隨機(jī)環(huán)境下有最低收益保障的DC型養(yǎng)老金問(wèn)題

鄭小珊，樊順厚

(天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300387)

隨機(jī)環(huán)境下有最低收益保障的DC型養(yǎng)老金問(wèn)題

鄭小珊，樊順厚

(天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300387)

對(duì)隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率模型下帶有最低收益保障的DC型養(yǎng)老金投資問(wèn)題進(jìn)行了研究，其中假設(shè)利率服從仿射利率模型，股票價(jià)格服從Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型.養(yǎng)老金被允許投資于三種資產(chǎn)：一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，一種可轉(zhuǎn)換債券，一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到了指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯性解.給出數(shù)值算例分析了市場(chǎng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.

DC型養(yǎng)老金；仿射利率模型；Heston模型；最優(yōu)投資策略；指數(shù)效用

養(yǎng)老金制度是為社會(huì)成員提供養(yǎng)老金的社會(huì)化制度，分為兩種基本類型:確定給付(DB)型和確定繳費(fèi)(DC)型.對(duì)于DB型養(yǎng)老金，養(yǎng)老金受益額由基金管理者提前確定，為維持養(yǎng)老金平衡，繳費(fèi)率可隨時(shí)調(diào)整，相關(guān)金融風(fēng)險(xiǎn)由基金管理者承擔(dān).而對(duì)于DC型養(yǎng)老金，繳費(fèi)率是提前確定的，給付額的多少依賴于養(yǎng)老金的投資回報(bào)率，相關(guān)的金融風(fēng)險(xiǎn)由投保人承擔(dān).隨著人口演化以及資本市場(chǎng)的發(fā)展，DC型老金在社會(huì)保障體系中扮演越來(lái)越重要的角色.由于DC型養(yǎng)老金計(jì)劃投保人必須面臨市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，未來(lái)的退休給付無(wú)法得到保障，因此帶有最低收益保障的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃已經(jīng)引起很多研究者的關(guān)注.

Boulier等人[1]研究了Vasicek利率下帶有最低收益保障的DC型養(yǎng)老金，但是Vasicek利率模型的瞬時(shí)波動(dòng)率是常數(shù)，因此利率可能變成負(fù)值，這與實(shí)際投資環(huán)境不符.Deelstra等人[2]考慮了更為一般的隨機(jī)繳費(fèi)過(guò)程，并假設(shè)利率服從仿射利率結(jié)構(gòu)(包括CIR模型和Vasicek模型)，運(yùn)用鞅方法得到了冪效用下最優(yōu)投資策略的顯性解.張初兵等人[3]研究了仿射利率模型下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資,運(yùn)用HJB方程和Legendre變換-對(duì)偶理論，分別得到了冪效用和指數(shù)效用下最優(yōu)投資策略的顯性解.殷俊和李媛媛[4]研究了CIR利率模型和通貨膨脹下的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略.然而，上述文獻(xiàn)都僅僅對(duì)隨機(jī)利率模型下的DC型養(yǎng)老金問(wèn)題進(jìn)行了研究，而沒有考慮到股票價(jià)格的隨機(jī)波動(dòng)率問(wèn)題.

1975年，Cox[5]首次提出了CEV模型，該模型是幾何布朗運(yùn)動(dòng)(GBM)的一個(gè)擴(kuò)展，后經(jīng)實(shí)證檢驗(yàn)?zāi)軌蚝芎玫慕忉尣▌?dòng)率微笑和聚集現(xiàn)象.今年來(lái)，一些學(xué)者開始關(guān)注CEV模型下的養(yǎng)老金投資問(wèn)題.Xiao[6]研究了CEV模型下退休前后的養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題.Gao[7]利用隨機(jī)控制和變量分離技術(shù)得到了冪效用和指數(shù)效用下最優(yōu)投資策略的顯性解.張初兵等人[8]研究了CEV模型下帶有隨機(jī)工資的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資.但CEV的回報(bào)率仍為常數(shù)，波動(dòng)率并不是完全隨機(jī)的，而是價(jià)格依賴型的波動(dòng)率模型，其波動(dòng)率與股票價(jià)格完全相關(guān)，對(duì)克服波動(dòng)率微笑效果并不理想.Heston模型是隨機(jī)波動(dòng)率模型的一種，是均值回復(fù)平方根的過(guò)程，并且其回報(bào)率和波動(dòng)率都是隨機(jī)的.因此，Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型優(yōu)于GBM模型，并克服了CEV模型回報(bào)率為常數(shù)的不足之處.林祥和楊益非[9]假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從Heston模型，以最大化期望指數(shù)效用為目標(biāo)得到了DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略.張初兵等人[10]對(duì)文獻(xiàn)[9]重新進(jìn)行了研究，得到了冪效用下最優(yōu)投資策略的顯性解.肖建武等人[11]假設(shè)股票價(jià)格服從Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型，運(yùn)用最優(yōu)控制理論和Legendre變換得到了對(duì)數(shù)效用下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例和繳費(fèi)水平的顯性解.這些文獻(xiàn)都是在Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型或者CEV模型下對(duì)養(yǎng)老基金投資問(wèn)題進(jìn)行的研究，而沒有考慮隨機(jī)利率的影響.

實(shí)際投資環(huán)境中，利率并不是一成不變的，而是隨機(jī)變化的.考慮到養(yǎng)老基金的投資期限比較長(zhǎng)，其資產(chǎn)價(jià)值受利率的影響比較大.因此，在養(yǎng)老金投資問(wèn)題中應(yīng)綜合考慮隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率的影響.目前，已有一些學(xué)者開始關(guān)注隨機(jī)利率與隨機(jī)波動(dòng)率模型下的養(yǎng)老金投資問(wèn)題.Grzelak和Oosterlee[12]研究了帶有隨機(jī)利率的隨機(jī)波動(dòng)率模型下的投資組合選擇問(wèn)題.Guan和Liang[13]對(duì)隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率模型下帶有最低收益保障的DC型養(yǎng)老金問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)構(gòu)建輔助問(wèn)題得到了冪效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略.由于基金管理人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度不同，因而可用不同的效用函數(shù)來(lái)描述.指數(shù)效用屬于常系數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)，和冪效用完全不同.

本文在Guan和Liang[13]模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究指數(shù)效用函數(shù)下養(yǎng)老基金的最優(yōu)投資策略問(wèn)題.應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和HJB方程得到了指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的顯性表達(dá)式.最后，給出數(shù)值算例分析了市場(chǎng)參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.

1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)|(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是完備概率空間，Ω是真實(shí)空間，P是概率測(cè)度，F(xiàn)={Ft}t∈[0,T]是定義在該空間的右連續(xù)的σ代數(shù)域流.養(yǎng)老金開始時(shí)間是0，退休時(shí)間是T.

1.1 金融市場(chǎng)

金融市場(chǎng)由四種資產(chǎn)組成，一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即現(xiàn)金)，一種零息債卷，一種可轉(zhuǎn)換債券，一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即股票).

定義t時(shí)刻的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即現(xiàn)金)的價(jià)格為S0(t)，則S0(t)滿足下面的微分方程

(1)

其中:r(t)表示短期利率，假定短期利率由下面的隨機(jī)微分方程描述[13]：

r(0)=r0

， (2)

其中:參數(shù)a，b，k1，k2都是正常數(shù)wr(t)，是定義在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

另一種資產(chǎn)是到期日為s的零息債券，其時(shí)刻t的價(jià)格記為B(t,s)，0≤t≤s，則B(t,s)滿足下面的隨機(jī)微分方程[13]：

(3)

其中:

考慮到市場(chǎng)中某個(gè)時(shí)間可能不存在可交易的零息債券，因此我們引入一種可轉(zhuǎn)換債券，可以用可轉(zhuǎn)換債券和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來(lái)復(fù)制零息債券.

假設(shè)可轉(zhuǎn)換債券BK(t)滿足下面的隨機(jī)微分方程[13]：

(4)

則可轉(zhuǎn)換債券和零息債券之間的關(guān)系如下：

第三種資產(chǎn)是股票，它和利率風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)，其t時(shí)刻的價(jià)格記為S(t)，則S(t)滿足下面的隨機(jī)微分方程[13]：

(5)

1.2 最低收益保障下的DC型養(yǎng)老金問(wèn)題

DC型養(yǎng)老金計(jì)劃管理問(wèn)題中，繳費(fèi)是非常重要的，養(yǎng)老金計(jì)劃持有人在退休之前把他們薪水的一部分上交.在此模型中，本文假定繳費(fèi)率C(t)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程：

(6)

其中:u、σC1、σC2、λr，v都是正常數(shù).

假設(shè)養(yǎng)老金的最低收益為g(t)，t∈[T,T′]，T是退休時(shí)間，T′是死亡時(shí)間，是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.則收益保障G(T)滿足式(7)：

(7)

1.3 最優(yōu)化問(wèn)題

假定市場(chǎng)中沒有交易費(fèi)用或稅收，賣空是允許的，則養(yǎng)老金的財(cái)富過(guò)程X(t)可表示如下：

(8)

其中:u0(t)=1-uB(t)-uS(t)，uB(t)、uS(t)分別是投資在現(xiàn)金，可轉(zhuǎn)換債券和股票上的財(cái)富比例.

將式(1)，(3)，和(4)帶入式(8)，得到

(9)

定義1：記u(t)=(uB(t),uS(t))，如果u(t)滿足下面三個(gè)條件，則稱u(t)為容許策略：

(i) u(t)是在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)漸近可測(cè)的；

(iii) 式(9)對(duì)初始數(shù)據(jù)(t0,r0,L0,x0)∈[0,T]×(0,+∞)3有唯一強(qiáng)解.

假設(shè)Π表示所有容許策略u(píng)(t)所形成的集合，基金持有者的目標(biāo)是尋找一種最優(yōu)容許策略u(píng)(t)使得終端財(cái)富X(T)的期望效用最大化，并且超過(guò)最低收益保障，因此最優(yōu)化問(wèn)題如下：

(10)

其中:U(x)是嚴(yán)格凹的效用函數(shù)，滿足u′(x)>0，u″(x)<0.

本文假設(shè)養(yǎng)老基金持有人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度滿足指數(shù)效用函數(shù)：

其中:q為風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子.

2 最優(yōu)投資策略

最優(yōu)化問(wèn)題(10)不是一個(gè)單一的投資問(wèn)題因此很難解出.它包含了由繳費(fèi)帶來(lái)的連續(xù)的資金流以及考慮最低保障.在這一節(jié)中，首先引入輔助過(guò)程把問(wèn)題(10)變?yōu)橐粋€(gè)單一的投資問(wèn)題.

2.1 構(gòu)建輔助問(wèn)題

受Han和Hung研究成果[14]的啟發(fā)，我們通過(guò)以下步驟復(fù)制連續(xù)的現(xiàn)金流C(t)dt,首先必須給資產(chǎn)D(t,s)s≥t定價(jià)，到期s的最終收益為C(s).則D(t,s)滿足下面的隨機(jī)微分方程[13]：

(11)

(12)

命題1[13]：F(t,T)和連續(xù)繳費(fèi)C(t)可以由市場(chǎng)中的現(xiàn)金，債券，股票復(fù)制得到，滿足下面等式：

(13)

通過(guò)比較式(12)和(4)、(5)的系數(shù)證明很容易得到.

因?yàn)樽畹褪找姹Ｕ现缓屠曙L(fēng)險(xiǎn)相關(guān)，因此，在t時(shí)刻最低收益保障G(T)的現(xiàn)值，概率測(cè)度由利率風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格決定.因此，在t≤T時(shí)G(T)的價(jià)值由式(14)給出：

(14)

G(t)滿足下面的隨機(jī)微分方程：

從上式可以看出最低收益保障G(t)只和利率風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)，因?yàn)樵谖覀兊哪Ｐ椭?，唯一的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格與利率風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)，因此在市場(chǎng)中G(t)可以由現(xiàn)金S0(t)和債券BK(t)復(fù)制：

(15)

令Y(t)=X(t)+F(t,T)-G(t)，可以把前面的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)單一的投資問(wèn)題，將Y(t)微分如下：

(16)

其中:

(17)

2.2 求解輔助問(wèn)題

(18)

由極值的一階條件，可以解出：

(19)

把式(19)帶入到HJB方程(18)中，可以得到：

(20)

假設(shè)值函數(shù)V(t,r,y,l)具有下列形式：

計(jì)算可得值函數(shù)V(t,r,y,l)的各階偏導(dǎo)數(shù)如下：

Vt=V(t,r,y,l)(-qyAt+Br),Vy=V(t,r,y,l)(-qA),Vyy=V(t,r,y,l)(-qA)2

Vr=V(t,r,y,l)(-qyAr+Br),Vrr=V(t,r,y,l)(-qyAr+Br)2+V(t,r,y,l)(-qyArr+Brr)

Vyr=V(t,r,y,l)(-qyAr)-V(t,r,y,l),qA(-qyAr+Br),Vl=V(t,r,y,l)Bl

Vyl=-V(t,r,y,l)qBl,Vll=V(t,r,y,l)Bl+V(t,r,y,l)Bll

(21)

把式(21)的各階偏導(dǎo)數(shù)代入方程(20)中可得：

(22)

消除對(duì)y的依賴，上式可分解為兩個(gè)方程：

(23)

(24)

方程(23)的解可表達(dá)為引理1.

引理1： 假設(shè)方程(23)的解的形式為為A(t,r)=eD1(t)+rD2(t)，其邊界條件為D1(T)=D2(T)=0，則D1(t)、D2(t)式分別由式(33)、(32)所確定.

證明：A(t,r)=eD1(t)+rD2(t)的各階偏導(dǎo)數(shù)如下：

把上述各階偏導(dǎo)數(shù)代入到式(23)可得：

可得：

(25)

(26)

式(25)可以寫作：

(27)

Δ=(b-λ2k1)2+2k1>0

(28)

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和：

(29)

(30)

方程(28)進(jìn)一步可得：

(31)

解得：

(32)

進(jìn)一步可得：

(33)

證畢.

方程(24)的求解過(guò)程可表達(dá)為引理2

引理2： 假設(shè)方程(24)的解為B(t,r,l)=D3(t)+rD4(t)+lD5(t)，其邊界條件為D3(T)=D4(T)=D5(T)=0，則有D3(t)、D4(t)、D5(t)分別為：

證明：B(t,r,l)=D3(t)+rD4(t)+lD5(t)的各階偏導(dǎo)數(shù)如下：

把上述各階偏導(dǎo)數(shù)代入到式(24)可得：

可得：

(34)

(35)

(36)

解得：

(37)

(38)

(39)

證畢.

進(jìn)一步可得

(40)

綜上所述，指數(shù)效用函數(shù)下問(wèn)題(17)的最優(yōu)投資策略可總結(jié)為：

(41)

其中:A=A(t,r)=eD1(t)+rD2(t)，且D1(t)、D2(t)、D4(t)、D5(t)分別由式(33)、(32)、(37)、(38)給出.

3 算例分析

為了解釋本文所得結(jié)論，給出如下算例分析，分別分析參數(shù)q，k1和σL對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.假設(shè)市場(chǎng)參數(shù)取值為[13]：a=0.018 712，b=0.2339，k1=0.007 293 16，k2=0.001 5，r0=0.05λr=1，S=0.02，v=1.5，α=0.03，δ=0.04 ，δ=0.03，l0=0.02，t=0，K=20，T=40，u=0.02，x0=1.

將上述參數(shù)值代入式(41)，可得如下計(jì)算結(jié)果.

表1 參數(shù)q對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

表2 參數(shù)k1對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

表3 參數(shù)σL對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在Guan和Liang模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)指數(shù)效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略進(jìn)行了研究，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和HJB方程得到了最優(yōu)投資策略的顯示表達(dá)式，并給出算例分析了參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的顯示解.

[1] BOULIER J F, HUANG S J, TAILLARD G. Optimal management under stochastic interest rates: The case of a protected defined contribution pension fund [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2001, 28(1): 173-189.

[2] DEELSTRA G, GRASSELLI M, KOEHL P F. Optimal investment strategies in the presence of a minimum guarantee [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 33(1): 189-207.

[3] 張初兵，榮喜民. 仿射利率模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2012, 32(5): 1048-1056.

[4] 殷 俊, 李媛媛. 基于隨機(jī)利率和通貨膨脹的繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)資產(chǎn)配置策略[J]. 當(dāng)代經(jīng)濟(jì)科學(xué), 2013, 35(2): 11-20.

[5] COX J C. Note on option pricing I: constant elasticity of variance diffusions [D]. Stanford: Stanford University, 1975.

[6] XIAO J W, ZHAI H, QIN C L. The constant elasticity of variance (CEV) model and the Legendre transform-dual solution for annuity contracts [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2007, 40(2): 302-310.

[7] GAO J. Optimal portfolios for DC pension plans under a CEV model [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44(3): 479-490.

[8] 張初兵, 榮喜民, 常 浩. CEV模型下有隨機(jī)工資DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 30(1): 1-9.

[9] 林 祥，楊益非. Heston隨機(jī)方差模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 2010, 23(2): 413-418.

[10] 張初兵, 榮喜民, 侯如靖, 等. Heston模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的投資組合優(yōu)化[J]. 系統(tǒng)工程, 2012, 30(1): 39-44.

[11] 肖建武. 待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金管理的Heston模型及Legendre變換-對(duì)偶決策[J]. 系統(tǒng)工程, 2014, 32(7): 149-153.

[12] GRZELAK L, OOSTERLEE K. On the Heston model with stochastic interest rates [J]. SIAM Journal on Financial Mathematics,2010,2(1): 255-286.

[13] GUAN G H, LIANG Z X. Optimal management of DC pension plan in a stochastic interest rates and stochastic volatility framework [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2014, 57(1): 58-66.

[14] HAN N W, HUNG M W. Optimal asset allocation for DC pension plans under inflation [J]. Insurance Mathematics and Economics, 2012, 51(1): 172-181.

DC pension fund with minimum guarantee in stochastic environments

ZHENG Xiao-shan, FAN Shun-hou

(School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China)

The DC pension fund with minimum guarantee in a stochastic affine interest rate and stochastic volatility framework were studied. In this model, interest rate was supposed be driven by affine interest rate model, while stock price was governed by Heston’s stochastic volatility model. The pension fund was allowed to be invested in a risk-free asset, a convertible bond and a risky asset. Using dynamic programming theory, obtained the closed-form solutions to the optimal investment strategies for exponential utility. A numerical example was provided to illustrate the effect of market parameters on the optimal policies.

defined contribution pension; affine interest rate model; Heston’s model; optimal investment strategies; exponential utility

2016-06-06.

鄭小珊(1990-)，女，碩士，研究方向：養(yǎng)老金投資與風(fēng)險(xiǎn)管理.

F224

A

1672-0946(2017)02-0235-07