具有約束層阻尼旋轉(zhuǎn)復合材料軸的動態(tài)特性研究

時玉艷， 任勇生， 張玉環(huán)

(山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590)

具有約束層阻尼旋轉(zhuǎn)復合材料軸的動態(tài)特性研究

時玉艷， 任勇生， 張玉環(huán)

(山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590)

復合材料驅(qū)動軸在高速旋轉(zhuǎn)下的振動抑制，是先進直升機和汽車傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設計需要考慮的重要問題。約束層阻尼技術是工程領域內(nèi)普遍采用的實用有效的阻尼減振設計方法；然而通過采用約束層阻尼處置方式增加復合材料傳動軸的阻尼能力的研究報道，目前國內(nèi)外很少見到。從應力-應變關系、應變-位移關系出發(fā)，推導出復合材料Timoshenko軸、約束層與黏彈性層的動能及勢能的數(shù)學表達式，采用 Hamilton原理建立具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復合材料軸的運動學方程。采用廣義Galerkin法對動力學方程進行了離散化，建立了廣義坐標表示的自由振動方程組，通過特征值求解得到系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比；基于比例阻尼假設和四階Runge-Kutta數(shù)值積分方法求解上述方程，得到系統(tǒng)的自由振動響應曲線。通過數(shù)值分析揭示了約束層材料、黏彈性層材料、鋪層方式、長徑比和轉(zhuǎn)速對具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復合材料軸的固有振動特性以及自由振動響應特性的影響。

被動約束層阻尼；復合材料軸；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；阻尼自由振動

驅(qū)動軸是用于直升機和汽車動力傳輸系統(tǒng)中的一類重要的結(jié)構(gòu)部件。與金屬材料軸相比，復合材料由于具有重量輕、比強度和比剛度高等優(yōu)點，因此，正在逐步取代金屬材料，在現(xiàn)代航空和汽車驅(qū)動軸結(jié)構(gòu)設計中獲得越來越廣泛的應用[1-5]。高性能飛機和汽車的研制對復合材料驅(qū)動軸在高速和超高速跨臨界旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的振穩(wěn)定性和工作可靠性，提出了更高的要求，因此，采用實用有效的方法對旋轉(zhuǎn)復合材料驅(qū)動軸實現(xiàn)振動抑制，就顯得十分重要。

被動約束層阻尼是通過利用粘貼于受控結(jié)構(gòu)與約束層之間的高阻尼黏彈性材料耗散結(jié)構(gòu)的振動能量，從而達到減振的目的。約束層阻尼的概念自20世紀50年代提出以來，已經(jīng)發(fā)展成為一個成熟的結(jié)構(gòu)振動控制技術。采用被動約束層阻尼處置能夠在很寬的溫度和頻率范圍內(nèi)獲得較高的阻尼比，具有設計簡單、減振性能可靠等優(yōu)點，是工程界普遍認可的結(jié)構(gòu)振動控制措施之一[6]。

近年來，約束層阻尼結(jié)構(gòu)的研究成果主要集中在含約束層阻尼的非旋轉(zhuǎn)各向同性材料梁、板和殼類結(jié)構(gòu)的阻尼特性研究方面[7-13]，而對于旋轉(zhuǎn)軸，尤其是針對旋轉(zhuǎn)各向異性復合材料軸的研究報道較少。NAPOLITANO等[14]等對具有約束層阻尼和拉-扭耦合的復合材料旋轉(zhuǎn)軸進行了阻尼性能研究。他們通過有限元仿真和實驗分析，發(fā)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)阻尼可以通過設計來實現(xiàn)。VENKATACHALAM等[15]對具有不同約束層阻尼的軸-盤系統(tǒng)進行了數(shù)值分析和試驗研究，采用基于板殼理論的半解析有限元法，分析了該系統(tǒng)的固有頻率和損耗因子。GHONEIM等[16]基于動力平衡方法建立具有部分約束層的Timoshenko復合材料軸的運動方程，并結(jié)合有限元法和假設振型法，對軸的阻尼能力進行研究。

REN等[17]從復合材料單層的三維應力應變關系和Timoshenko梁理論出發(fā)，在導出復合材料夾層軸的動能和勢能表達式的基礎上，采用Hamilton原理建立了具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復合材料軸的拉-彎-扭耦合運動方程，采用廣義Galerkin法對運動方程進行數(shù)值求解，通過對約束層阻尼復合材料軸的自由振動方程進行特征值分析，得到約束層阻尼復合材料軸的前三階固有頻率和阻尼比，研究了約束層厚度、阻尼層厚度的影響。

本文在REN等工作的基礎上，進一步考察約束層材料、纖維鋪層方式、長徑比和黏彈性材料剪切模量，對旋轉(zhuǎn)復合材料軸的固有頻率及阻尼特性的影響?；诒壤枘峒俣?建立了具有約束層阻尼的復合材料軸自由振動時間響應分析模型，采用四階龍格-庫塔法進行數(shù)值積分，研究了不同參數(shù)對軸的自由振動響應特性的影響。

1 理論建模

如圖1所示，長度為L的復合材料軸，是由復合材料軸、黏彈性層和約束層組成。其中r為復合材料軸的任意層的半徑，rs是軸的內(nèi)徑。hs，hv和hc分別為軸的厚度、黏彈性層的厚度和約束層的厚度。

為了建立具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復合材料軸的動力學方程，利用Hamilton原理

(1)

式中,δT=δTs+δTc+δTv，δU=δUs+δUc+δUv，下標“s”、“c”和“v”分別為軸、約束層和黏彈性層。

復合材料軸、約束層和黏彈性層的動能分別表示為

(a)

(b)圖1 具有約束層阻尼的復合材料軸Fig. 1 Composite shaft with a constrained layer damping

(2)

(3)

(4)

復合材料軸、約束層及黏彈性層的勢能分別為

(5)

(6)

(7)

在柱坐標系 (x,r,α)下，復合材料軸和約束層的任意一層的本構(gòu)關系為

(8)

根據(jù)梁理論，σr,σα和ταx可以不予考慮。但在高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，應力σr,σα一般不為0，應當予以保留，但σr和σα的具體形式暫不確定，可以假設它們?yōu)檩S對稱。由式(8)的第一、第二和第六個方程可知，εr,εα和γrα能夠用εx,γαx,γxr,σr和σα表示。

引入Timoshenko剪切修正系數(shù)κ[18]，得到表達式

(9)

根據(jù)Timoshenko梁理論，復合材料軸和約束層內(nèi)任意一點的應變表示為

(10)

黏彈性層的本構(gòu)關系為

(11)

式中,Gv為黏彈性層的復數(shù)剪切模量。

(12)

將式(9)和式(10)代入式(5)和式(6)，將式(11)和式(12)代入式(7)，分別進行變分并代入式(1)，得位移表示的彎曲-橫向剪切耦合運動方程如下

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

設軸的兩端具有簡支邊界條件

uy(0)=uz(0)=0,uy(L)=uz(L)=0

(19)

(20)

為了得到復合材料軸的近似解，設位移和轉(zhuǎn)角的表達式為

(21)

(22)

(23)

式中，[M]、[G]和[K]分別為質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。

振動方程式(23)能夠進一步化為廣義特征值問題

Ay=λy

(24)

其中，

(25)

對振動系統(tǒng)式(24)進行特征值問題求解，可以得到系統(tǒng)的各階固有頻率和阻尼比。

為了簡化對自由振動響應問題的分析過程，具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復合材料軸的結(jié)構(gòu)阻尼對振動響應的影響，基于Raleigh假設，通過引入如下比例阻尼矩陣進行分析

[C]=a0[M]+a1[K]

(26)

式中:[M]和[K]分別為軸的模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)剛度矩陣；a0,a1為比例系數(shù)，由式(27)確定

(27)

式中：ω1和ω2為軸的前兩階固有頻率；η1和η2為相應前兩階阻尼比，這些固有頻率和阻尼比參數(shù)可以通過自由振動分析得到。

將比例阻尼矩陣式(26)與運動方程式(23)中的陀螺矩陣[G]相疊加，得到系統(tǒng)的阻尼矩陣，對此阻尼自由運動方程進行數(shù)值積分，可獲得系統(tǒng)的自由振動時間響應曲線。

2 數(shù)值結(jié)果與分析

以具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復合材料軸為研究對象，軸的材料為石墨環(huán)氧樹脂(簡稱石墨/環(huán)氧)，材料常數(shù)為：E11=139 GPa，E22=11 GPa，G12=G13=6.05 GPa，G23=3.78 GPa,v12=0.313,ρs=1 578 kg/m3；軸的基本幾何尺寸為：軸的截面平均半徑50 mm，總厚度為4 mm，約束層總厚度為2 mm。黏彈性層厚度為2 mm。對振動方程式(24)采用特征值技術進行固有振動特性分析，可得到固有頻率和阻尼比。

2.1 固有頻率與阻尼比

2.1.1 約束層材料的影響

軸長L=1 m，共10層等厚，鋪層方式[θ/-θ]5。約束層分別采用高模量碳纖維環(huán)氧樹脂(簡稱高模碳/環(huán)氧)、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁材料。其中，高模碳/環(huán)氧和石墨/環(huán)氧復合材料的鋪層方式[β/-β]，鋪層角分別取β=0°、β=45°、β=90°，高模碳/環(huán)氧的材料常數(shù)為：E11=449 GPa，E22=9.3 GPa，G12=G13=3.24 GPa，G23=3.31 GPa，ν12=0.31，ν23=0.39，ρ=1 732 kg/m3；鋼材料常數(shù)為：E=207 GPa，G=79.6 GPa，ν=0.3,ρ=7 680 kg/m3；鋁材料常數(shù)為：E=69 GPa，G=26 GPa，ν=0.33,ρ=2 800 kg/m3；黏彈性材料Gv=69(1+i)MPa，ρv=1 575 kg/m3。

圖2～圖4表示轉(zhuǎn)速Ω=0 ，具有不同約束層材料，約束層的鋪層角分別取0°、45°和90°時，固有頻率和阻尼比隨軸的鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，隨著約束層復合材料鋪層角的增加，固有頻率和阻尼比表現(xiàn)出明顯下降的趨勢。當β=0°時，采用復合材料約束層軸相對于采用金屬材料約束層軸的固有頻率和阻尼比而言，總體上有較大的增加；當β=90°時，具有復合材料約束層軸的固有頻率和阻尼卻低于具有金屬材料約束層軸的固有頻率和阻尼。原因是復合材料約束層彈性主方向1上的彈性模量與金屬材料彈性模量相比，數(shù)值相當或者較大，而復合材料約束層彈性主方向2上的彈性模量明顯小于金屬材料彈性模量。由此可見，為了能夠最大限度地提高軸的阻尼能力，同時不會以犧牲軸的固有頻率為代價，宜采用復合材料特別是高模量復合材料作為約束層。此外，從圖2～圖4中還可知，復合材料軸的鋪層角θ對于固有頻率和阻尼比也會產(chǎn)生明顯的影響。

圖5(a)～圖5(b)表示具有不同約束層材料的軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，由于陀螺效應的存在，隨著轉(zhuǎn)速的增加，固有頻率和阻尼比曲線分叉為上下兩支，上支隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加，下支隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。由圖5(a)可知，對于給定的轉(zhuǎn)速Ω，固有頻率從大到小排列相對應的約束層材料依次是高模碳/環(huán)氧、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁；由圖5(b)可知，阻尼比從大到小排列相對應的約束層材料依次是高模碳/環(huán)氧、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁。這與圖2(a)～圖2(b)是一致的。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖2 不同約束層材料復合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線( β=0°) Fig. 2 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various material of constraining layer( β=0°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖3 不同約束層材料復合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線( β=45°) Fig. 3 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various material of constraining layer( β=45°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖4 不同約束層材料復合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角變化曲線( β=90°) Fig. 4 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various material of constraining layer( β=90°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖5 不同約束層材料復合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速變化曲線( β=0°,θ=60°)Fig. 5 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various material of constraining layer( β=0°,θ=60°)

2.1.2 軸的鋪層方式的影響

軸長L=1 m，共10層等厚，分別采用[θ/-θ]5和[θ]10兩種鋪層方式；約束層的材料為高模碳/環(huán)氧, 共2層等厚，鋪層方式[β/-β]，β=0°；黏彈性材料剪切模量為Gv=69(1+i)MPa，ρv=1 575 kg/m3。

圖6(a)～圖6(b)表示轉(zhuǎn)速Ω=0時，在具有不同鋪層方式的情況下，固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，與鋪層方式[θ/-θ]5對應的固有頻率，高于與鋪層方式[θ]10對應的固有頻率，對于阻尼比而言，其值的大小與鋪層方式的關系與上述結(jié)論相反。當鋪層角大于65°時，兩種鋪層方式下的固有頻率和阻尼比曲線基本重合。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖6 不同鋪層方式下復合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角變化曲線( β=0°)Fig. 6 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various stacking sequences( β=0°)

圖7(a)～圖7(b)表示鋪層角θ=30°時，對應于不同鋪層方式的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，固有頻率和阻尼比大小與鋪層方式的對應關系，分別與圖6(a)和圖6(b)是一致的。

2.1.3 長徑比的影響

軸長分別采用L=0.5 m、L=1 m、L=1.5 m，L=2.5 m(即軸的長度與軸的截面半徑之比分別為10、20、30、50)，共10層等厚，鋪層方式[θ/-θ]5；約束層的材料為高模碳/環(huán)氧, 共2層等厚，鋪層方式[β/-β]，β=0°；黏彈性材料剪切模量為Gv=69(1+i)MPa，ρv=1 575 kg/m3。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖7 不同鋪層方式下復合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速變化曲線( β=0°)Fig. 7 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various stacking sequences( β=0°)

圖8(a)～圖8(b)表示轉(zhuǎn)速Ω=0時，對應于不同長徑比固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，隨著長徑比的增大，固有頻率和阻尼比隨著長徑比的增加逐漸減小，大長徑比下的固有頻率和阻尼比有彼此靠近的趨勢，在這種情況下，鋪層角的影響減弱。

圖9(a)～圖9(b)表示鋪層角θ=60°時，不同長徑比軸的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，當長徑比增至30和50時，上下兩支的分叉現(xiàn)象相對不再明顯。此外，隨著長徑比的增大，復合材料軸的固有頻率值逐漸減小，且相互之間也在逐步靠近。這與圖8(a)～圖8(b)所得出的結(jié)論是相符合的。

2.1.4 黏彈性層剪切模量的影響

軸長L=1 m，共10層等厚，鋪層方式[θ/-θ]5；約束層的的材料為高模碳/環(huán)氧, 共2層等厚，鋪層方式[β/-β]，β=0°。黏彈性材料的剪切模量分別為Gv=(69×107)*(1+i)Pa、Gv=(69×106)*(1+i)Pa、Gv=(69×105)*(1+i)Pa、Gv=(69×104)*(1+i)Pa，ρv=1 575 kg/m3。

圖10(a)～圖10(b)表示轉(zhuǎn)速Ω=0時，具有不同黏彈性材料剪切模量軸的固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，黏彈性材料剪切模量對復合材料軸的阻尼比有重要的影響，隨著黏彈性材料剪切模量的增大，復合材料軸的固有頻率也隨之增大；但阻尼比似乎并非

(b)阻尼比圖8 不同長徑比復合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角變化曲線( β=0°)Fig.8 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various ratio of the length and radius( β=0°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖9 不同長徑比復合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速變化曲線( β=0°)Fig. 9 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various ratio of the length and radius( β=0°)

隨著黏彈性材料剪切模量的增大而單調(diào)地增大，當黏彈性材料剪切模量增加超過一定的限度，如圖10(b) 中的Gv=(69×105)*(1+i)Pa，隨著黏彈性材料剪切模量的繼續(xù)增加，阻尼比反而會產(chǎn)生下降的趨勢，這與文獻[20]的研究發(fā)現(xiàn)是一致的。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖10 不同黏彈性材料剪切模量的復合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角θ變化曲線( β=0°)Fig. 10 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various shear modulus of the viscoelastic material( β=0°)

圖11(a)～圖11(b)表示鋪層角θ=60°時，具有不同黏彈性材料剪切模量軸的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，黏彈性材料剪切模量大小的變化，對固有頻率值影響不大，這與圖14(a)～圖14(b)的結(jié)果相一致。

圖11(a)～圖11(b)表示鋪層角θ=60°時，具有不同黏彈性材料剪切模量軸的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，當剪切模量超過Gv=(69×105)*(1+i)Pa時，阻尼比-轉(zhuǎn)速曲線的上下兩支的分叉相對不再明顯。

2.2 自由振動時間響應

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖11 不同黏彈性材料剪切模量的復合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速Ω變化曲線( β=0°)Fig. 11 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various shear modulus of the viscoelastic material( β=0°)

采用四階龍格-庫塔法對振動方程進行數(shù)值積分，得到復合材料軸的跨截面中點位置分別沿y、z方向的時間響應曲線，研究約束層材料、軸的鋪層方式、長徑比以及黏彈性層剪切模量對自由振動響應特性的影響。

2.2.1 約束層材料的影響

復合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與2.1.1中的取值相同，而軸的鋪層角θ=60°，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。

圖12～圖15分別表示約束層采用高模碳/環(huán)氧、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁時，軸中點(x=L/2)的彎曲位移時間響應uy(L/2,t)和uz(L/2,t)。結(jié)果表明，在軸和約束層的鋪層角一定的條件下，采用復合材料約束層，特別是高模量的碳纖維復合材料高模碳/環(huán)氧，能夠獲得比采用金屬材料約束層更為優(yōu)越的阻尼性能，這與圖2的結(jié)論是一致的。

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖12 具有高模碳/環(huán)氧約束層的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.12 Displacement response curves with time the composite shaft using HMCE constraining layer

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖13 具有石墨/環(huán)氧約束層的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.13 Displacement response curves with time the composite shaft using graphite-epoxy constraining layer

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖14 具有鋼約束層的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.14 Displacement response curves with time the composite shaft using steel constraining layer

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖15 具有鋁約束層的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.15 Displacement response curves with time the composite shaft using aluminum constraining layer

2.2.2 軸的鋪層方式的影響

復合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與“2.1.2”中的取值相同，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。圖16～圖17分別對應于采用兩種不同的鋪層方式， [40°/-40°]5和[40°]10，軸中點的彎曲位移時間響應。結(jié)果表明，復合材料軸在鋪層方式[40°]10下的響應曲線比鋪層方式[40°/-40°]5下的響應曲線，衰減速度要更快，這一結(jié)論與圖6的結(jié)論是相對應的。

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖16 具有鋪層方式[40°/-40°]5的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.16 Displacement response curves with time the composite shaft with stacking sequence [40°/-40°]5

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖17 具有鋪層方式[40°]10的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.17 Displacement response curves with time the composite shaft with stacking sequence [40°]10

2.2.3 長徑比的影響

復合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與2.1.3中的取值相同，而軸的鋪層角θ=60°，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。圖18～圖20分別表示軸的長徑比取10、20、50時，軸的彎曲位移時間響應。結(jié)果表明，短粗軸比細長軸的時間響應曲線衰減更快，因此，阻尼能力也更強，這也印證了圖8的結(jié)果。

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖18 長徑比為10的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.18 Displacement response curves with time the composite shaft with the ratio of the length and radius 10

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖19 長徑比為20的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.19 Displacement response curves with time the composite shaft with the ratio of the length and radius 20

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖20 長徑比為50的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.20 Displacement response curves with time the composite shaft with the ratio of the length and radius 50

2.2.4 黏彈性層剪切模量的影響

復合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與2.1.4中的取值相同，而軸的鋪層角θ=60°，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。圖21～圖23分別表示黏彈性材料的剪切模量分別為Gv=69×103(1+i)Pa，Gv=69×104(1+i)Pa和Gv=69×105(1+i)Pa時，軸的彎曲位移時間響應。結(jié)果表明，在一定的范圍內(nèi)，時間響應曲線的衰減速度隨著黏彈性材料的剪切模量的增加而增加，這與圖10的規(guī)律是一致的。

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖21 黏彈性層剪切模量Gv=69×103(1+i)Pa的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.21 Displacement response curves with time the composite shaft with the shear modulus Gv=69×103(1+i)Pa

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖22 黏彈性層剪切模量Gv=69×104(1+i)Pa的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.22 Displacement response curves with time the composite shaft with the shear modulus Gv=69×104(1+i)Pa

(a)y向時間響應 (b)z向時間響應圖23 黏彈性層剪切模量Gv=69×105(1+i)Pa的復合材料軸中點位移時間響應曲線Fig.23 Displacement response curves with time the composite shaft with the shear modulus Gv=69×105(1+i)Pa

最后，值得注意的是，在上述不同參數(shù)影響下的時間響應曲線均出現(xiàn)了拍振現(xiàn)象。原因是在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，由于陀螺矩陣的存在，使得軸在y和z方向上的振動產(chǎn)生相互耦合，從而產(chǎn)生拍振。顯然，拍振頻率隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加。

3 結(jié) 論

本文采用復合材料軸、約束層和黏彈性層的應力應變本構(gòu)關系、Timoshenko梁理論和Hamilton原理，建立具有約束層阻尼的復合材料軸的動力學方程?；趶V義Galerkin法得到系統(tǒng)的離散化方程。采用特征值技術對上述方程進行求解，分析系統(tǒng)的固有振動特性(固有頻率與阻尼比)。為了分析系統(tǒng)的自由振動時間響應特性，基于Raleigh假設，將比例阻尼矩陣引入系統(tǒng)的離散化方程，采用四階龍格-庫塔法進行數(shù)值積分。根據(jù)本文提出的模型與計算方法，針對不同的約束層材料、纖維鋪層方式、長徑比和黏彈性層剪切模量的復合材料軸，進行了固有頻率、阻尼比和時間響應的計算。主要研究結(jié)論如下：

(1)復合材料約束層，特別是高模量碳纖維約束層與金屬材料約束層相比，能夠顯著增加約束層阻尼復合材料傳動軸的阻尼能力，同時不會以減低結(jié)構(gòu)本身的固有頻率為代價。

(2)復合材料軸鋪層方式能夠?qū)S的固有頻率與阻尼比產(chǎn)生不容忽視的影響。

(3)增大復合材料軸的長徑比，其固有頻率值和阻尼比均隨之減小。

(4)復合材料軸的固有頻率隨著黏彈性材料剪切模量的增加而增加，在一定的范圍內(nèi)，黏彈性材料剪切模量的增加將導致復合材料軸的阻尼比增加，當黏彈性材料剪切模量增加超出一定限度，復合材料軸的阻尼比隨著黏彈性材料剪切模量的增加而減小。

(5)軸的旋轉(zhuǎn)效應對復合材料軸的振動特性能夠帶來明顯的影響，例如，轉(zhuǎn)速的增加會導致固有頻率和阻尼比出現(xiàn)分叉現(xiàn)象，旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的自由振動時間響應會發(fā)生拍振現(xiàn)象。

本文的研究可進一步擴展，研究部分粘貼約束阻尼層的旋轉(zhuǎn)復合材料軸的動力學特性、考慮黏彈性材料頻變特性，以及考慮復合材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復合材料軸的動力穩(wěn)定性問題。

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Vibration characteristics of a rotating composite shaft with constrained layer damping

SHI Yuyan, REN Yongsheng, ZHANG Yuhuan

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266590, China)

The vibration suppression of a composite shaft operating at high speeds is an important issue in structural design of advance power transmission of helicopters and automobiles. Constrained layer damping technology is an effective method in engineering field and it is widely used for reducing structural vibration. However, the studies on strengthening damping of a composite shaft by using constrained layer damping treatment are relatively few. Here, a mechanical model was developed for a rotating composite shaft with passive constrained layer damping (PCLD). Based on the constitutive relation of materials and the strain-displacement relation, the kinetic energy and strain energy of the composite shaft, constrained layer and viscoelastic layer were derived. Hamilton’s principle was used to derive the motion equations of the shaft with PCLD. The motion equations were discretized by using the general Galerkin method. The natural frequencies and modal damping ratios were obtained by computing a matrix eigenvalue problem. Using the assumption of proportional damping and Runge-Kutta integration algorithm, the time history responses of the system’s damped free vibration were gained. The effects of constrained layer material, viscoelastic layer material, stacking sequences, ratio of length to diameter and rotating speed on the natural vibration characteristics and damped free vibration responses of the composite shaft with PCLD were analyzed using numerical simulation.

passive constrained layer damping (PCLD); composite shaft; rotor system; damped free vibration

國家自然科學基金(11272190)

2016-06-29 修改稿收到日期：2016-08-31

時玉艷 女，碩士生，1989年生

任勇生 男，博士，教授，1956年生

TB33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.008