒描述存在偏差，而過多的切面數(shù)目會使單顆磨粒形狀過于復(fù)雜，增加砂帶虛擬形貌建立過程中無意義的計算量.借助文獻(xiàn)[16]中所闡述的磨粒幾何參數(shù)計算方法，選取磨粒刀尖角作為判別標(biāo)準(zhǔn)，按隨機(jī)多面體方式建立不同切面數(shù)目模型，24、36粒度磨粒各12顆，測量各個磨粒在不同切面數(shù)目下的刀尖角均值，將結(jié)果匯總于圖2.

圖2不同切面數(shù)目下的刀尖角Fig.2 Sharp angles in various sections

分析圖2可知，磨粒三維模型在較少切面時其刀尖角與實際值相差較大，三維多面體模型不能準(zhǔn)確描述實際磨粒的幾何特征.隨著構(gòu)建磨粒模型的切面數(shù)目增加，磨粒的刀尖角愈發(fā)接近實測值.在切面數(shù)目為24至30時，三維模型的刀尖角與真實磨粒刀尖角相對誤差小于7%.當(dāng)切面數(shù)目超過30時(如36與42切面)，刀尖角的大小出現(xiàn)了波動.為達(dá)到計算量與磨粒準(zhǔn)確描述的平衡點，最佳切面數(shù)目約為24至30.

砂帶制造過程中，通常采用靜電植砂技術(shù)將砂帶磨粒均布于基材之上.由于磨粒尖端的靜電荷積累現(xiàn)象，磨粒大都以刃尖朝外的方式附著于基材上.現(xiàn)設(shè)計相應(yīng)的數(shù)值仿真算法模擬磨粒在基材表面的分布情況，以達(dá)到與實際砂帶類似的磨粒分布情況.

2 砂帶磨粒分布規(guī)律

為準(zhǔn)確獲得磨粒在砂帶表面的分布情況，采用由美國Nanovea公司生產(chǎn)的表面輪廓儀(PS50 profiler)對砂帶表面進(jìn)行采樣測量(圖3).該設(shè)備由測量筆、移動平臺及數(shù)據(jù)處理器組成.測量筆能夠在100～1 000 Hz的可變采樣頻率下，以非接觸式測量方式沿z方向獲得精度為0.4 μm、量程在3 mm內(nèi)的數(shù)據(jù)信息，而移動平臺可以容納最大為50 mm×50 mm的測量樣本以8 μm的移動精度在Oxy平面內(nèi)平移.根據(jù)本實驗中測量尺度，設(shè)備滿足精度需求.

圖3 表面輪廓儀組成Fig.3 Surface profiler composition

2.1 磨粒辨識

研究磨粒的分布規(guī)則應(yīng)首先辨識出砂帶表面上的磨粒.磨粒通過粘結(jié)劑牢固附著于砂帶表面，其尖部明顯突出于粘結(jié)劑表面，在磨削過程中作為微小切削刃對工件材料進(jìn)行切除.由于砂帶磨粒尖端通常為多峰結(jié)構(gòu)，為避免磨粒的重復(fù)計數(shù)，宜采取適當(dāng)?shù)牟蓸娱g隔對砂帶表面進(jìn)行采樣測量.Blunt等[17]指出，適當(dāng)?shù)牟蓸娱g隔δ為

(2)

圖4(a)為采用適當(dāng)?shù)牟蓸娱g隔，通過表面輪廓儀獲得的砂帶高度偽色圖，由于磨粒尖端遠(yuǎn)高于砂帶粘結(jié)劑表面，可通過兩者高度差異分離出磨粒，進(jìn)而確定其所在的位置.依據(jù)Darafon等[18]所闡述的Blob算法，提取偽色圖中高度較高部分，獲得如圖4(b)所示的砂帶磨粒在偽色圖中磨粒的分布情況.實驗中采集了36粒度陶瓷氧化鋁砂帶與24粒度綠碳化硅砂帶10 mm×10 mm的隨機(jī)樣本各5個，統(tǒng)計采樣區(qū)域內(nèi)磨粒數(shù)目均值，結(jié)果如表1所示.根據(jù)磨粒直徑的經(jīng)驗公式(1)，磨粒粒度號越大其直徑越小，則采樣區(qū)域內(nèi)所能容納的磨粒數(shù)量越多.

圖4 砂帶表面相關(guān)信息的提取Fig.4 Processing information of abrasive belt surface

粒度磨粒材料磨粒平均直徑/mm采樣尺寸/(mm×mm)采樣間隔/μm磨粒數(shù)目/個平均間距/mm36氧化鋁陶瓷0.4510×10120272.2024綠碳化硅0.7910×10250183.13

2.2 磨粒平均間距

磨粒在砂帶表面隨機(jī)分布，其間距是表面形貌仿真的關(guān)鍵因素.按圖4(b)所示，采用Blob算法后，在采樣區(qū)域內(nèi)選定長為l、寬為w的計數(shù)區(qū)域，以Gi(i=1,2,3,…,n)為標(biāo)記對n顆磨粒進(jìn)行編號.將磨粒所占據(jù)區(qū)域的包絡(luò)圓圓心作為磨粒的所在位置，以Gi(xi,ji)為標(biāo)記獲得各個磨粒位置，則任意兩個磨粒間距離sij為

(3)

計數(shù)區(qū)域內(nèi)磨粒的平均間距定義為

(4)

按式(3)、(4)算得兩種砂帶的平均間距，如表1所示.

2.3 磨粒排布方式

(5)

為防止磨粒之間產(chǎn)生干涉，在位移疊加過程中應(yīng)滿足任意i、j兩磨粒之間距離大于其半徑之和，即

(6)

式中，dgi為第i顆磨粒的直徑，dgj為第j顆磨粒的直徑.

若不滿足式(6)所述的磨粒距離與半徑和關(guān)系，則說明在數(shù)值形貌的生成過程中存在磨粒干涉現(xiàn)象.此時將干涉磨粒重新賦予隨機(jī)位移，再次驗證，直到所有磨粒不存在干涉位置.砂帶虛擬形貌的生成流程如圖5所示.

圖5 砂帶虛擬形貌生成流程圖Fig.5 Flow chart of abrasive belt’s virtual surface generation

2.4 位移疊加次數(shù)

磨粒在基材平面整齊分布的模型如圖6(a)所示，不同直徑的磨粒依據(jù)磨粒間距均勻分布在砂帶表面，在此基礎(chǔ)上，對所有磨粒施加單次隨機(jī)位移.若干次隨機(jī)位移疊加后，得到圖6(b)所示的磨粒隨機(jī)分布模型.

隨機(jī)位移的疊加次數(shù)越多，磨粒分布隨機(jī)性越好，更接近實際砂帶特征.然而，無限制地增加位移疊加次數(shù)將影響模型建立效率，增大模型計算量.而較少的位移疊加次數(shù)會影響虛擬砂帶形貌的磨粒排布與真實性.為達(dá)到理想的虛擬形貌建模效率，需對磨粒的位移疊加次數(shù)進(jìn)行討論.

在砂帶表面建立如圖6(b)所示的若干豎直面如A、B、C、D……，統(tǒng)計在位移疊加次數(shù)為mi(i=1，2，3,…)時，與豎直面相干涉的磨粒數(shù)目Nai、Nbi、Nci、Ndi……等數(shù)據(jù)，并計算在相同位移疊加次數(shù)下不同豎直相干涉的磨粒數(shù)目方差.所獲方差越小意味著砂帶磨粒隨機(jī)性越好.

圖6 磨粒排布隨機(jī)性評價Fig.6 Evaluation of grains distribution randomicity

現(xiàn)以36與24兩種粒度建立800顆以磨粒平均間距排列的20×40磨粒陣列，選取10個豎直面在位移疊加次數(shù)為100至1000時統(tǒng)計與該豎直面相干涉的磨粒數(shù)目方差，匯總于圖7.

圖7 位移疊加次數(shù)與干涉磨粒方差的關(guān)系

Fig.7 Relationship between superposition frequency and va-riance of interfere grains number

隨位移疊加次數(shù)的增加，與豎直面相干涉的磨粒數(shù)目方差逐漸變小，這意味著磨粒的分布趨于均勻.同時注意到疊加次數(shù)為600左右時，方差變化率出現(xiàn)差異：當(dāng)位移疊加次數(shù)小于600時，方差減小明顯，但次數(shù)達(dá)600以后方差減小趨勢明顯放緩且出現(xiàn)波動.這說明隨機(jī)位移疊加次數(shù)達(dá)到600時磨粒已達(dá)到較好的均勻性，繼續(xù)增加疊加次數(shù)只會增加意義不大的計算量.

3 數(shù)值形貌與測量結(jié)果

為驗證單顆磨粒多面體的模型及磨粒疊加隨機(jī)位移排布的正確性，設(shè)計對應(yīng)參數(shù)的測量來評價實際砂帶表面，統(tǒng)計分析磨粒出刃高度、磨粒間距來進(jìn)行研究，分別以粒度號為36及24的砂帶為例，比較砂帶模擬形貌與實際形貌的相似程度.

3.1 砂帶出刃高度與磨粒間距

單顆磨粒模型與實際磨粒形狀是否接近主要體現(xiàn)于砂帶的出刃高度上.圖8(a)、8(b)所示為36粒度與24粒度兩種砂帶在未鈍化條件下出刃高度的測量值與仿真模型值的對比.兩砂帶出刃高度測量值的概率柱狀圖走勢與正態(tài)分布極為類似，但分布規(guī)律存在偏峰特征，這可能與磨粒埋入膠層深度的隨機(jī)性有關(guān).磨粒的仿真值與測量值之間有著極為接近的均值與分布規(guī)律，但存在些許偏差，主要表現(xiàn)為砂帶表面的測量值更集中分布于均值附近，這意味著實際砂帶表面一致性較好.通過兩者出刃高度的統(tǒng)計分析，磨粒的多面體建模方式可以在多顆磨粒構(gòu)成的砂帶表面獲得相似的出刃高度均值與分布規(guī)律，可以證明單顆磨粒三維模型的合理性.

圖8 砂帶出刃高度分布Fig.8 Distribution of grains protrusion height

采用隨機(jī)位移疊加的方式進(jìn)行磨粒隨機(jī)排布主要改變了磨粒之間的距離.圖9(a)、9(b)分別為粒度為36、24兩種砂帶磨粒間距的仿真模型與實際測量值的對比.測量值與模型值均呈現(xiàn)由均值部分向兩側(cè)逐漸遞減的特征.磨粒經(jīng)過多次隨機(jī)位移的疊加之后可以獲得與實際形貌相似的間距，可以證明磨粒疊加隨機(jī)位移的方式來模擬砂帶磨粒均勻分布的有效性.

圖9 砂帶磨粒間距分布Fig.9 Distribution of grains spacing

3.2 鈍化砂帶出刃高度預(yù)測

磨粒通常為硬脆材料，其破壞方式以折斷破碎為主.Chen等[15]認(rèn)為，由于磨粒的機(jī)械屬性與幾何屬性的隨機(jī)性，導(dǎo)致磨粒折斷高度帶有隨機(jī)特征，并給出了磨粒折斷高度h的預(yù)測模型：

h=δ+h′[sin(ωx+φ)+1]

(7)

式中：δ為磨粒切深，與砂帶磨削工藝參數(shù)及服役時間有關(guān)[19]；h′為折斷幅值；ω為隨機(jī)折斷頻率；φ為隨機(jī)折斷相位角.圖10所示為磨粒受到隨機(jī)折斷影響后的形狀變化.

Hou等[14]指出，磨粒中磨具磨粒僅有出刃高度位于前18.7%的磨粒參與磨削.假設(shè)該部分磨粒發(fā)生破碎，改變磨粒形狀，則可根據(jù)上述兩條件構(gòu)建砂帶鈍化后出刃高度的統(tǒng)計規(guī)律.

圖10 磨粒折斷輪廓形狀Fig.10 Grain fracture contour generated by worn

使用圖11所示的砂帶磨削實驗機(jī)開展相關(guān)實驗研究.實驗機(jī)采用交流電動機(jī)驅(qū)動砂帶高速轉(zhuǎn)動，氣缸將工件貼緊砂帶進(jìn)行磨削.力與速度由控制箱直接控制，同時可通過傳感器進(jìn)行反饋校正.工件材料為U71 Mn，對其在200 N正壓力下，以30 m/s的磨削速度磨削60 s.

圖11 砂帶磨削實驗機(jī)Fig.11 Abrasive belt grinding apparatus

圖12(a)、12(b)分別為36與24粒度折斷磨粒的砂帶虛擬形貌與鈍化砂帶表面磨粒出刃高度統(tǒng)計圖.相比于新砂帶，磨粒出刃高度變化較大，但仍然呈現(xiàn)由均值向兩側(cè)遞減的特征.砂帶的出刃高度均值減小，但分布更加集中于均值附近，這說明鈍化砂帶表面高度一致性較好.此外，折斷磨粒的砂帶虛擬形貌與鈍化表面磨粒出刃高度規(guī)律極為類似.但在出刃高度均值附近時，所建立的虛擬形貌與真實值出現(xiàn)差異，這是由于實際砂帶中出刃高度較高的磨粒以折斷方式鈍化，而其他磨粒特別是出刃高度較低磨粒不止存在單一折斷情況.

綜上所述，以上虛擬形貌各參數(shù)與實際砂帶形貌對應(yīng)參數(shù)的比較表明，砂帶虛擬形貌能夠較好地描述實際砂帶形貌特征.此外，在鈍化砂帶形貌預(yù)測中，虛擬形貌能夠展示出經(jīng)折斷后鈍化砂帶出刃高度的分布情況，與實際砂帶鈍化形貌較為相似.實驗結(jié)果也驗證了包括磨粒三維模型、表面磨粒辨識和磨粒隨機(jī)排布的砂帶虛擬形貌建模方法的合理性.

圖12 鈍化砂帶出刃高度分布Fig.12 Distribution of blunt abrasive belt protrusion height

4 結(jié)論

(1)提出一種采用隨機(jī)平面切割立方體以建立磨粒模型的方法，獲得了具有特定長寬比的磨粒多面體模型.以刀尖角作為判別標(biāo)準(zhǔn)，在構(gòu)造磨粒模型的切面數(shù)目達(dá)到24-30左右時，磨粒模型能夠較好地描述實際磨粒特征.

(2)砂帶磨粒在基材上的隨機(jī)分布規(guī)則可通過多次賦予磨粒在基材表面隨機(jī)位移的方式進(jìn)行模擬.當(dāng)位移疊加次數(shù)達(dá)到600左右時，磨粒在基材上已基本達(dá)到均勻分布.

(3)實際砂帶的出刃高度及磨粒間距均呈現(xiàn)由均值向兩側(cè)遞減的現(xiàn)象，并且?guī)в忻黠@的偏峰特征.鈍化砂帶的磨粒出刃高度均值降低，一致性變好.此外，部分采用折斷磨粒建立的砂帶虛擬形貌能夠描述鈍化砂帶特征.

參考文獻(xiàn)：

[1] DATE S W,MALKIN S.Effects of grit size on abrasion with coated abrasives [J].Wear,1976,40(2):223- 235.

[2] MERCER A P,HUTCHINGS I M.The deterioration of bonded abrasive papers during the wear of metals [J].Wear,1989,132(1):77- 97.

[3] 宿崇.虛擬磨削關(guān)鍵理論及其技術(shù)的研究 [D].沈陽：東北大學(xué),2009.

[4] DOMAN D A,WARKENTIN A,BAUER R.A survey of recent grinding wheel topography models [J].International Journal of Machine Tools & Manufacture,2006,46(3):343- 352.

[5] PELLEGRIN De V D,STACHOWIAK G W.Evaluating the role of particle distribution and shape in two-body abrasion by statistical simulation [J].Tribology International,2004,37:255- 270.

[6] HISAKADO T,SUDA H.Effects of asperity shape and summit height distributions on friction and wear characteristics [J].Wear,1999,225(98):450- 457.

[7] 劉月明,鞏亞東,曹振軒.基于數(shù)值建模的砂輪形貌仿真與測量 [J].機(jī)械工程學(xué)報,2012,48(23):184- 190.

LIU Yue-ming,GONG Ya-dong,CAO Zhen-xuan.Analysis of numerical grinding wheel topography and experiment measurement [J].Journal of Mechanical Engineering,2012,48(23):184- 190.

[8] 張祥雷，姚斌，馮偉，等.基于多顆磨粒隨機(jī)分布的虛擬砂輪建模及磨削力預(yù)測 [J].航空學(xué)報，2014,35(12):3489- 3498.

ZHANG Xiang-lei,YAO Bin,FENG Wei,et al.Modeling of virtual grinding wheel based on random distribution of multi abrasive grains and prediction of grinding force [J].Acta Aeronautica Sinica，2014,35(12):3489- 3498.

[9] 曹有為,喬國朝.砂輪表面形貌仿真方法研究 [J].金剛石與磨料磨具工程,2016,36(3):33- 37.

CAO You-wei,QIAO Guo-zhao.Simulation method of grinding wheel topography [J].Diamond & Abrasive Engineering,2016,36(3):33- 37.

[10] 呂長飛,李郝林.外圓磨削砂輪形貌仿真與工件表面粗糙度預(yù)測 [J].中國機(jī)械工程,2012,23(6):40- 45.

Lü Chang-fei,LI Hao-lin.Simulation of wheel topography and forecasting of roughness in cylindrical grinding [J].China Mechanical Engineering,2012,23(6):40- 45.

[11] 王志偉,俞冬強,陳佳杰,等.磨粒的幾何形狀研究綜述 [J].現(xiàn)代制造工程,2008(11):1- 4.

WANG Zhi-wei,YU Dong-qiang，CHEN Jia-jie,et al.Review on the shape of abrasive particle [J] Modern Manufacturing Engineering,2008(11):1- 4.

[12] WANG W,LI J,FAN W,et al.Characteristic quantitative evaluation and stochastic modeling of surface topo-graphy for zirconia alumina abrasive belt [J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2017,89(9/10/11/12):3059- 3069.

[13] YAO P,GONG Y,MATSUDA T,et al.Investigation of wheel wear mechanisms during grinding optical glasses through statistical analysis of wheel topography [J].International Journal of Abrasive Technology,2012,5(1):33- 47.

[14] HOU Z B,KOMANDURI R.On the mechanics of the grinding process(Part I):Stochastic nature of the grinding process [J].International Journal of Machine Tools & Manufacture,2003,43(15):1579- 1593.

[15] CHEN X,ROWE W B.Analysis and simulation of the grinding process(Part I):Generation of the grinding wheel surface [J].International Journal of Machine Tools & Manufacture,1996,36(8):871- 882.

[17] BLUNT L,EBDON S.The application of three-dimensional surface measurement techniques to characterizing grinding wheel topography [J].International Journal of Machine Tools & Manufacture,1996,36(11):1207- 1226.

[18] DARAFON A,WARKENTIN A,BAUER R.Characterization of grinding wheel topography using a white chromatic sensor [J].International Journal of Machine Tools & Manufacture,2013,70(7):22- 31.

[19] 任敬心,華定安.磨削原理 [M].北京：電子工業(yè)出版社,2011.