以邊為導(dǎo)引 以關(guān)系為核心
——『三角形的認(rèn)識(shí)』教學(xué)思考

◇ 南欲曉

一、課前思考

1.三角形的認(rèn)識(shí)，到底要認(rèn)識(shí)什么？

對(duì)比不同版本的教材發(fā)現(xiàn)，三角形的內(nèi)容大致包括三角形的概念、要素、特征（穩(wěn)定性和三邊關(guān)系）、分類及內(nèi)角和等內(nèi)容。三角形的概念、穩(wěn)定性及三邊關(guān)系都是關(guān)注三角形的邊；而三角形的內(nèi)角和，關(guān)注的是角；三角形的分類關(guān)注了邊和角這兩個(gè)維度。也就是說(shuō)教材內(nèi)容編排往往是圍繞著邊和角兩個(gè)維度交叉認(rèn)識(shí)三角形的。那么，對(duì)三角形認(rèn)識(shí)的教學(xué)內(nèi)容是否可以整合，分別從邊的維度和角的維度來(lái)認(rèn)識(shí)三角形及其分類呢？

2.三角形的認(rèn)識(shí)，到底要從什么開(kāi)始認(rèn)識(shí)？

從三角形的概念來(lái)看，“由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連）叫作三角形”，這是從邊的數(shù)量和邊的關(guān)系理解三角形的定義的。

為進(jìn)一步了解學(xué)生，筆者做了測(cè)查。

測(cè)查題1：下圖中哪些是三角形，哪些不是？（如圖1）

圖1

測(cè)查結(jié)果顯示學(xué)生能作出正確的判斷，也能清楚表述理由。這道題測(cè)查學(xué)生是否理解三角形的定義，其中關(guān)注兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是首尾相連，二是線段。

測(cè)查題2：給出幾組不同長(zhǎng)度的小棒 （如3、3、7，3、4、7，4、4、7，4、5、7 等）搭一個(gè)三角形。

“3、3、7”這組學(xué)生的反饋如圖2，學(xué)生搭邊為“3、3、7”的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)無(wú)法連接，于是學(xué)生使勁地拉動(dòng)a和b扣在一起，最后小棒c變成了彎曲的小棒，而且學(xué)生認(rèn)為自己搭成了一個(gè)三角形。另一部分學(xué)生把短邊推到能和長(zhǎng)邊連接的位置，如圖3。

圖2

圖3

顯然，搭出曲邊“三角形”的學(xué)生關(guān)注了首尾相連，卻忘記了邊必須是直的；而搭出“出頭的三角形”的學(xué)生關(guān)注了邊是線段（直的），卻沒(méi)有注意到首尾相連。

看來(lái)，學(xué)生最初對(duì)三角形概念的認(rèn)識(shí)是不足的，學(xué)生只停留在從依據(jù)直觀判斷到依據(jù)特征判斷的過(guò)渡時(shí)期，學(xué)生沒(méi)有從邊或角的維度找到三角形之間的聯(lián)系與區(qū)別。

3.三角形概念的本質(zhì)是什么？

課前測(cè)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生直觀感悟“三個(gè)角、三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)”的特征，但對(duì)于三角形是由三條線段圍成的圖形這一本質(zhì)屬性很難表達(dá)。邊、角、頂點(diǎn)是三角形的要素，但是這三個(gè)要素不是孤立的，融合在“圍成”這個(gè)詞當(dāng)中。實(shí)質(zhì)上“圍”表達(dá)了三條線段之間的連接關(guān)系：三條線段作為獨(dú)立的圖形，它有6個(gè)端點(diǎn)，但是連接成三角形時(shí)，端點(diǎn)只“看見(jiàn)3個(gè)”，也就是說(shuō)端點(diǎn)重合了。同樣的道理，三個(gè)角如果作為獨(dú)立的圖形，也是有6條邊的，但是圍成三角形時(shí)，邊只“看見(jiàn)3條”，也就是說(shuō)邊重合了。因此如果理解了三條線段的這種關(guān)系，也就把握住了概念的本質(zhì)。

4.三角形分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

一些三角形具有了共同的屬性才歸為一類?！胺诸悺钡倪^(guò)程就是判斷任意的三角形是否具有這個(gè)屬性，分類結(jié)果也就要“既不重復(fù)也不遺漏”。因此，“按邊分”不是分類的標(biāo)準(zhǔn)，而是按照“邊的長(zhǎng)短關(guān)系”尋找它們的共同特征。從邊的維度進(jìn)行分類，可以按照“有相等的邊和邊都不相等”或“三條邊中相等邊的條數(shù)”等標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于等腰三角形和等邊三角形的關(guān)系理解得不夠清楚，無(wú)法理解它們之間的關(guān)系，也是源于對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)的認(rèn)識(shí)不夠而引起的。如果按是否有相等的邊的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，等邊三角形從屬于等腰三角形；如果按三條邊中相等邊的條數(shù)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，等邊三角形與等腰三角形是并列關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)三角形從邊的維度分類是采用二分法，就是按是否有相等的邊來(lái)分類。

同理，三角形從角的維度按有沒(méi)有直角，可分為直角三角形和斜三角形。也可以與直角比較大?。ㄓ写笥谥苯?、等于直角和都小于直角），可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。

基于以上思考，筆者以邊作為認(rèn)識(shí)三角形的一種導(dǎo)引，嘗試通過(guò)邊與邊、邊與形狀以及邊的長(zhǎng)短關(guān)系幫助學(xué)生理解三角形的概念并感悟它的特征。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.談話引入。

問(wèn)題1：對(duì)于三角形大家都不陌生，誰(shuí)來(lái)與大家分享一下你認(rèn)識(shí)的三角形是什么樣的？

（師板書(shū)：三條邊、三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)。學(xué)生可能會(huì)說(shuō)出整個(gè)單元的內(nèi)容，如三邊關(guān)系、內(nèi)角和等）

問(wèn)題2：假如每人三根小棒，你能搭建一個(gè)三角形嗎？

（師給學(xué)生隨機(jī)分配已經(jīng)分好的8組小棒3、3、7，3、4、7，3、3、4，4、4、7，3、4、5，4、5、7，3、3、3，4、4、4。然后出示活動(dòng)要求，如圖4）

圖4

2.形成概念。

（1）反饋 3、3、7 和 2、4、7 圍的情況。

教師出示學(xué)生用小棒搭的實(shí)物圖 （形狀如圖5～圖9），并問(wèn)：你們認(rèn)為它們是三角形嗎？讓學(xué)生逐一反饋：圖5中的兩條線段沒(méi)有連起來(lái)，也就是沒(méi)有圍起來(lái)，所以不是三角形；圖6中有一條不是線段，所以也不是三角形；圖7與圖8中雖然有三角形，但其中一條線段不是原來(lái)所給的線段；圖9中線段與線段重合在一起了，所以也不是三角形。

圖5 圖6 圖7

圖8 圖9

師：你認(rèn)為怎樣的圖形才是三角形呢？

生：要有三條線段，而且要圍起來(lái)。

（2）反饋其他幾組數(shù)據(jù)圍的情況。

師：搭出三角形的同學(xué)看一下，自己的圖形是不是圍起來(lái)的？怎么判斷自己是不是圍起來(lái)了？

小結(jié)：①不是所有的三條線段都能首尾順次相連圍起來(lái)的；②只有三條線段能夠首尾順次相連圍起來(lái)的圖形，才是三角形。（板書(shū)：三條線段能夠圍起來(lái)的圖形，就是三角形）

（3）三角形邊、角與頂點(diǎn)。

師：當(dāng)我們確定這些都是三角形了，才會(huì)有你們所說(shuō)的邊、角和頂點(diǎn)。

①三個(gè)頂點(diǎn)如果分別標(biāo)上字母A、B、C，這個(gè)三角形可以叫作三角形ABC。

②介紹邊的名稱、角的名稱。

③出示：頂點(diǎn)A所對(duì)的邊是BC。你能說(shuō)說(shuō)其他頂點(diǎn)、邊與對(duì)邊嗎？

（4）溝通內(nèi)在聯(lián)系。

課件出示三角形，問(wèn)題1：一個(gè)角有兩條邊，三個(gè)角有六條邊，為什么到了三角形里只有三個(gè)角、三條邊？

小結(jié)：原來(lái)這三個(gè)角的邊是存在聯(lián)系的。

問(wèn)題2：一條邊有兩個(gè)端點(diǎn)，三條邊有六個(gè)端點(diǎn)，為什么到了三角形里只有三個(gè)頂點(diǎn)？

小結(jié)：原來(lái)這三條邊和三個(gè)頂點(diǎn)也是有聯(lián)系的，同樣三個(gè)角的頂點(diǎn)就是三角形的頂點(diǎn)。

問(wèn)題3：看來(lái)，邊、角、頂點(diǎn)之間存在聯(lián)系，這種聯(lián)系其實(shí)藏在“三條線段能夠圍起來(lái)的圖形，就是三角形”里，你找到了嗎？

3.三角形的特征。

（1）課件出示學(xué)生擺的所有三角形。（如圖10）

圖10

問(wèn)題：三條線段圍成的圖形就是三角形，那么同樣的三條線段圍成的三角形形狀是否一樣？

引導(dǎo)反饋：“3、3、4”這三根小棒搭成的三角形是否都一樣？先讓學(xué)生猜一猜，再請(qǐng)?jiān)确值叫“糸L(zhǎng)度為3、3、4的學(xué)生拿到實(shí)物投影上重疊比較一下。

師：“4、4、7”呢？其余的呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

小結(jié)：看來(lái)，三根小棒長(zhǎng)度相同，搭出的三角形形狀只有一種，都是相同的。

（2）如果用“3、3、4、4”四根小棒搭成四邊形，它們的形狀是否相同？想象一下。教師出示不同形狀的四邊形（如圖11）。能說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)嗎？

圖11

小結(jié)：長(zhǎng)度確定的四條線段圍成的四邊形形狀不同。

問(wèn)題：如果有兩個(gè)詞“穩(wěn)定性”“易變形”你會(huì)分別送給誰(shuí)？為什么？

（3）應(yīng)用與梳理。

出示小白兔和猴子圍成的籬笆（如圖12）。問(wèn)題：哪種方法更牢固？為什么？

圖12

4.三角形按邊分類。

（1）出示 6 組三邊分別為 3、3、4，4、4、7，4、4、4，3、4、5，4、5、7，3、3、3 的三角形。（如圖13）

圖13

師：如果從邊的長(zhǎng)度看，你能把這些三角形分分類嗎？

（2）學(xué)生記錄分類結(jié)果并說(shuō)出分類的標(biāo)準(zhǔn)。（如圖14）

圖14

生1：分三類，①②有2條邊相等；③⑥有3條邊相等；④⑤都不相等。

生2：分兩類，①②和③⑥都有長(zhǎng)度相等的邊；④⑤的邊都不相等。

（板書(shū)：有相等、無(wú)相等）

（3）揭示：等腰三角形，各部分名稱。在等腰三角形里，相等的兩條邊叫作腰，另一條邊叫作底。兩腰的夾角叫作頂角，腰和底的夾角叫作底角。（如圖15）

圖15

（4）將“4、4、7”和“3、3、3”的三角形旋轉(zhuǎn)后在其中找到腰。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“3、3、3”中每條邊都可以是腰，揭示等邊三角形的概念。

（5）練習(xí)判斷。

如果按“邊的特點(diǎn)”說(shuō)明三角形的關(guān)系，下面圖16中第（ ）幅圖表示得比較合理。

圖16