雙材料裂紋問題的積分方程方法

呂 君，柴國(guó)鐘(.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 3004；2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電信息學(xué)院，浙江 義烏 322000)

雙材料裂紋問題的積分方程方法

呂 君1，2，柴國(guó)鐘1
(1.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014；2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電信息學(xué)院，浙江 義烏 322000)

雙材料；裂紋系統(tǒng)；應(yīng)力強(qiáng)度因子；積分方程

雙材料斷裂力學(xué)問題的研究，最早始于WILLIAMS[1]對(duì)雙材料界面裂紋問題的研究，發(fā)現(xiàn)了界面裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)具有I-II型相互耦合的振蕩奇性，從而為雙材料斷裂力學(xué)問題的研究建立了理論基礎(chǔ).隨后，主要是20世紀(jì)80年代以后，隨著涂層材料在工程中越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，人們用數(shù)值分析[2-7]和實(shí)驗(yàn)研究[8-10]等方法對(duì)雙材料斷裂力學(xué)問題開展了廣泛的研究，取得了一系列的成果.但這些研究主要針對(duì)非界面裂紋及單個(gè)界面.

1 基本理論

1.1 基本解

對(duì)于彈性平面問題，應(yīng)力分量由復(fù)應(yīng)力函數(shù)Φ(z)和Ω(z)所確定：

σxx+σyy=4ReΦ(z)

(1)

對(duì)于圖1所示雙材料無(wú)限平面，在點(diǎn)s=s(x0,y0)處作用一單位力f=1·eiθ，其應(yīng)力函數(shù)為

圖1 雙材料平面內(nèi)單位力和單位位移不連續(xù)Fig.1 Unit force and unit displacement discontinuity in the double material plane

(2)

式中：δmn為Kronecker記號(hào)；m，n分別為加載點(diǎn)和求解點(diǎn)所在區(qū)域(m，n=1，2)；

在式(2)中分別令θ=0和θ=π/2，代入式(1)，可確定x方向單位力和y方向單位力作用下的應(yīng)力σijk(z,s)基本解(單位力基本解，稱為第一基本解)，其中的第三個(gè)下標(biāo)k表示單位力作用方向，計(jì)算結(jié)果為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

1.2 積分方程和應(yīng)力強(qiáng)度因子

考慮圖2所示的雙材料無(wú)限平面，含有M個(gè)裂紋(其中1～M′個(gè)非界面裂紋和M′+1～M個(gè)界面裂紋)，其中任意第m個(gè)裂紋的幾何參數(shù)定義如圖2所示.對(duì)于該裂紋問題，可建立積分方程：

圖2 雙材料平面內(nèi)多裂紋問題Fig.2 Multiple-crack problems in the plane of bi-material

(25)

令xm=ξam和xk=ξkak，式(25)可簡(jiǎn)寫為

(26)

求解該積分方程，得到任意第k個(gè)裂紋的上下

表面相對(duì)位移Δuxk(ξ)和Δuyk(ξ)，并由此確定裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子：

1) 對(duì)于非界面裂紋，有

(27)

(28)

2 邊界元數(shù)值方法

2.1 裂紋單元

為了數(shù)值求解積分方程式(26)，將每個(gè)裂紋離散成N個(gè)單元，得到離散形式的積分方程為

(29)

表面沿im方向的相對(duì)位移.

由于裂紋尖端附近裂紋上下表面相對(duì)位移具有如下奇性：

2) 界面裂紋(I-II型耦合振蕩奇性)有

為了高精度反映這種奇性，對(duì)于各單元內(nèi)裂紋上下表面相對(duì)位移，取如下模式：

1) 非界面裂紋有

(30)

2) 界面裂紋有

(31)

將式(30，31)代入式(29)，有

(32)

2.2 數(shù)值方法

當(dāng)ξ和ξk不在同一單元內(nèi)時(shí)，式(32)中右邊各項(xiàng)積分可按通常的數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算.

(33)

(34)

其中

(35)

1) 非界面裂紋為

(36)

2) 界面裂紋為

(37)

將式(34)代入式(33)，式(33)可寫為

(38)

其中

(39)

(40)

(41)

1) 非界面裂紋為

(42)

(43)

2) 界面裂紋為

(44)

(45)

(46)

而由式(35)Res=0(ξ-ξk)2可知：式(41)已無(wú)奇異性，可按通常的數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算.

3 典型算例

3.1 算例1

單個(gè)非界面斜裂紋如圖3所示.

圖3 雙材料平面中的斜裂紋Fig.3 Oblique crack in the plane of bi-material

表1 斜裂紋受均布?jí)毫r(shí)的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子Table 1 The non-dimensional stress intensity factor of inclined cracks under uniform pressure

由表1可見：由于受界面干涉，除了Ⅰ型外，還存在Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，且與μ1/μ2，y0/2a，θ有關(guān).筆者計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的結(jié)果一致(相差不超過(guò)10-3).

3.2 算例2

界面裂紋和非界面裂紋的干涉如圖4所示.

圖4 雙材料平面中的兩條裂紋Fig.4 Two cracks in the plane of bi-material

由圖4可知：雙材料無(wú)限平面內(nèi)有兩條裂紋，受遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σ∞.其中界面裂紋的中心位于坐標(biāo)的原點(diǎn)，長(zhǎng)度2a1=200；非界面裂紋長(zhǎng)度2a2=20，d=15，L2的中心點(diǎn)到L1的右端點(diǎn)與界面的夾角θ為變量，給定的雙材料的相關(guān)參數(shù)：材料1為Al2O3,μ1=1.792×1011N/m2,ν1=0.207;材料2為Cu,μ2=0.478×1011N/m2，ν2=0.345.

表2 兩條裂紋(含界面裂紋)受遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子Table 2 Stress intensity factor of two cracks (including interface cracks) under far field stress

4 結(jié) 論

[1] WILLIAMS M L. The stress around a fault or crack in dissimilar media[J].Bull,1959,49:199-204.

[2] GOSHIMA T,TAKAYAMA H.Thermo mechanical cracking in a surface layered medium due to rolling contact with frictional heating[J]. On the normal stresses and related topics,1995(1):67-70.

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(責(zé)任編輯：陳石平)

Integral equation methods for the problem of bi-material crack

Lü Jun1,2, CHAI Guozhong1
(1.College of Mechanical Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China；2.School of Mechanical and Electrical Engineering, Yiwu Industrial&Commercial College, Yiwu 322000, China)

bi-materials; crack system; stress intensity factors; integral equation

2016-06-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275471)；浙江省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2014C33030)

呂 君(1980—)，女，浙江東陽(yáng)人，副教授，博士研究生，研究方向?yàn)閺?fù)合涂層材料機(jī)械強(qiáng)度的數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)研究，E-mail：lvjun61258@163.com.

O346.1

A

1006-4303(2017)02-0130-07