RST數(shù)字控制器及其在時(shí)延系統(tǒng)中的應(yīng)用

李明輝 宋忠柱 徐文力 譚禮斌 李光輝

(陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安,710021)

RST數(shù)字控制器及其在時(shí)延系統(tǒng)中的應(yīng)用

李明輝 宋忠柱*徐文力 譚禮斌 李光輝

(陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安,710021)

RST數(shù)字控制器是一個(gè)三支路結(jié)構(gòu)控制器,可以等效為一個(gè)前向預(yù)測(cè)器和一個(gè)無時(shí)延的控制器,能夠很好地解決時(shí)延系統(tǒng)中的相位變化問題,使系統(tǒng)具有較好的魯棒性。PID控制器、PID-Smith預(yù)估控制器和RST數(shù)字控制器的仿真實(shí)驗(yàn)表明,在這3種控制器中,RST數(shù)字控制器的跟蹤性能和抑制擾動(dòng)性能最好,而且對(duì)于參數(shù)不定的系統(tǒng),其還具有較強(qiáng)的魯棒性。

RST數(shù)字控制器；時(shí)延系統(tǒng)；相位；魯棒性

長(zhǎng)久以來,數(shù)字控制理論一直受制于連續(xù)控制理論的發(fā)展,數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)被認(rèn)為是模擬數(shù)字控制器的數(shù)字化而已[1]。隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展,各種微型計(jì)算器功能越來越強(qiáng)大,復(fù)雜的數(shù)字控制算法能夠直接在硬件上運(yùn)用,并且體現(xiàn)出了許多模擬控制器無法企及的優(yōu)越性。

時(shí)延系統(tǒng)在造紙生產(chǎn)中比較常見。時(shí)延的存在導(dǎo)致了與頻率成正比的相位變化,故利用傳統(tǒng)的控制策略很難得到滿意的控制性能[2]。對(duì)時(shí)延系統(tǒng)的研究方興未艾,目前,比較流行的控制策略主要有：Smith預(yù)估器控制、IMC內(nèi)膜控制和模糊智能控制,以及這些控制策略的改進(jìn)型[3- 4]。以上每種方法在標(biāo)稱條件下均能獲得理想的控制效果,但是,控制器的控制性能依賴于模型的準(zhǔn)確程度,所以魯棒性能較差；此外,這些控制策略是為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)設(shè)計(jì)的,所以實(shí)際應(yīng)用時(shí)要進(jìn)行離散化處理,這會(huì)造成離散化的控制器無法達(dá)到原來的控制性能。因此,有必要引入一種魯棒性強(qiáng)且能直接應(yīng)用于實(shí)際的控制器,這就是RST三支路數(shù)字控制器的由來[5- 6]。

1 數(shù)字控制器結(jié)構(gòu)

1.1 常見數(shù)字控制器結(jié)構(gòu)

常見的數(shù)字控制系統(tǒng)主要包括：數(shù)字控制器(Digital Controller)、同步時(shí)鐘(Clock)、零階保持器(ZOH)、執(zhí)行器、過程、傳感器及DAC(數(shù)模轉(zhuǎn)換器)和ADC(模數(shù)轉(zhuǎn)換器)等。對(duì)象的輸出信號(hào)y(t)為連續(xù)時(shí)間信號(hào),經(jīng)過同步時(shí)鐘和ADC轉(zhuǎn)換變?yōu)殡x散值y(k),y(k)再與設(shè)定值比較,得到偏差e(k),進(jìn)入數(shù)字控制器后調(diào)用具體的算法計(jì)算出控制量u(k),最后通過零階保持器重新變?yōu)檫B續(xù)時(shí)間變量u(t)輸入到執(zhí)行器(見圖1)。

1.2 RST數(shù)字控制器結(jié)構(gòu)

RST數(shù)字控制器是一個(gè)三支路數(shù)字控制器,結(jié)構(gòu)如圖2所示,3個(gè)支路分別用R(q-1)、S(q-1)和T(q-1)表示,它們都由多項(xiàng)式來代替,設(shè)置不同的多項(xiàng)式系數(shù)可以得到不同控制特點(diǎn)的控制器。

控制信號(hào)：

(1)

開環(huán)傳遞函數(shù)：

(2)

輸入到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(3)

圖1 RST數(shù)字控制器設(shè)計(jì)

圖2 RST數(shù)字控制器結(jié)構(gòu)

引入如下公式：

A(q-1)=1+a1q-1+…+anAq-nA=

1+q-1A*(q-1)

(4)

A*(q-1)=a1+a2q-1+…+anAq-nA+1

(5)

B(q-1)=b1q-1+b2q-2+…+bnBq-nB=

q-1B*(q-1)

(6)

B*(q-1)=b1+b2q-1+b3q-2+…+bnBq-nB+1

(7)

S(q-1)=1+s1q-1+…+snSq-nS=

1+q-1S*(q-1)

(8)

R(q-1)=r0+r1q-1+…+rnRq-nR

(9)

系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：

P(q-1)=A(q-1)S(q-1)+q-dB(q-1)R(q-1)=1+p1q-1+p2q-2+…

(10)

多項(xiàng)式P(q-1)是閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母項(xiàng),定義了系統(tǒng)的極點(diǎn),同時(shí)也決定了閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能,因此,可以將多項(xiàng)式P(q-1)的系數(shù)看作系統(tǒng)性能指標(biāo)的體現(xiàn)。

2 RST數(shù)字控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)RST數(shù)字控制器最主要的就是確定參數(shù),具體來說,就是確定R(q-1)、S(q-1)和T(q-1)的多項(xiàng)式系數(shù),其中,T(q-1)的引入增加了系統(tǒng)的自由度,從而可以設(shè)計(jì)出同時(shí)滿足跟蹤性能和抑制干擾性能的數(shù)字控制器,這也是RST數(shù)字控制器具有良好魯棒性的重要體現(xiàn)?？刂茀?shù)設(shè)計(jì)的具體步驟如下。

(1)獲得對(duì)象模型,并進(jìn)行離散化處理。

對(duì)象模型的獲取至關(guān)重要,模型越準(zhǔn)確,控制器的設(shè)計(jì)越有針對(duì)性,控制效果也就越好。一般來說,對(duì)象模型的獲取有2種：一種是通過機(jī)理分析,建立對(duì)象的微分方程,做拉氏變換得到對(duì)象的傳遞函數(shù)；另一種是通過實(shí)驗(yàn)法,由測(cè)試數(shù)據(jù)辨識(shí)出系統(tǒng)對(duì)象模型[7]。第一種方法局限性較大,對(duì)于稍微復(fù)雜的對(duì)象就很難通過機(jī)理分析得到數(shù)學(xué)模型。第二種方法應(yīng)用范圍較廣,其辨識(shí)方法又可以分為：基于白化預(yù)測(cè)誤差的辨識(shí)方法和基于觀測(cè)向量和預(yù)測(cè)誤差的不相關(guān)性的辨識(shí)方法[8]。用于系統(tǒng)辨識(shí)的軟件有WinPIM+和MATLAB系統(tǒng)辨識(shí)工具箱。

針對(duì)RST數(shù)字控制器來說,對(duì)象模型用式(11)多項(xiàng)式來表示。

總而言之,在急性顱腦損傷診斷過程中,MRI成像具有較高的診斷準(zhǔn)確率和分別率,其能夠及早的將顱腦損傷病灶顯示出來,為急性顱腦損傷的診斷和治療奠定基礎(chǔ),值得進(jìn)一步采納和推廣。

(11)

通過模型辨識(shí)得到的傳遞函數(shù)經(jīng)過離散化處理后得到上述模型,其包括3個(gè)部分,即時(shí)延部分、離散所得分子項(xiàng)和分母項(xiàng)。

(2)選擇閉環(huán)極點(diǎn),確定多項(xiàng)式P(q-1)。

方法一：根據(jù)理想性能指標(biāo),確定多項(xiàng)式P(q-1)。

令：P(q-1)=1+p1q-1+p2q-2,由u(t)=P(q-1)y(t)得

y(t+2)=-u(t+2)-p1y(t+1)-p2y(t)

(12)

當(dāng)輸入為0時(shí),求系統(tǒng)的自由輸出響應(yīng)。令：p1=-0.75、p2=0,可以得到y(tǒng)(t+1)=0.75y(t),即對(duì)象輸出在下一時(shí)刻衰減到75%；對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)來說,p1應(yīng)為負(fù)值,且其絕對(duì)值應(yīng)小于1。

方法二：對(duì)于一個(gè)二階系統(tǒng)來說,可以通過指定上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和最大超調(diào)量來確定系統(tǒng)的自然頻率和阻尼比,從而得到二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù),加上零階保持器后再進(jìn)行離散化,得到的傳遞函數(shù)的分母就是多項(xiàng)式P(q-1),進(jìn)而得到系數(shù)p1和p2。例如,帶零階保持器的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模型：

(13)

(14)

則p1=a1,p2=a2。

(3)解Bezout多項(xiàng)式等式,并求出R(q-1)、S(q-1)和T(q-1)。

有3種方法可以求解RST數(shù)字控制器的參數(shù)：極點(diǎn)配置法、獨(dú)立目標(biāo)的跟蹤和調(diào)節(jié)法和基于內(nèi)膜的跟蹤和調(diào)節(jié)控制；實(shí)際上后2種方法也是極點(diǎn)配置法。極點(diǎn)配置中求解Bezout等式是RST數(shù)字控制器參數(shù)設(shè)計(jì)中最主要的一個(gè)步驟。經(jīng)過前2個(gè)步驟,已經(jīng)得到A(q-1)、B(q-1)和P(q-1),但是R(q-1)和S(q-1)還不確定,求Bezout等式的過程其實(shí)就是確定多項(xiàng)式R(q-1)和S(q-1)的系數(shù)的過程。Bezout等式如下：

P(q-1)=A(q-1)S(q-1)+q-dB(q-1)R(q-1)

(15)

當(dāng)且僅當(dāng)A(q-1)和B(q-1)互質(zhì)時(shí)等式有唯一解,此時(shí)應(yīng)滿足：

nP=degP(q-1)≤nA+nB+d-1

(16)

nS=degS(q-1)≤nB+d-1

(17)

nR=degR(q-1)=nA-1

(18)

式(17)和式(18)中,R(q-1)和S(q-1)的階數(shù)nS、nR不包含預(yù)先指定的因子項(xiàng)。

為了便于利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解,將未知參數(shù)寫成一個(gè)列向量,特征多項(xiàng)式P(q-1)的系數(shù)也寫成一個(gè)列向量,得到如下的矩陣：

Mx=p

(19)

其中,xT=[1,s1,…,sns,r0,…,rnR]；pT=[1,p1,…,pnp,0,…,0],關(guān)系矩陣M如下。

等式兩邊對(duì)關(guān)系矩陣求逆運(yùn)算,得到：

x=M-1p

(20)

所以,可以求出R(q-1)和S(q-1)。

求解等式時(shí),可以事先指定R(q-1)和S(q-1)的某些因子項(xiàng),例如,當(dāng)考慮到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和抑制擾動(dòng)時(shí),S(q-1)的多項(xiàng)式應(yīng)該包括因子項(xiàng)(1-q-1),以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益等于1,該因子項(xiàng)的作用相當(dāng)于在前向通道中加入一個(gè)積分器。

T(q-1)的確定與系統(tǒng)的跟蹤控制性能有關(guān)。通過期望性能指標(biāo)事先指定一個(gè)跟蹤模型,當(dāng)參考輸入發(fā)生變化時(shí),使系統(tǒng)輸出y(t)跟隨著期望y*(t)進(jìn)行變化,跟蹤模型的確定方法與P(q-1)的確定方法類似。以帶時(shí)延系統(tǒng)為例,其傳遞函數(shù)形式如下：

(21)

因此有：T(q-1)=GP(q-1)

至此,RST數(shù)字控制器參數(shù)設(shè)計(jì)全部結(jié)束。完整的極點(diǎn)配置如圖3所示。

圖3 控制器設(shè)計(jì)框圖

(4)驗(yàn)證魯棒性裕度。

對(duì)于設(shè)計(jì)好的RST數(shù)字控制器,最后一步就是驗(yàn)證控制器的魯棒性裕度,包括增益裕度(ΔG)、相角裕度(Δφ)、模值裕度(ΔM)和時(shí)延裕度(Δτ)等,其中,Δτ=Δφ/ωcr,如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)魯棒性裕度

3 RST數(shù)字控制器的應(yīng)用

以某紙廠污泥干化中的壓榨部分為系統(tǒng)對(duì)象,該系統(tǒng)為SISO結(jié)構(gòu)的時(shí)延系統(tǒng),辨識(shí)得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

(22)

設(shè)采樣時(shí)間Ts=1 s,加零階保持器后離散化并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后得到:

(23)

根據(jù)二階系統(tǒng)求跟蹤和調(diào)節(jié)特性(兩者一般不相同)。

(1)設(shè)ω0=0.5、ξ=0.9,離散化后得到跟蹤特性：

(24)

(25)

控制器參數(shù)：

R(q-1)=0.8914-1.1521q-1+0.3732q-2

(26)

S(q-1)=0.2+0.0852q-1-0.0134q-2-0.0045q-3-0.1785q-4-0.0888q-5

(27)

T(q-1)=1-1.3742q-1+0.4868q-2

(28)

為了便于比較,分別使用PID控制器、PID-Smith預(yù)估控制器和RST數(shù)字控制器進(jìn)行MATLAB環(huán)境下的仿真。前2個(gè)控制器均使用PID Tuner進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,得到自身最佳的控制效果；PID-Smith預(yù)估控制器采用標(biāo)稱情況,仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 3種控制器控制性能比較

粗實(shí)線代表RST數(shù)字控制器,其上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都是最小的,控制效果最好；細(xì)虛線代表PID-Smith預(yù)估控制器,其整體性能較好；細(xì)實(shí)線為PID控制器,其超調(diào)量較大。跟蹤性能：RST數(shù)字控制器最好,PID-Smith預(yù)估控制器次之,PID控制器最差；擾動(dòng)抑制：RST數(shù)字控制器最好,PID控制器次之,PID-Smith預(yù)估控制器最差。

考慮系統(tǒng)的不穩(wěn)定性,將對(duì)象增益擴(kuò)大30%,其仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 增益擴(kuò)大30%后3種控制器的魯棒性比較

圖6表明，RST數(shù)字控制器出現(xiàn)小幅超調(diào),但仍然是控制性能最好的,而PID控制器和PID-Smith預(yù)估控制器均出現(xiàn)較大的超調(diào)量,這說明RST數(shù)字控制器的魯棒性裕度也是最好的。根據(jù)圖4求得設(shè)計(jì)的RST數(shù)字控制器的增益裕度、相角裕度和模值裕度分別為2、58和0.518。

4 結(jié)束語

本研究首先介紹了RST數(shù)字控制器結(jié)構(gòu),然后介紹了RST數(shù)字控制器參數(shù)設(shè)計(jì)步驟(包括對(duì)象模型確定、性能指標(biāo)、參數(shù)求解和魯棒性分析),最后以某紙廠污泥干化中的壓榨部分為時(shí)延系統(tǒng)對(duì)象,并利用3種控制器(PID控制器、PID-Smith預(yù)估控制器和RST數(shù)字控制器)進(jìn)行仿真對(duì)比；仿真結(jié)果表明,RST數(shù)字控制器對(duì)時(shí)延系統(tǒng)跟蹤性能和抑制擾動(dòng)性能較好,且魯棒性較強(qiáng)。

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(責(zé)任編輯：關(guān) 穎)

RST Digital Controller and Its Application in Time Delay System

LI Ming-hui SONG Zhong-zhu*XU Wen-li TAN Li-bin LI Guang-hui

(CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,ShaanxiUniversityofScience&Technology,Xi’an,ShaanxiProvince, 710021)

(*E-mail: 342497333@qq.com)

The traditional control strategy does not focus on a problem of the robustness of the control system. The design goal of the controller is still to achieve good tracking performance and regulation performance level, and it is difficult to obtain satisfactory control effect for the time delay system. RST digital controller is a three branches structure controller which can be equivalent to a front predictor and a no delay controller, can solve the phase change of the time delay system, make the system with improved robustness. By simulation of three kinds of controllers of PID controller, PID-Smith controller and RST controller, the results show that the tracking performance and disturbance rejection performance of RST digital controller is the best, and it has strong robustness to the system with parameter uncertainty．

digital controller; time delay system; phase; robustness

2016- 03-14

李明輝,男,1972年生；博士,教授；主要研究方向：智能及高級(jí)過程控制。

*通信聯(lián)系人：宋忠柱，E-mail:342497333@qq.com。

TP273;TS7

A

1000- 6842(2017)01- 0045- 05