淺談高中學生數(shù)學解題能力的培養(yǎng)

于建偉

《全日制普通高中數(shù)學新課程標準》指出“高中數(shù)學課程應注意提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一?！倍忸}能力是數(shù)學思維能力的重要組成部分，在日常的教學實踐中我們發(fā)現(xiàn)學生由于不同原因導致了在數(shù)學解題中出現(xiàn)了問題，本文就高中學生在解析幾何章節(jié)解題中出現(xiàn)的幾種問題淺談一下高中學生數(shù)學解題能力的培養(yǎng)。

一、審題不清導致出錯

例1. 直線x=π-3的傾斜角等于（ ）

A.0 B.π-3 C.π-2 D.π

分析：學生解題匆忙，望文生義，以為π-3就是傾斜角以致出錯。

解析：選C 直線x=π-3，知傾斜角為π-2.

提醒學生在日常的解題過程中培養(yǎng)良好的解題習慣，提高解題的準確率。

二、數(shù)學概念理解錯誤導致解題出錯

例2. 過點M（3，-4），且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為 .

分析：學生在解題中沒有準確理解“截距”的概念，錯認 “截距”為 “距離”，認為截距只能為正值，導致解題出錯。

解析：①若直線過原點，則k=- 4-3，所以y=- 4-3x，即4x+3y=0.

②若直線不過原點.設x-a + y-a =1，即x+y=a.

則a=3+（-4）=-1，所以直線的方程為x+y+1=0.

準確的理解概念是數(shù)學解題的前提和基礎，因此我們要引導學生透徹理解概念，準確把握題意。

三、考慮問題不全導致解題出錯

例3. 求經過點A（-5，2），且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.

分析：學生在待定系數(shù)法設截距式方程時，忽視了截距為0的特殊情況。

解析：當直線不過原點時，設所求直線方程為x-2a + y-a =1，將（-5，2）代入所設方程，解得a=- 1-2，所以直線方程為x+2y+1=0；當直線過原點時，設直線方程為y=kx，則-5k=2，解得k=- 2-5，所以直線方程為y=- 2-5x，即2x+5y=0.故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.

引導學生注意總結常見概念和題型中易出錯的地方，考慮問題全面，積累解題經驗。

四、基本題型的基本解法不熟練導致思路受阻

例4. 若直線x-a + y-b =1（a>0，b>0）過點（1，1），則a+b的最小值等于（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：學生在解題時對基本不等式中1的代換求最值的方法遺忘導致解題受阻。

解析：選C 將（1，1）代入直線x-a + y-b =1得1-a + 1-b=1，a>0，b>0，故a+b=（a+b）（1-a + 1-b）=2+ b-a + a-b ≥2+2=4，等號當且僅當a=b時取到，故a+b的最小值為4.

提醒學生注意總結典型題型的典型解法，提高自己的解題能力。

五、只會死搬硬套，不知具體問題具體分析導致解題受阻

例5. 已知圓C與直線y=x及x-y-4=0都相切，圓心在直線y=-x上，則圓C的方程為（ ）

A.（x+1）2+（y-1）2=2

B.（x+1）2+（y+1）2=2

C.（x-1）2+（y-1）2=2

D.（x-1）2+（y+1）2=2

分析：學生解題時憑感覺用待定系數(shù)法設未知數(shù)列方程運算量過大，容易出錯，沒有具體考慮到題中三條直線的特殊性。

解析：選D 由題意知x-y=0 和x-y-4=0之間的距離為=2，所以r=；又因為y=-x與x-y=0，x-y-4=0均垂直，所以由y=-x和x-y=0聯(lián)立得交點坐標為（0，0），由y=-x 和x-y-4=0聯(lián)立得交點坐標為（2，-2），所以圓心坐標為（1，-1），圓C的標準方程為（x-1）2+（y+1）2=2.

提醒學生具體問題具體分析是數(shù)學解題的基本要求，沒有一成不變的題型和方法。

六、常見數(shù)學思想方法不熟練，導致思路受阻

例6. 已知圓O：x2+y2=1，直線x-2y+5=0上動點P，過點P作圓O的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為 .

分析：學生只看到兩端點都是動點的|PA|線段，不知道把它用轉化思想轉移到只有一個動點的|PO|線段，陷入解題陷阱。

解析：過O作OP垂直于直線x-2y+5=0，過P作圓O的切線PA，連接OA，易知此時|PA|的值最小.由點到直線的距離公式，得|OP|==.又|OA|=1，所以|PA|==2.

教師授課講授解題方法時不要忘穿插數(shù)學常見的解題思想，幫助學生提高解題能力。

七、運算能力不足導致出錯

例7. 橢圓C +=1左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點.

當△F2AB的面積為時，求直線的方程.

分析：運算能力不足與應對解析幾何中繁雜的運算，導致解題中斷，是非常典型的問題。

解析：當直線的傾斜角為π-2時，A（-1，3-2），B（-1，- 3-2），S△ABF2= 1-2|AB|·|F1F2|= 1-2×3×2=3≠.當直線的傾斜角不為π-2時，設直線方程為y=k（x+1），代入 +=1得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，

所以S△ABF2= 1-2 |y1-y2|×|F1F2|=|k|=|k|==，所以17k4+k2-18=0，解得k2=1（k2=舍去），所以k=±1，所以所求直線的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.

運算能力是學生解題能力的集中體現(xiàn)，應引起老師和學生的共同關注和下大力氣解決的問題。

學生在解題中出錯的路千條萬條，但只有真正提高自己的解題能力，才能少犯錯，不犯錯，從而走到正確的解題道路上來。

注：本文為河南省教育科學研究所河南省農村學校應用性教育科研課題“高中學生在數(shù)學解題中思維障礙的成因及突破研究”成果。