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    綜合應(yīng)用冪的運(yùn)算法則

    2017-04-20 02:34:03
    初中生世界 2017年13期
    關(guān)鍵詞:記數(shù)法底數(shù)二進(jìn)制

    綜合應(yīng)用冪的運(yùn)算法則

    徐愛(ài)明

    冪的運(yùn)算是代數(shù)演算的重要基礎(chǔ),同學(xué)們不僅要熟練掌握冪的運(yùn)算法則,還要領(lǐng)會(huì)冪的運(yùn)算法則的內(nèi)涵.現(xiàn)選擇幾道中考試題和同學(xué)們一起賞析.

    例1對(duì)實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算☆如下:

    例如:2☆3=2-3=18.

    計(jì)算:[2☆(-4)]×[(-4)☆(-2)]=.

    【分析】根據(jù)算式a☆b中a與b的大小,選擇定義運(yùn)算中相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

    【評(píng)注】解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解新定義運(yùn)算,進(jìn)而將新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算求解.

    例2比較255、344、433的大小,結(jié)果是().

    A.255<344<433

    B.433<344<255

    C.255<433<344

    D.344<433<255

    【分析】觀察發(fā)現(xiàn),指數(shù)55、44、33都是11的倍數(shù),考慮逆用冪的乘方的法則,將255、344、433化成指數(shù)相同的冪的形式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較底數(shù)的大小求解.

    解:255=25×11=(25)11=3211,344=34×11=(34)11= 8111,433=43×11=(43)11=6411,

    ∵32<64<81,

    ∴255<433<344,故選C.

    【評(píng)注】本題考查了冪的乘方法則,解答關(guān)鍵是將各個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成相同指數(shù)的冪的形式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為比較底數(shù)的大小.

    變式1:已知x3=2,求x9的值.

    解:x9=(x3)3=23=8.

    變式2:已知x3=2,求x2?x+x4?x2的值.

    解:x2?x+x4?x2=x3+x6=x3+(x3)2=2+22=6.

    【評(píng)注】以同學(xué)們目前掌握的知識(shí)難以由x3=2求出x的值,因此運(yùn)用整體思想求解,即將x9用含x3的式子表示出來(lái),然后代入求值.

    【拓展】已知x、y滿(mǎn)足x+2y+1=0,

    (1)求2x+2y的值;

    (2)求2x?4y的值.

    【分析】(1)利用整體思想,將x+2y看成一個(gè)整體求解;(2)先化成同底數(shù)的冪,然后運(yùn)用冪的運(yùn)算法則計(jì)算,最后利用整體思想求解.

    【評(píng)注】運(yùn)用整體思想是求解此類(lèi)求值題的關(guān)鍵所在.

    例3如果等式(2a-1)a+2=1,則a的值為

    .【分析】?jī)绲扔?的情形有三種:①a0=1(a≠0);②1n=1(n為整數(shù));③(-1)n=1(n為偶數(shù)).

    解:當(dāng)a+2=0,即a=-2(滿(mǎn)足2a-1≠0)時(shí),(2a-1)a+2=1.當(dāng)2a-1=1,即a=1時(shí),(2a-1)a+2=1.當(dāng)2a-1=-1,即a=0時(shí),(2a-1)a+2=1.綜合知,a的值為-2、1、0.

    【評(píng)注】解答本題容易出現(xiàn)遺漏,特別是第三種情形.

    江蘇省鹽城市尚莊初級(jí)中學(xué))

    延伸閱讀

    二進(jìn)制記數(shù)法

    隨著社會(huì)的進(jìn)步,數(shù)學(xué)記數(shù)法也在不斷地發(fā)展,讓我們一起去了解在這演變過(guò)程中的一個(gè)記數(shù)法——二進(jìn)制記數(shù)法.二進(jìn)制記數(shù)法,是以2為基數(shù)的基數(shù)記數(shù)法,所用的數(shù)位為0、1,權(quán)是2的整數(shù)次冪.權(quán)就是進(jìn)制的基底的n次冪,如二進(jìn)制的權(quán)就是2n了.17世紀(jì)后半葉,德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨,結(jié)合中國(guó)的陰陽(yáng)學(xué)說(shuō)進(jìn)一步完善了二進(jìn)制.在二進(jìn)制中,他形象地用1表示上帝,用0表示虛無(wú),上帝從虛無(wú)中創(chuàng)造出所有的實(shí)物,恰好在數(shù)學(xué)中用1和0表示了所有的數(shù).在二進(jìn)制中,只有兩個(gè)數(shù)碼:1和0,其他任何數(shù)都用一行0,1表示,加法和乘法規(guī)則僅由1+0和1×0組成.

    二進(jìn)制一出現(xiàn),就深受科技界的歡迎,因?yàn)樗惯\(yùn)算更加方便.隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用,二進(jìn)制進(jìn)一步大顯身手.因?yàn)殡娮佑?jì)算機(jī)是用電子元件的不同狀態(tài)來(lái)表示不同的數(shù)碼.如果要用十進(jìn)位制就要求元件能準(zhǔn)確地變化出十種狀態(tài),這在技術(shù)上是非常困難的.而二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼1和0,只需要兩種狀態(tài)就能實(shí)現(xiàn).正如一個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)”和“關(guān)”兩種狀態(tài)一樣.如果用“開(kāi)”表示0,“關(guān)”表示1,那么一個(gè)開(kāi)關(guān)的兩種狀態(tài)就可以表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù),五個(gè)開(kāi)關(guān)就可以表示五個(gè)二進(jìn)制數(shù),這樣運(yùn)算起來(lái)就非常方便.順便提一下,二進(jìn)制數(shù)可以根據(jù)不同的需要轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù).

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