不同溫度下裂紋懸臂梁的模態(tài)和疲勞壽命分析

馬一江， 陳國平

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

不同溫度下裂紋懸臂梁的模態(tài)和疲勞壽命分析

馬一江， 陳國平

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

基于扭轉彈簧模型和修正Paris公式，提出了一種在不同外界溫度下含初始裂紋懸臂梁的疲勞壽命估算方法。在模態(tài)分析過程中，通過彈性模量引入溫度模塊，利用扭轉彈簧等效該裂紋，將懸臂梁轉化為由扭轉彈簧聯(lián)接的兩段彈性梁；推導出不同溫度下含裂紋梁固有振型的特征方程，分析溫度和裂紋幾何參數(shù)對裂紋梁固有頻率的影響。在疲勞壽命分析過程中，利用復彈性模量引入阻尼損耗因子，基于修正Paris方程和同步分析法，考慮裂紋梁振動與疲勞裂紋擴展的相互作用，分析溫度、阻尼和懸臂梁根部區(qū)域裂紋幾何參數(shù)對裂紋梁疲勞壽命的影響。結果表明：隨著裂紋相對位置的減小以及裂紋相對深度的增大，裂紋懸臂梁的固有頻率和疲勞壽命則逐漸降低；而外界溫度的升高也會導致裂紋懸臂梁固有頻率和疲勞壽命的降低；同時隨著阻尼損耗因子的逐漸增大，裂紋懸臂梁的疲勞壽命也會逐漸增加。

裂紋；懸臂梁；扭轉彈簧；溫度；振動疲勞

梁是工程中應用最廣泛的結構之一，隨著科技的快速發(fā)展，越來越多的機械設備朝著高速、高溫、高壓的方向發(fā)展。在高溫情況下，梁結構的材料性能和力學性能受到高溫的影響會發(fā)生變化，嚴重影響結構件的可靠性，因此抗高溫合金材料的應用變得越來越廣泛。由于加工等原因導致梁結構存在初始缺陷，最普通的結構缺陷是裂紋，裂紋的存在是影響結構安全的一大隱患。在振動環(huán)境中，結構件大多處于高溫狀態(tài)，隨著使用時間的延長，結構疲勞裂紋擴展受到高溫的影響并最終導致結構提前發(fā)生破壞。為避免結構發(fā)生疲勞破壞，必須對裂紋結構件進行定期檢查，在不同溫度下對結構件的疲勞壽命進行階段性的預測。

隨著斷裂力學的發(fā)展，PONOMARE等[1-3]提出很多估算疲勞壽命的方法。在這些疲勞破壞分析方法中，主要用靜力學方法來進行常溫下結構的應力分析，忽略了外界溫度的變化和疲勞裂紋擴展引起的結構動態(tài)特性[4]的變化。CHEN等[5]通過CC試樣進行試驗，分析了不同溫度下疲勞裂紋擴展速率與應力強度因子之間的關系。王振清等[6]利用傳遞矩陣法分析了外界溫度對裂紋簡支梁的固有頻率的影響，發(fā)現(xiàn)高溫會顯著降低裂紋梁的固有頻率。因此，對材料高溫性能的研究有利于提高結構件在高溫條件下服役的可靠性和延長其疲勞壽命。

在工程實際中，大部分的結構件處于寬頻激勵的振動環(huán)境中，使得結構件很可能處于共振狀態(tài)，最終導致該結構件的共振疲勞壞。例如，DENTSORAS等[7-8]基于Paris方程研究了常溫下共振狀態(tài)對結構疲勞裂紋擴展的影響。對懸臂梁結構而言，一般認為疲勞破壞發(fā)生在懸臂梁的根部位置。DENTSORAS等[9]針對裂紋出現(xiàn)在懸臂梁根部的情況，研究了常溫下共振區(qū)域附近激勵頻率對結構疲勞裂紋擴展的影響。由于裂紋的擴展會改變結構件的動態(tài)特性，所以結構動響應分析時應該考慮疲勞裂紋擴展與振動的相互作用。劉文光等[10]利用線彈性扭轉彈簧和拉壓彈簧等效懸臂梁根部裂紋段，通過同步分析法研究了常溫下外激頻率和阻尼等對疲勞壽命的影響，忽略了外界溫度變化對裂紋懸臂梁疲勞壽命的影響。然而在懸臂梁的實際應用中，由于使用環(huán)境的復雜性，外界溫度的變化會嚴重影響疲勞壽命預測的準確性；同時疲勞裂紋可能出現(xiàn)在懸臂梁表面任意位置，疲勞破壞也可能發(fā)生在懸臂梁根部區(qū)域的任意位置。所以振動和疲勞壽命分析時應考慮外界溫度和根部區(qū)域裂紋幾何參數(shù)的影響。因此，在不同溫度下對裂紋結構進行模態(tài)和疲勞壽命分析具有很高的工程使用價值。

本文通過彈性模量引入溫度模塊，用扭轉彈簧來代替結構裂紋，通過對含有任意位置橫向裂紋的懸臂梁的模態(tài)分析，推導出不同溫度下含裂紋懸臂梁固有振型的特征方程，分析了溫度和裂紋幾何參數(shù)對結構固有振型的影響。通過復彈性模量引入阻尼模塊，并基于修正Paris方程和同步分析法，使得裂紋梁的振動分析和疲勞壽命估算同步進行，分析了溫度、阻尼和懸臂梁根部區(qū)域裂紋幾何參數(shù)對疲勞壽命的影響。為不同溫度下含初始裂紋懸臂梁結構疲勞壽命的有效預測提供了一種方法。

1 模型建立和模態(tài)分析

1.1 裂紋懸臂梁梁模型的建立

裂紋梁原始模型

扭轉彈簧模型

Fig.1 Cracked Cantilever beam(Length:l;Width:b;Height:w;Crack Depth:a)

(1)

式中：ET和vT分別為不同溫度下材料的彈性模量和泊松比。材料的彈性模量ET通過文獻[12]來求解：ET=εET=20 °C，ε為不同溫度下彈性模量的比例系數(shù)。文獻[13]給出了表達式：

(2)

63.56ζ6-103.36ζ7+147.52ζ8-

(3)

1.2 模態(tài)分析

圖1所示的含裂紋懸臂梁為等截面均質直梁，則該梁的振動微分方程可表示為

(4)

式中：ρT為不同溫度下的材料密度;A為該梁的橫截面面積;I為橫截面慣性矩。

式(4)是一個四階常系數(shù)線性齊次偏微分方程，可利用分離變量法來求解。當該裂紋懸臂梁受到初始激勵開始自由振動時，其橫向固有振動可表示成：

(5)

將式(5)代入式(4)，可以得到兩部分梁的運動方程，求解得到振型表達式如下：

(6)

如圖1所示，該裂紋梁的邊界條件[14]為

當x=l時：M2(l)=0，F(xiàn)2(l)=0

當x=lc時：y1(lc)=y2(lc)，M1(lc)=M2(lc)，

F1(lc)=F2(lc)，

(7)

將式(6)代入式(7)中，可以得到含待定系數(shù)C1,C2,…,C8的代數(shù)方程組。由代數(shù)方程有非零解的條件，即系數(shù)行列式的值為零，即可得到求解含裂紋懸臂梁固有頻率的特征方程：

(8)

(9)

通過對式(8)的求解，可以得到該裂紋懸臂梁在裂紋處于不同幾何參數(shù)(相對位置和相對深度)時所對應的固有頻率ω。求解上述方程時，彈性模量只取其中的儲能模量部分。式(8)表達了結構固有頻率與裂紋相對位置和裂紋相對深度之間的一一對應的關系，對結構裂紋的檢測具有十分重要的理論意義。

2 動應力分析

2.1 裂紋懸臂梁的振型函數(shù)

若在該裂紋懸臂梁的右端作用一個垂直方向的簡諧激勵F0eiω1t，則該裂紋懸臂梁的邊界條件應修改為

(10)

假設在該簡諧外激勵作用下，裂紋懸臂梁的振型函數(shù)為

(11)

根據(jù)上述的邊界條件，將式(11)代入式(10)可以求解出振型函數(shù)的系數(shù)C11,C22,…,C88的值，得到在簡諧外激勵作用下該裂紋懸臂梁的振型函數(shù)。

2.2 動應力分析

由于圖1中，該裂紋屬于工程中最常見的裂紋形式——張開型(I型)裂紋，且對結構的破壞程度非常嚴重，對結構振動特性的影響也十分明顯，所以本文以I型裂紋為研究重點。根據(jù)HOOKE定律：

(12)

取0-lc段，則得到結構的該裂紋懸臂梁梁表面的動應力響應：

(13)

在裂紋處(x=lc)，裂紋位置的動應力表達式為

(14)

按照靜力學理論，該懸臂梁自由端受到垂直方向恒定作用力時的動應力為

(15)

則裂紋尖端最大動應力可以表示為

(16)

(17)

式中：κ是動應力放大系數(shù)，表示激勵頻率和裂紋擴展對動響應的放大程度，也描述了應力響應幅值的變化規(guī)律。

3 疲勞壽命分析

3.1 動應力強度因子

動應力強度因子KI是在振動環(huán)境下表征裂紋尖端應力場分布的物理量，動應力強度因子與裂紋長度的關系式為

(18)

式中：ΔKI為動應力強度因子的振幅；Δσd為每個振動周期內動應力的振幅；f(ζ)為裂紋修正因子，根據(jù)裂紋類型和加載形式[15]：

f(ζ)=1.122-1.4ζ+7.33ζ2-13.08ζ3+14ζ4

(19)

3.2 疲勞裂紋擴展速率

在不同溫度下，應力強度因子保持不變時，不同材料對應的疲勞裂紋擴展速率主要受到彈性模量的影響?？紤]到溫度的影響，SPEIDEL[16]提出了一種關于Paris公式的修正方程。對于大多數(shù)的高溫合金，該修正方程可有效的估算任意外界溫度下結構疲勞裂紋的擴展速率：

(20)

因此本文利用該修正方程來模擬不同外界溫度下裂紋懸臂梁疲勞裂紋的擴展，得到疲勞裂紋擴展速率模型：

(21)

3.3 疲勞裂紋擴展分析

在簡諧激勵作用下，結構的受迫振動會導致疲勞裂紋的擴展；而疲勞裂紋的擴展同樣會改變結構原有的動態(tài)特性，導致裂紋尖端區(qū)域應力場分布發(fā)生變化，并最終影響疲勞裂紋的擴展特性；兩者之間存在相互作用。因此，本文采用同步分析的方法，即裂紋懸臂梁的振動分析與疲勞裂紋的擴展壽命的估算同步進行，提高疲勞裂紋壽命的估算精度。

具體的步驟是，將結構每振動一周計算出的動應力幅值假設為一個恒定值，代入式(23)，積分后得到每振動一周的疲勞裂紋擴展增量。結構受到變振幅載荷的作用時，裂紋的最終深度可由疊加法來計算，表達式為

(22)

式中：a0為裂紋初始深度;Δaj為第j次循環(huán)的裂紋增量;i為總振動循環(huán)次數(shù);a為振動i次之后的裂紋總深度。

利用式(21)積分，可計算橫幅值載荷激勵下的疲勞裂紋擴展增量：

(23)

振動循環(huán)的增量為

(24)

考慮到ΔNj很小(本文取ΔNj=1)，則有：

(25)

所以，裂紋中心點的疲勞裂紋擴展增量表達式為

(26)

3.4 疲勞裂紋失效判據(jù)

為了判斷該裂紋懸臂梁是否失效，本文采用以下判據(jù)

準則1 在任意外界溫度下，如果結構裂紋擴展至該裂紋懸臂梁的中面時，就認為該結構已經破壞。

(27)

式中：ac為臨界裂紋長度，本文取ac=w/2。

準則2 在任意外界溫度下，如果裂紋尖端應力強度因子大于材料的斷裂韌性時，就認為結構已經發(fā)生失穩(wěn)斷裂。

(28)

式中：Kmax,T為最大應力強度因子；Kc,T為材料的斷裂韌性，并且材料的斷裂韌性隨溫度的變化可以忽略不計。

準則3 在任意外界溫度下，如果結構危險位置最大應力大于材料的強度極限時，就認為該結構發(fā)生破壞。

(29)

式中：σmax,T為結構最大動應力；σb,T為材料的強度極限，ECCS根據(jù)溫度變化給出了鋼的強度公式：

(30)

4 結果與討論

以圖1所示的裂紋懸臂梁為例，假設結構的幾何尺寸為：l=0.3 m、w=0.02 m、b=0.002 m；結構材料為AISI1050低碳合金鋼[17]，材料參數(shù)為ET=20 °C=210 GPa、σb,20 °C=723.45 MPa、Kc,20 °C=1 172.2 MPa·m0.5、ρT=7 860 kg/m3、vT=0.33、ΔKth=0.934 21 MPa·m0.5。

4.1 裂紋幾何參數(shù)對裂紋梁固有頻率的影響

在常溫(T=20 °C)狀態(tài)下，假設該疲勞裂紋的幾何參數(shù)如下：lc/l∈[0,1]，a0/w∈[0,1]；裂紋幾何參數(shù)不同時對應的裂紋懸臂梁第一階固有頻率如圖2所示。

由圖2可以得到，在裂紋相對深度相同時，隨著裂紋逐漸遠離固定端，該懸臂梁第一階固有頻率逐漸增大，并且增大的幅度逐漸減小；在裂紋相對位置相同時，隨著裂紋相對深度逐漸增大，該懸臂梁第一階固有頻率逐漸減小，并且減小的幅度逐漸增大。當裂紋逐漸接近該懸臂梁自由端時，該裂紋對懸臂梁第一階固有頻率的影響逐漸減?。划斄鸭y處于該懸臂梁自由端區(qū)域時，該裂紋對懸臂梁第一階固有頻率的影響可以忽略不計。

圖2 裂紋幾何參數(shù)不同時裂紋梁第一階固有頻率的變化規(guī)律

4.2 溫度對裂紋梁固有頻率的影響

由圖3可以得到，當裂紋相對位置不變時，隨著外界溫度的逐漸升高，該懸臂梁第一階固有頻率逐漸減小，并且減小的幅度逐漸增大，因此外界溫度對該裂紋懸臂梁第一階固有頻率的影響非常大；當外界溫度不變時，隨著裂紋相對位置逐漸遠離固定端，該懸臂梁第一階固有頻率逐漸增大，并且增大的幅度逐漸減小。當裂紋相對深度不變時，外界溫度對該懸臂梁第一階固有頻率的影響比裂紋相對位置大得多。

4.3 裂紋幾何參數(shù)對疲勞壽命的影響

在實際使用過程中，結構件大多處于寬頻激勵的振動環(huán)境中，使得結構件很可能處于共振狀態(tài)，最終導致共振疲勞破壞。在相同幅值的外激勵作用下，第一階模態(tài)共振引起的疲勞破壞最為嚴重。因此本文主要考慮在第一階模態(tài)共振狀態(tài)下，結構疲勞裂紋的擴展。對于懸臂梁結構，疲勞破壞大多出現(xiàn)在根部區(qū)域。

假設材料的阻尼損耗因子γ=0.05，外界溫度T=20 °C；計算步長取ΔN=1周；激勵幅值為50 N，保持不變。

選取懸臂梁根部區(qū)域的初始裂紋幾何參數(shù)：

不同裂紋幾何參數(shù)對應的結構疲勞壽命列入表1中。

表1 懸臂梁根部區(qū)域不同裂紋幾何參數(shù)對應的疲勞壽命值

表1數(shù)據(jù)顯示，在懸臂梁根部區(qū)域，裂紋初始相對深度相同時，結構的疲勞壽命隨著裂紋遠離固定端逐漸變大；裂紋的相對位置相同時，結構的疲勞壽命隨著裂紋初始相對深度變大而逐漸減??；當根部區(qū)域的裂紋初始深度不同時，任何裂紋位置均可能發(fā)生疲勞破壞。因此，裂紋懸臂梁的疲勞破壞可能發(fā)生在根部區(qū)域的任意位置，含裂紋懸臂梁的疲勞壽命由裂紋相對位置和初始相對深度共同決定。

4.4 溫度對裂紋梁疲勞壽命的影響

由圖4可以得到，當裂紋的初始幾何參數(shù)和材料的阻尼損耗因子不變時，隨著外界溫度的逐漸升高，該裂紋懸臂梁的疲勞壽命逐漸減小，并且減小的幅度逐漸增大。因此，當外界溫度較低時(T∈[20 °C,100 °C])，外界溫度對該裂紋懸臂梁疲勞壽命的影響很?。欢邷貙υ摿鸭y懸臂梁的疲勞壽命影響非常大，會顯著減小該結構的疲勞壽命。

圖4 不同溫度下裂紋懸臂梁的疲勞壽命曲線

4.5 阻尼對裂紋梁疲勞壽命的影響

圖5 不同阻尼損耗因子對應的裂紋懸臂梁的疲勞壽命曲線

由圖5可以得到，當裂紋的初始幾何參數(shù)和外界溫度不變時，隨著材料的阻尼損耗因子逐漸增加，該裂紋懸臂梁的疲勞壽命逐漸增加；當材料的阻尼損耗因子很小時，小阻尼對結構疲勞裂紋擴展速率的影響很??；當材料的阻尼損耗因子較大時，大阻尼對結構疲勞裂紋擴展速率的影響非常顯著。

5 結 論

利用扭轉彈簧等效代替結構裂紋，研究了裂紋的幾何參數(shù)和外界溫度對裂紋懸臂梁第一階固有頻率的影響；在共振狀態(tài)下，研究了裂紋的相對位置、外界溫度和材料阻尼損耗因子對裂紋懸臂梁疲勞壽命的影響。主要得到以下結論：

當裂紋逐漸接近該懸臂梁自由端時，該裂紋對懸臂梁第一階固有頻率的影響逐漸減??；當裂紋處于該懸臂梁自由端區(qū)域時，該裂紋對懸臂梁第一階固有頻率的影響可以忽略不計。

外界溫度對該裂紋懸臂梁第一階固有頻率的影響非常大，隨著外界溫度的逐漸升高，該懸臂梁第一階固有頻率逐漸減小，并且減小的幅度逐漸增大。

裂紋懸臂梁的疲勞破壞可能發(fā)生在根部區(qū)域的任意位置，含裂紋懸臂梁的疲勞壽命由裂紋相對位置和初始相對深度共同決定。

當外界溫度較低時(T∈[20 °C,100 °C])，外界溫度對該裂紋懸臂梁疲勞壽命的影響很小；而高溫對該裂紋懸臂梁的疲勞壽命影響非常大，會顯著減小該結構的疲勞壽命。

當材料的阻尼損耗因子很小時，小阻尼對結構疲勞裂紋擴展速率的影響很?。划敳牧系淖枘釗p耗因子較大時，大阻尼對結構疲勞裂紋擴展速率的影響非常顯著。

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Modal and fatigue life analysis of a cracked cantilever beam under different temperatures

MA Yijiang, CHEN Guoping

(The State Key Laboratory of Mechanics and Control for Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Based on the torsion spring model and the modified Paris formula, an analytical method was proposed to predict the fatigue life of a cantilever beam with an initial crack under different external temperatures. In the modal analysis process, the temperature module was introduced through the elastic modulus, and the cracked cantilever beam was transformed to two intact elastic beams by using a torsion spring to replace the crack segment; An inherent vibration characteristic equation of the cracked beam would be deduced under different temperatures, and effects of temperatures and crack geometric parameters on the frequency of the cracked beam would be analyzed. In the fatigue life analysis process, the damping loss factor was introduced through the complex elastic modulus. Considering the interaction of the cracked beam vibration and the fatigue crack growth, effects of temperatures, dampings and crack geometric parameters on the fatigue life of the cracked beam would be analyzed based on the modified Paris formula and the timing analysis method. Results indicate: the natural frequency and fatigue life of the cracked cantilever beam gradually decrease with the decreased relative position and the increased relative depth of the crack. And the increase of external temperature leads to the decrease of the natural frequency and fatigue life of the cracked cantilever beam. The fatigue life of the cracked beam gradually increases with the increased damping loss factor.

crack; cantilever beam; torsion spring; temperature; vibration and fatigue

江蘇高校優(yōu)勢學科建設工程基金資助

2015-10-28 修改稿收到日期：2016-03-08

馬一江 男，博士生，1989年生

陳國平 男，博士，教授，1956年生 Email：gpchen@nuaa.edu.cn

V224

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.021