基于Kent混沌測(cè)量矩陣的壓縮感知圖像重構(gòu)算法

孫憲坤 陳 濤 韓 華 王裕明

(上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院 上海 201620)

基于Kent混沌測(cè)量矩陣的壓縮感知圖像重構(gòu)算法

孫憲坤 陳 濤 韓 華 王裕明

(上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院 上海 201620)

圖像重構(gòu)是圖像數(shù)字化和恢復(fù)高質(zhì)量圖像信號(hào)的關(guān)鍵技術(shù)，使用壓縮感知理論進(jìn)行圖像重構(gòu)的意義在于顯著減少采樣次數(shù)，降低系統(tǒng)資源的消耗。測(cè)量矩陣的構(gòu)造是壓縮感知的重要研究?jī)?nèi)容之一。提出一種基于Kent混沌測(cè)量矩陣的壓縮感知圖像重構(gòu)算法，將Kent混沌序列作為測(cè)量矩陣，采用離散小波變換的稀疏化方法，在小波域?qū)υ紙D像信號(hào)進(jìn)行測(cè)量。最后采用正交匹配追蹤方法恢復(fù)原始圖像。仿真實(shí)驗(yàn)中，對(duì)比高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣和Logistic混沌測(cè)量矩陣，對(duì)不同的圖像進(jìn)行重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，基于Kent混沌測(cè)量矩陣的重構(gòu)算法能夠恢復(fù)原始圖像，重構(gòu)性能優(yōu)于高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣和Logistic混沌測(cè)量矩陣，同時(shí)克服了隨機(jī)測(cè)量矩陣硬件難以實(shí)現(xiàn)的缺陷。

混沌矩陣 壓縮感知 圖像重構(gòu) Kent矩陣

0 引 言

客觀世界的圖像轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)可以處理的圖像，即圖像的數(shù)字化過程，對(duì)圖像的采集和存儲(chǔ)等硬件設(shè)備要求極高。圖像重構(gòu)技術(shù)的意義在于提高圖像數(shù)字化過程中圖像的采集和存儲(chǔ)效率，避免圖像質(zhì)量退化，盡可能恢復(fù)接近實(shí)際的圖像。近年來壓縮感知[1-3]CS(Compressive Sensing)作為一種新的采樣理論被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理鄰域。壓縮感知理論使得信號(hào)的采樣速率在遠(yuǎn)低于信號(hào)最高頻率的2倍時(shí)，即在不滿足奈奎斯特-香農(nóng)(Nyquist-Shannon)采樣定理的條件下，也能夠精確重構(gòu)原始信號(hào)。壓縮感知在采樣的同時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行了壓縮，使得圖像重構(gòu)過程中消耗的系統(tǒng)資源大大減少，降低了成像系統(tǒng)的硬件負(fù)擔(dān)。壓縮感知理論要求測(cè)量矩陣應(yīng)該滿足約束等距性條件RIP(Restricted Isometry Property)[4]，即測(cè)量矩陣和稀疏表達(dá)矩陣成不相關(guān)關(guān)系。測(cè)量矩陣的研究是壓縮感知理論的一個(gè)重要方面。尋找合適的滿足RIP條件的測(cè)量矩陣可以極大地提高信號(hào)重構(gòu)的準(zhǔn)確程度并減少硬件設(shè)計(jì)上的復(fù)雜程度。測(cè)量矩陣包含隨機(jī)測(cè)量矩陣和確定性測(cè)量矩陣[5]。其中，隨機(jī)高斯矩陣[6]和隨機(jī)伯努利矩陣[7]，與大多數(shù)固定正交基構(gòu)成的矩陣不相關(guān)，但這類隨機(jī)矩陣的計(jì)算復(fù)雜度高，所需存儲(chǔ)空間大。

確定性測(cè)量矩陣，如Toeplitz測(cè)量矩陣、循環(huán)測(cè)量矩陣、多項(xiàng)式測(cè)量矩陣等[8]，計(jì)算復(fù)雜度低，克服了隨機(jī)測(cè)量矩陣的不足?；煦缇仃囎鳛橐环N確定性測(cè)量矩陣，具備偽隨機(jī)性，計(jì)算過程簡(jiǎn)單，硬件上容易實(shí)現(xiàn)，在某些要求安全性和保密性的應(yīng)用上具有優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[9]的作者通過Logistic混沌序列構(gòu)造測(cè)量矩陣，證明了托普利茲結(jié)構(gòu)的混沌矩陣在很大程度上滿足RIP準(zhǔn)則，并且與高斯隨機(jī)矩陣和稀疏隨機(jī)矩陣具有相似的重構(gòu)效果。Kafedziski利用Chua和Lorenz混沌信號(hào)構(gòu)造測(cè)量矩陣[10]，證明了測(cè)量序列的相關(guān)關(guān)系不影響重構(gòu)的準(zhǔn)確率。Frunzete和Liu通過帳篷(Tent)混沌序列構(gòu)造測(cè)量矩陣[11-12]，提出了一種新的測(cè)量矩陣構(gòu)造方法。文獻(xiàn)[13]通過Chebyshev映射構(gòu)造測(cè)量矩陣，證明了Chebyshev混沌序列以極大概率滿足RIP準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[14]對(duì)多種混沌映射用作測(cè)量矩陣的性能進(jìn)行了研究，大部分混沌測(cè)量矩陣的性能優(yōu)于隨機(jī)高斯矩陣。這些算法與隨機(jī)高斯矩陣的重構(gòu)效果相似。

Kent序列是混沌序列的一種。Kent序列對(duì)初始條件的敏感性，比Logistic等混沌序列較好的均勻分布特性，以及良好的類隨機(jī)性和遍歷性，使得Kent序列在全局優(yōu)化[15-16]和圖像加密[17-18]等方面取得了很好的應(yīng)用效果。目前為止的所有文獻(xiàn)中，還沒有人將Kent序列用于壓縮感知。Kent混沌測(cè)量矩陣的類隨機(jī)性、遍歷性、均勻分布特性，可以保證在觀測(cè)信號(hào)時(shí)，保留各個(gè)頻率分段的豐富信息，在低采樣率條件下，仍能為重構(gòu)圖像提供有用的觀測(cè)信號(hào)。因此，本文將Kent序列用于構(gòu)造壓縮感知的測(cè)量矩陣，采用離散小波變換DWT(Discrete Wavelet Transform)[19]方法稀疏表示信號(hào)，重構(gòu)方法為正交匹配追蹤算法OMP(Orthogonal Matching Pursuit)[20]，重構(gòu)二維的圖像信號(hào)。本文的主要貢獻(xiàn)在于提出一種新的混沌序列Kent用于構(gòu)造壓縮感知的測(cè)量矩陣。

1 壓縮感知理論

設(shè)X為長(zhǎng)度N的一維信號(hào)，稀疏度為k(即含有k個(gè)非零值)。X在一個(gè)N×N維正交變換矩陣Ψ∈RN×N下能表示為：

X=ΨΘ

(1)

其中，Θ=[θ1,θ2,…,θN]T稱為信號(hào)X在基矩陣Ψ下的投影系數(shù)向量。當(dāng)信號(hào)X在某個(gè)正交基Ψ上僅有K?N個(gè)非零系數(shù)θk時(shí)，稱Ψ為信號(hào)X的稀疏基，θ是K稀疏的。式(1)將現(xiàn)實(shí)中非稀疏的信號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，稱為信號(hào)的稀疏化。常用的稀疏變換有：傅里葉變換、離散余弦變換DCT[21]和離散小波變換(DWT)[19]。而DWT能克服DCT的不足，如方塊效應(yīng)等，獲得更好的圖像恢復(fù)效果。

利用觀測(cè)矩陣Φ∈RM×N對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，即可獲得觀測(cè)值Y：

Y=ΦΘ=ΦΨ-1X

(2)

在已知Y、Φ和Ψ，并且Φ滿足RIP準(zhǔn)則(式(3))的條件下，用l1范數(shù)逼近l0范數(shù)，通過求解非線性優(yōu)化問題，即可從Y中恢復(fù)原始信號(hào)X。

(3)

目前壓縮感知的重構(gòu)算法包括：匹配追蹤MP(MatchingPursuit)算法(OMP[20]、CoSaMP算法[22])，重構(gòu)速度快，但重構(gòu)精度不高；子空間追蹤SP(SubspacePursuit)[23]，方向追蹤GP(GradientPursuit)算法[24](GP、CGP、ACGP)；凸優(yōu)化算法(如BasisPursuit(BP)[25]、LeastAngleRegression(LARS)[26]、GradientProjectionforSparseReconstruction(GPSR)[27])，它們的計(jì)算量較大；以及基于貝葉斯的算法[28-30]，其重構(gòu)性能介于匹配追蹤算法和凸優(yōu)化算法之間。

2 Kent混沌測(cè)量矩陣

Kent映射是一種具有代表性的離散混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程可以表示為：

(4)

其中，控制參數(shù)a∈(0,1)。圖1-圖3顯示了Kent映射具備的特性。

如圖1為Kent映射的分岔圖。由于計(jì)算機(jī)字節(jié)長(zhǎng)度和精度的限制，在a=0.5時(shí)Kent映射容易周期化或者收斂于固定值。為了生成可靠的Kent混沌序列，本文取a=0.4。從圖1可以看出，當(dāng)a∈(0,1)，x∈(0,1)時(shí)，Kent映射處于混沌狀態(tài)，體現(xiàn)了Kent映射的類隨機(jī)性。

圖1 Kent映射分岔圖

圖2所示為Kent映射的Lyapunov指數(shù)圖。Lyapunov指數(shù)用來刻畫混沌系統(tǒng)初始狀態(tài)微小不確定性的發(fā)散比率和混沌水平，一維混沌系統(tǒng)xn+1=f(xn)的Lyapunov指數(shù)[16,31]可以表示為：

(5)

圖2 Kent映射的Lyapunov指數(shù)圖

圖2中Kent映射的Lyapunov指數(shù)曲線均在x軸上方，因此Kent映射在a∈(0,1)內(nèi)是混沌的，具備良好的遍歷性。

Kent映射的概率密度d(x)服從均勻分布，由式(6)Frobenious-Perron方程[32]計(jì)算得到，即：

(6)

(7)

圖3為四種測(cè)量矩陣或映射的概率分布直方圖。圖3(a)-(d)分別為Kent、Gaussian、Bernoulli、Logistic矩陣的隨機(jī)分布特性，它們的矩陣元素?cái)?shù)量都為10 000個(gè)?？梢钥闯?，Gaussian矩陣呈鐘型分布，在圖像重構(gòu)時(shí)重點(diǎn)觀測(cè)了主要信號(hào)，Bernoulli矩陣的分布中，只有元素0和1，它們等概率的出現(xiàn)。Logistic映射的概率分布中部均勻，兩端偏高。圖3(a)為Kent映射在[0,1]上的概率分布直方圖，圖中顯示Kent映射在各區(qū)間呈均勻分布，有利于提取圖像重構(gòu)信號(hào)。

圖3 四種概率分布直方圖

Kent混沌映射的初始值一旦確定，系統(tǒng)的每一項(xiàng)都可以完全重現(xiàn)，大大減少所需的存儲(chǔ)空間，且硬件實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。Kent映射良好的類隨機(jī)性、遍歷性以及均勻分布的這些特性，適用于壓縮感知測(cè)量矩陣的生成，易于產(chǎn)生和重現(xiàn)。Kent序列的平均性及穩(wěn)定性也有利于信號(hào)的重構(gòu)。

利用迭代產(chǎn)生的序列{x0,x1,…,xn}構(gòu)建M×N的測(cè)量矩陣，Kent混沌測(cè)量矩陣的構(gòu)造如下：

(8)

圖4 Kent混沌測(cè)量矩陣Φ(Size:128×256,M=128;此時(shí)σ=0.0834)

3 基于Kent測(cè)量矩陣的壓縮感知

壓縮感知是利用信號(hào)的稀疏特性重構(gòu)原始信號(hào)的方法。在壓縮感知理論中，Kent等測(cè)量矩陣用于對(duì)稀疏變換進(jìn)行觀測(cè)測(cè)量，得到待重建的觀測(cè)信號(hào)。稀疏表示完成對(duì)原始信號(hào)的轉(zhuǎn)化，變換成稀疏信號(hào)。重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)觀測(cè)信號(hào)的恢復(fù)重建。本文壓縮感知重構(gòu)算法流程見圖5所示。

圖5 Kent測(cè)量矩陣壓縮感知圖像重構(gòu)流程

如圖5所示，本文首先采用離散小波變換(DWT)作為稀疏基Ψ對(duì)圖像進(jìn)行稀疏表示，再利用Kent測(cè)量矩陣完成信號(hào)的觀測(cè)，最后采用正交匹配追蹤(OMP)算法對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)重建。

3.1 離散小波變換

Wf(j,k)=[f(t),ψj,k(t)]=∫Rf(t)ψj,k(t)dt

(9)

圖像可以用二維矩陣X表示，ωω表示經(jīng)過一維離散小波變換的正交規(guī)范化變換矩陣。則圖像X的離散小波變換為：

X1=ωω×X×ωω′

(10)

如圖6所示為經(jīng)過上述離散小波變換的正交規(guī)范化矩陣，其中，空白區(qū)域?yàn)榱阍?，藍(lán)色部分為非零元素的分布，可以看出矩陣是稀疏的。我們將其用于圖像的稀疏變換，圖像經(jīng)過離散小波變換之后的結(jié)果如圖5中的X1所示，X1即為稀疏變換之后的圖像信號(hào)。

圖6 離散小波變換得到的稀疏矩陣ωω的結(jié)構(gòu)圖(藍(lán)色為非零元素的分布)

測(cè)量矩陣Φ再對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量值用Y表示：

Y=Φ×X1

(11)

3.2 正交匹配追蹤算法

正交匹配追蹤(OMP)算法以貪婪迭代的方式，使得測(cè)量矩陣的每一列與當(dāng)前的殘差向量最大程度的相關(guān)，再?gòu)木仃囍袦p去相關(guān)部分，反復(fù)迭代直到滿足稀疏條件[20]。

輸入：測(cè)量向量y，測(cè)量矩陣Φ，稀疏度K。

初始化：殘差r0=y，索引集Λ0=?，迭代次數(shù)t=1。

OMP算法核心步驟如下：

步驟2 更新索引集Λt=Λt-1∪{λt}，記錄找到的測(cè)量矩陣中的重構(gòu)原子集合Φt=[Φt-1,φλt]；

在圖像信號(hào)重建過程中，OMP算法對(duì)圖像的每一列數(shù)據(jù)分別進(jìn)行恢復(fù)，如圖7所示，為OMP算法對(duì)圖像信號(hào)的一列數(shù)據(jù)進(jìn)行的恢復(fù)結(jié)果。兩張圖像的曲線及其相似，信號(hào)完整，說明OMP算法對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行了有效的恢復(fù)。

圖7 正交匹配追蹤(OMP)算法恢復(fù)圖像信號(hào)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文將比較隨機(jī)高斯矩陣、隨機(jī)伯努利矩陣、Logistic混沌矩陣和Kent混沌矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí)的性能。對(duì)于M×N的測(cè)量矩陣，取采樣率R=M/N=0.5。為了生成更好的混沌測(cè)量矩陣，以獲得更加準(zhǔn)確的檢測(cè)效果，Logistic和Kent混沌序列的前面一小段被截去。Kent混沌測(cè)量矩陣的控制參數(shù)a=0.4。本文采用大小為256×256的灰度圖像作為測(cè)試目標(biāo)，圖像重構(gòu)效果見圖8所示。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為MATLAB2013a，計(jì)算機(jī)CPU性能參數(shù)為i5-2410M2.3GHz，內(nèi)存大小為4.00GB。本文采用了兩種不同的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)，峰值信噪比PSNR和結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)SSIM，來評(píng)價(jià)重構(gòu)圖像的質(zhì)量。

圖8 不同測(cè)量矩陣圖像重構(gòu)效果對(duì)比

4.1 峰值信噪比PSNR

PSNR=10log10(2552/MSE)

(12)

(13)

表1 采樣率為0.5時(shí)，各測(cè)量矩陣重構(gòu)圖像的PSNR值

如表1的數(shù)據(jù)顯示，在相同的采樣率條件下，Kent測(cè)量矩陣重構(gòu)的圖像質(zhì)量與使用隨機(jī)高斯矩陣的重構(gòu)結(jié)果相近，并且是四種測(cè)量矩陣中重構(gòu)效果最好的。其中，對(duì)于隨機(jī)伯努利矩陣，除了Lena圖的PSNR值比Logistic混沌測(cè)量矩陣的稍大一些，其他圖像的PSNR值均最小，說明其重構(gòu)準(zhǔn)確度最差。同理，Logistic混沌測(cè)量矩陣的圖像重構(gòu)效果稍差，而隨機(jī)高斯矩陣的圖像重構(gòu)效果較前兩者要好。Kent混沌測(cè)量矩陣的四幅圖像的PSNR值都是最大，說明其圖像恢復(fù)的準(zhǔn)確程度最高，圖像重構(gòu)效果最好。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的Kent混沌測(cè)量矩陣在重構(gòu)精度上的優(yōu)勢(shì)，本文在不同的采樣率下，用上述測(cè)量矩陣對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)。采樣率在0.2～0.6時(shí)，各測(cè)量矩陣重構(gòu)結(jié)果的PSNR變化如圖9所示。

圖9 各測(cè)量矩陣在不同采樣率下的PSNR(dB)變化圖

從圖9可以看出，隨著采樣率的提高，圖像的重構(gòu)精度也在提高。說明測(cè)量矩陣測(cè)量的圖像數(shù)據(jù)越多，恢復(fù)的圖像信息也越準(zhǔn)確。圖9中，在采樣率為0.2～0.3時(shí)，Logistic和Kent混沌測(cè)量矩陣的重構(gòu)精度比Gaussian和Bernoulli隨機(jī)測(cè)量矩陣要高。在采樣率為0.4～0.6時(shí)，四種測(cè)量矩陣的重構(gòu)精度差別不大。

4.2 結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)SSIM

鑒于圖像結(jié)構(gòu)表達(dá)信息的重要性，我們采用符合人眼主觀感知的結(jié)構(gòu)相似性SSIM指標(biāo)[34]：

(14)

其中：μ為圖像均值，σ為圖像方差或協(xié)方差，c1和c2為避免分母為零的小常數(shù)。SSIM值越大(最大為1)，則重構(gòu)圖像與原圖像越逼近，從而算法效果越好。表2給出了采樣率為0.5時(shí)，各測(cè)量矩陣的SSIM值。

表2 采樣率為0.5時(shí)，各測(cè)量矩陣重構(gòu)圖像的SSIM值

從表2中不同測(cè)量矩陣重構(gòu)圖像的SSIM值可以看出，對(duì)于四種不同的圖像，Kent測(cè)量矩陣重構(gòu)圖像的SSIM值始終最大，說明采用Kent測(cè)量矩陣重構(gòu)的圖像與原圖像最逼近，重構(gòu)效果最好。其中，Gaussian測(cè)量矩陣重構(gòu)圖像的SSIM值始終最小，重構(gòu)效果最差。而Bernoulli測(cè)量矩陣和Logistic測(cè)量矩陣圖像重構(gòu)的SSIM值介于前兩者之間，說明它們的重構(gòu)效果比Gaussian矩陣好，但比Kent矩陣差。

圖10為各測(cè)量矩陣在不同采樣率下的SSIM變化圖。從圖10可以看出，隨著采樣率的提高，圖像的SSIM值也越高，說明重構(gòu)的圖像越來越逼近原圖。圖10中，在采樣率為0.2～0.3時(shí)，Logistic和Kent混沌測(cè)量矩陣的SSIM值比Gaussian和Bernoulli隨機(jī)測(cè)量矩陣要高，說明前采用兩種測(cè)量矩陣重構(gòu)的圖像更逼近原圖。圖9、圖10中(b)可以看出，對(duì)于Pepper圖像在低采樣率的情況下Kent混沌序列作為測(cè)量矩陣，其重構(gòu)效果不如Logistic矩陣，說明在個(gè)別圖像中Kent矩陣的重構(gòu)效果較差，但相比隨機(jī)測(cè)量具有明顯的重構(gòu)效果。在采樣率為0.4～0.6時(shí)，四種測(cè)量矩陣的SSIM值差別不大，說明四種測(cè)量矩陣的重構(gòu)效果基本一致。以上SSIM評(píng)價(jià)指標(biāo)的結(jié)論與PSNR評(píng)價(jià)指標(biāo)得到的結(jié)論相同，再次驗(yàn)證了采用Kent矩陣作為壓縮感知測(cè)量矩陣的有效性。

圖10 各測(cè)量矩陣在不同采樣率下的SSIM變化圖

為了從視覺上直觀地觀察這一現(xiàn)象，本文在圖11-圖14中給出了四種圖像的重構(gòu)結(jié)果。

圖11 不同采樣率R條件下的Lena圖像重構(gòu)結(jié)果

圖12 不同采樣率R條件下的Peppers圖像重構(gòu)結(jié)果

圖13 不同采樣率R條件下的Board圖像重構(gòu)結(jié)果

圖14 不同采樣率R條件下的Parrots圖像重構(gòu)結(jié)果

如圖11-圖14所示，隨著采樣率的降低，各測(cè)量矩陣重構(gòu)的圖像越來越模糊，即重構(gòu)精度逐漸降低。從圖中可以看出，在低采樣率下，圖像會(huì)出現(xiàn)塊狀效應(yīng)，導(dǎo)致重構(gòu)精度嚴(yán)重降低。塊狀效應(yīng)在隨機(jī)測(cè)量矩陣(Gaussian、Bernoulli)的重構(gòu)圖像中更加嚴(yán)重，而混沌測(cè)量矩陣(Logistic、Kent)在低采樣率下，仍可重構(gòu)出圖像的大致輪廓。結(jié)合圖3，根據(jù)測(cè)量矩陣的隨機(jī)分布特性分析上述重構(gòu)效果的差異。對(duì)于Gaussian和Bernoulli矩陣，當(dāng)采樣率降低時(shí)，如圖11-圖14(d)、(e)，測(cè)量矩陣的元素減少，由于矩陣元素是隨機(jī)產(chǎn)生的，這時(shí)不能滿足上述隨機(jī)分布特性，造成對(duì)個(gè)別頻段信息的提取不足，重構(gòu)效果變差。圖3(d)中Logistic矩陣呈兩頭偏高的均勻分布，圖3(a)中Kent矩陣的分布特性較其他矩陣都均勻，由于是確定性矩陣，在矩陣元素量減少時(shí)，它們的分布特性保持不變，對(duì)各頻段信息的提取能夠得到保證，因此重構(gòu)效果較隨機(jī)矩陣優(yōu)。

結(jié)合圖11-圖14的重構(gòu)效果，當(dāng)采樣頻率越低時(shí)，獲取圖像信號(hào)的信息量越少。在采樣率較低時(shí)，Gaussian和Bernoulli隨機(jī)測(cè)量矩陣的隨機(jī)分布特性較差，所觀測(cè)的信號(hào)丟失了有用信息，不足以恢復(fù)原始信號(hào)。而Kent混沌測(cè)量矩陣分布更加均勻，比Logistic矩陣的隨機(jī)分布性能更好，能夠有效觀測(cè)到各頻率分段的信號(hào)，因此，Kent矩陣在重構(gòu)圖像時(shí)質(zhì)量更好。提高采樣率可以獲取更精確的圖像，但采樣率的提高，增加了要處理的數(shù)據(jù)量，因此實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)具體條件在處理速度和圖像精度上合理取舍。

5 結(jié) 語

本文針對(duì)壓縮感知中的測(cè)量矩陣構(gòu)造問題，提出了基于Kent混沌測(cè)量矩陣的壓縮感知圖像重構(gòu)算法?；煦缇仃嚲邆錁?gòu)造簡(jiǎn)單，占用存儲(chǔ)空間少等優(yōu)勢(shì)，相比高斯、伯努利等隨機(jī)矩陣，在消耗較低硬件代價(jià)的同時(shí)，仍可以觀測(cè)到各頻段的有用信號(hào)，獲得不遜于隨機(jī)矩陣的重構(gòu)精度。在不同采樣率下進(jìn)行的圖像重構(gòu)實(shí)驗(yàn)表明，Kent混沌測(cè)量矩陣在低采樣率下的圖像重構(gòu)效果更好，比隨機(jī)測(cè)量矩陣提高至少4～5 dB，具有一定應(yīng)用價(jià)值。今后將在降低塊狀效應(yīng)，提高重構(gòu)精度方面作進(jìn)一步的研究。

[1] Donoho D L.Compressed sensing[J].Information Theory,IEEE Transactions on,2006,52(4):1289-1306.

[2] Baraniuk R G.Compressive sensing[J].IEEE signal processing magazine,2007,24(4).

[3] 李然,干宗良,朱秀昌.基于最佳線性估計(jì)的快速壓縮感知圖像重建算法[J].電子與信息學(xué)報(bào),2012,34(12):3006-3012.

[4] Candès E J.The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J].Comptes Rendus Mathematique,2008,346(9):589-592.

[5] 豐祥,萬旺根.運(yùn)用壓縮感知理論的圖像稀疏表示與重建[J].應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào),2014,32(5):447-452.

[6] Monajemi H,Jafarpour S,Gavish M,et al.Deterministic matrices matching the compressed sensing phase transitions of Gaussian random matrices[J].Proceedings of the National Academy of Sciences,2013,110(4):1181-1186.

[7] Mendelson S,Pajor A,Tomczak-Jaegermann N.Uniform uncertainty principle for Bernoulli and subgaussian ensembles[J].Constructive Approximation,2008,28(3):277-289.

[8] 王俠,王開,王青云,等.壓縮感知中的確定性隨機(jī)觀測(cè)矩陣構(gòu)造[J].信號(hào)處理,2014,30(4):436-442.

[9] Yu L,Barbot J P,Zheng G,et al.Toeplitz-structured chaotic sensing matrix for compressive sensing[C]//Communication Systems Networks and Digital Signal Processing (CSNDSP),2010 7th International Symposium on.IEEE,2010:229-233.

[10] Kafedziski V,Stojanovski T.Compressive sampling with chaotic dynamical systems[C]//Telecommunications Forum (TELFOR),2011 19th.IEEE,2011:695-698.

[11] Frunzete M,Yu L,Barbot J P,et al.Compressive sensing matrix designed by tent map,for secure data transmission[C]//Signal Processing Algorithms,Architectures,Arrangements,and Applications Conference Proceedings (SPA),2011.IEEE,2011:1-6.

[12] 劉敘含,申曉紅,姚海洋,等.基于帳篷混沌觀測(cè)矩陣的圖像壓縮感知[J].傳感器與微系統(tǒng),2014,33(9):26-28.

[13] Gan H,Li Z,Li J,et al.Compressive sensing using chaotic sequence based on Chebyshev map[J].Nonlinear Dynamics,2014,78(4):2429-2438.

[14] Chen G,Zhang D,Chen Q,et al.The characteristic of different chaotic sequences for Compressive Sensing[C]//Image and Signal Processing (CISP),2012 5th International Congress on.IEEE,2012:1475-1479.

[15] Yang D,Li G,Cheng G.On the efficiency of chaos optimization algorithms for global optimization[J].Chaos,Solitons & Fractals,2007,34(4):1366-1375.

[16] Yang D,Liu Z,Zhou J.Chaos optimization algorithms based on chaotic maps with different probability distribution and search speed for global optimization[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2014,19(4):1229-1246.

[17] Wang X,Wang Q.A novel image encryption algorithm based on dynamic S-boxes constructed by chaos[J].Nonlinear Dynamics,2014,75(3):567-576.

[18] Wang S,Sun W,Guo Y,et al.Design and Analysis of Fast Image Encryption Algorithm based on Multiple Chaotic Systems in Real-time Security Car[J].International Journal of Security & Its Applications,2013,7(6).

[19] 解成俊,張鐵山.基于壓縮感知理論的圖像重構(gòu)算法研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2012,28(4):49-53.

[20] 林斌,彭玉樓.基于混沌序列的壓縮感知測(cè)量矩陣構(gòu)造算法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2013,49(23):199-202.

[21] Zhang Z,Jung T P,Makeig S,et al.Compressed sensing of EEG for wireless telemonitoring with low energy consumption and inexpensive hardware[J].Biomedical Engineering,IEEE Transactions on,2013,60(1):221-224.

[22] Needell D,Tropp J A.CoSaMP:Iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,2009,26(3):301-321.

[23] 吳延海,閆迪.基于改進(jìn)SP算法的壓縮感知圖像重構(gòu)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2013,30(7):200-203.

[24] Blumensath T,Davies M E.Gradient pursuits[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,2008,56(6):2370-2382.

[25] Lu W,Vaswani N.Modified basis pursuit denoising (modified-bpdn) for noisy compressive sensing with partially known support[C]//Acoustics Speech and Signal Processing (ICASSP),2010 IEEE International Conference on.IEEE,2010:3926-3929.

[26] Efron B,Hastie T,Johnstone I,et al.Least angle regression[J].The Annals of statistics,2004,32(2):407-499.

[27] Figueiredo M A T,Nowak R D,Wright S J.Gradient projection for sparse reconstruction:Application to compressed sensing and other inverse problems[J].Selected Topics in Signal Processing,IEEE Journal of,2007,1(4):586-597.

[28] Poli L,Oliveri G,Rocca P,et al.Bayesian compressive sensing approaches for the reconstruction of two-dimensional sparse scatterers under TE illuminations[J].Geoscience and Remote Sensing,IEEE Transactions on,2013,51(5):2920-2936.

[29] Oliveri G,Rocca P,Massa A.Reliable diagnosis of large linear arrays—a Bayesian compressive sensing approach[J].Antennas and Propagation,IEEE Transactions on,2012,60(10):4627-4636.

[30] Carlin M,Rocca P,Oliveri G,et al.Directions-of-arrival estimation through Bayesian compressive sensing strategies[J].Antennas and Propagation,IEEE Transactions on,2013,61(7):3828-3838.

[31] Yang D,Li G,Cheng G.Convergence analysis of first order reliability method using chaos theory[J].Computers & structures,2006,84(8):563-571.

[32] Nie X,Coca D.Reconstruction of one-dimensional chaotic maps from sequences of probability density functions[J].Nonlinear Dynamics,2015,80(3):1373-1390.

[33] HuynhThu Q,Ghanbari M.Scope of validity of PSNR in image/video quality assessment[J].Electronics Letters,2008,44(13):800-801.

[34] Wang Z,Bovik A C,Sheikh H R,et al.Image quality assessment: from error visibility to structural similarity[J].Image Processing,IEEE Transactions on,2004,13(4):600-612.

COMPRESSED SENSING IMAGE RECONSTRUCTION ALGORITHM BASED ON KENT CHAOTIC MEASUREMENT MATRIX

Sun Xiankun Chen Tao Han Hua Wang Yuming

(SchoolofElectronicandElectricalEngineering,ShanghaiUniversityofEngineeringScience,Shanghai201620,China)

Image reconstruction is the key technique of image digitisation and restoration of high-quality image signal. The significance of using compressed sensing theory to reconstruct the image is to reduce the sampling times and decrease the consumption of system resources. The structure of measurement matrix is one of the important research contents of compressed sensing. This paper presents a compressed sensing image reconstruction algorithm based on Kent chaotic measurement matrix. We use Kent chaotic sequence as the measurement matrix and adopt sparse method for discrete wavelet transform to measure the original image signal in wavelet domain. Finally, we use the orthogonal matching pursuit method to recover the original image. In simulation experiments, Gaussian random measurement matrix and Logistic chaotic measurement matrix are compared in the reconstruction of different images. Experimental results show that the reconstruction algorithm based on Kent chaotic measurement matrix can reconstruct the original image, its reconstruction performance is superior to Gaussian random measurement matrix and Logistic chaotic measurement matrix, and the defects which random measurement matrix hardware cannot realize are overcome.

Chaotic matrix Compressed sensing Image reconstruction Kent matrix

2015-11-16。國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61305014)；上海市教育委員會(huì)重點(diǎn)創(chuàng)新項(xiàng)目(14ZZ156)。孫憲坤，副教授，主研領(lǐng)域：圖像處理，計(jì)算機(jī)應(yīng)用。陳濤，碩士生。韓華，博士。王裕明，教授。

TP391

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.04.036