一道競(jìng)賽試題的解法探究

江蘇省無錫市輔仁高級(jí)中學(xué) (214123)

耿少峰

一道競(jìng)賽試題的解法探究

江蘇省無錫市輔仁高級(jí)中學(xué) (214123)

耿少峰

1 試題再現(xiàn)

本題是2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)的初賽試題，考查了直線方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、距離公式以及用代數(shù)方法解決幾何問題的基本思想.從閱卷的結(jié)果來看，得分較低，完全做對(duì)的很少，很多學(xué)生方法正確但是算不出結(jié)果.本文就這道題的解法進(jìn)行探究分析.

2 解法探究

點(diǎn)評(píng):此解法是常規(guī)解法，但是需要學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力.大部分考生使用的就是這種方法，很多學(xué)生能夠通過特殊情況計(jì)算出離心率，但是對(duì)一般情況而言，很少有學(xué)生能計(jì)算到最后.

點(diǎn)評(píng):根據(jù)直線過右焦點(diǎn)，將方程設(shè)為x=my+c，不僅避免了斜率的討論，更減少了運(yùn)算量，問題解決起來更加容易.

點(diǎn)評(píng):使用第二定義表示AF、BF更加容易，形式更加簡(jiǎn)潔，更容易得到正確的結(jié)果.

點(diǎn)評(píng):設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)也是解決此類問題的常用方法，但是難點(diǎn)在于尋找各個(gè)量之間的聯(lián)系，列出相應(yīng)的關(guān)系式，對(duì)思維能力的要求比較高.

解法5:由題意知，雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)，設(shè)直線l的傾斜角α，直線l的方程為

點(diǎn)評(píng):本題使用參數(shù)方程去解大大減少了運(yùn)算量，使問題變得容易了許多.

點(diǎn)評(píng):角參數(shù)焦半徑公式在常規(guī)解題中使用的并不多，但是在解決此類問題的時(shí)候能夠大大減少運(yùn)算量，使問題得到有效的解決.

點(diǎn)評(píng):建立極坐標(biāo)系，進(jìn)一步減少了解題過程和運(yùn)算量，使問題更加容易解決.

3 反思

解析幾何的問題通常運(yùn)算量較大，學(xué)生容易望而生畏，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的視角去解讀，往往能使他們有不一樣的收獲.解決問題的角度并不是一朝一夕就可以發(fā)現(xiàn)的，需要長(zhǎng)期的積累、總結(jié)、反思才能完成.總之，問題的解決固然重要，但是解決之后的反思應(yīng)當(dāng)更加重視.從不同的角度去重新審視一道題目能夠拓寬自己的視野，從而避免成為“井中之蛙”.