基于粗糙集和模糊C均值聚類對(duì)噪聲圖像分割

李云松+李曉潔+陳亞琨+毛瑞

摘要：針對(duì)含有噪聲的低對(duì)比度圖像，運(yùn)用了粗糙集理論中的不可分辨關(guān)系進(jìn)行分類，去除噪聲，保留邊緣。應(yīng)用局部的模糊增強(qiáng)算法，提升了圖像的整體對(duì)比度，保留了像素的隸屬度，有利于模糊C均值聚類分割，實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了很好的分割效果。

關(guān)鍵詞：粗集分類；梯度圖像； 插值濾波； 模糊分割

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2016）35-0195-03

Noisy Image Segmentation Base on Rough Set and Fuzzy C-Means Clustering Combination

LI Yun-song， LI Xiao-jie， CHEN Ya-kun， MAO Rui

（Electronic Information Department，Zhengzhou Electronic Power College， Zhengzhou 450004， China）

Abstract：The paper presents an image segmentation method， which utilizes the indiscernibility relation of rough sets to carry on a reasonable classification about a low contrast noise image. Not only it is effective to restrain the noise， but also it preserves the edge details of image. The whole image contrast can be promoted by the fuzzy enhancement. As the same time， the kept membership is benefited to FCM segmentation. The experiment results show the enhancement image is well segmented.

Key words： rough sets classification； gradient image； interpolation filtering； fuzzy segmentation

圖像分割就是把圖像分成若干個(gè)特定的、具有獨(dú)特性質(zhì)的區(qū)域并提出感興趣目標(biāo)的技術(shù)和過程，它是圖像處理到圖像分析的關(guān)鍵步驟。模糊C-均值聚類算法按照樣本點(diǎn)在特征空間的聚集對(duì)圖像進(jìn)行分割，但對(duì)于含有噪聲的圖像，其噪聲信息和真實(shí)信息一同處理時(shí)，魯棒性較差，不能把噪聲圖像進(jìn)行正確的分割。

圖像分割算法大都是針對(duì)具體問題的，并沒有一種適合于所有圖像的通用的分割算法。近年來，隨著通過各種新理論和新技術(shù)結(jié)合圖像分割不斷取得突破和進(jìn)展。其中基于知識(shí)分類機(jī)制的粗糙集理論，運(yùn)用不可分辨關(guān)系、上近似與下近似和屬性決策等與模糊C-均值聚類結(jié)合對(duì)圖像進(jìn)行分割，已取得好的分割效果。如張朝全[4]等運(yùn)用粗糙集理論不可分辨關(guān)系和近似空間概念對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，有效去除噪聲后，結(jié)合模糊C-均值聚類分割圖像；李云松[5]運(yùn)用粗糙集上近似和下近似概念對(duì)像素分類，保留了更多的圖像邊緣細(xì)節(jié)后，結(jié)合模糊C-均值聚類分割圖像。

本文提出的噪聲圖像分割算法，是結(jié)合粗糙集理論的不可分辨關(guān)系按照像素的梯度值對(duì)圖像分類，但因?yàn)閳D像的噪聲和邊緣梯度值都比較大，對(duì)分類后的圖像用模糊C-均值聚類分割時(shí)，圖像的邊緣細(xì)節(jié)模糊不清。因此本文首先對(duì)分類的像素進(jìn)行插值濾波和模糊增強(qiáng)，保留了圖像的弱邊緣細(xì)節(jié)，再利用模糊C-均值聚類算法取得很好的分割效果。

1 圖像的粗集分類

1.1 粗集分類的基本概念

粗糙集是波蘭理工大學(xué)Z.pawlak教授提出用來研究一種處理不精確、不確定和不完全數(shù)據(jù)的新的數(shù)學(xué)方法。它可以通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析和推理來發(fā)現(xiàn)隱含的知識(shí)揭示潛在的規(guī)律。其主要思想是保持分類能力不變的條件下，通過知識(shí)約減，導(dǎo)出問題的決策或分類規(guī)則。

粗糙集主要涉及論域[U]、屬性集合[R=C?D]、屬性值域[V]和從[U×R]到[V]的信息函數(shù)[f]。因此，一個(gè)信息系統(tǒng)[S]可以表示為一個(gè)四元組[S=U， R， V， f]，簡(jiǎn)記為[S=（U， R）]，也稱為知識(shí)庫。

設(shè)[B?R]為一個(gè)非空子集，如果[xi，xj∈U]，均有[f（xi，r）=f（xj，r）， ?r∈B]成立，那么，我們稱[xi和xj]關(guān)于屬性子集[B]不可分辨關(guān)系，簡(jiǎn)記為[Ind（B）]，于是[Ind（B）]可以將論域[U]中的元素分成若干等價(jià)類，每一個(gè)等價(jià)類稱為知識(shí)庫的知識(shí)顆粒。全體等價(jià)類組成的集合記為[U/Ind（B）]，稱之為基本集合。若集合[X]可以表示成某些基本集的并時(shí)，則稱[X]是[B]精確集，否則稱為[B]粗糙集。

文中把圖像的灰度信息作為知識(shí)庫[S=（U，R）]，定義條件屬性集[C=c1，c2]，[c1]表示圖像的梯度屬性，[c2]表示圖像的噪聲屬性。按照條件屬性定義的不可分辨關(guān)系定義為[Rc1]和[Rc2]。

1.2 [c1]子圖劃分

對(duì)一幅噪聲圖像在某點(diǎn)的灰度值記為[f（x，y）]，改點(diǎn)的梯度值表示為：

[G[f（x，y）]=f（x，y）-f（x+1，y）+][f（x，y）-f（x，y+1）] [（1）]

那么噪聲圖像可定義為[g（x，y）=G[f（x，y）]]。對(duì)于圖像的目標(biāo)和背景區(qū)域，其灰度值變化緩慢，梯度值很??；對(duì)于圖像的邊緣和噪聲區(qū)域，灰度變化較快，梯度值很大。如果圖像像素的梯度值大于或等于某個(gè)閾值[M]，則圖像的像素是關(guān)于[Rc1]不可分辨的，即屬于不精確的類，子圖[Rc1]定義為：

[Rc1（f（x，y））=f（x，y）|g（x，y）≥M] [（2）]

[Rc1]表示梯度值較大的像素[f（x，y）]組成的集合，即圖像的邊緣和噪聲區(qū)域。

1.3 [c2]子圖劃分

以像素[f（x，y）]為中心取一個(gè)[3×3]的滑動(dòng)窗口，窗口中心像素外的任一點(diǎn)的灰度值為[f（x'，y'）]，若滿足：

[ε（x，y）=f（x，y）-f（x'，y'）>T] [3]

的像素個(gè)數(shù)為6個(gè)以上，則[f（x，y）]為噪聲像素，其中[T]是閾值。不可分辨關(guān)系關(guān)系[Rc2]定義為：

[Rc2（f（x，y））=?{f（x，y）|ε（x，y）>T}] （4）

[Rc2（f（x，y））]即為圖像的噪聲區(qū)域。

通過圖像的梯度屬性，確定了圖像的邊緣像素和噪聲像素，兩者是不可分辨的。通過噪聲屬性，確定了圖像的噪聲像素，分離了邊緣像素。為了圖像的精確分割，因此要對(duì)圖像進(jìn)行降噪和提升對(duì)比度處理。

1.4 圖像插值濾波

通過噪聲屬性，確定了圖像噪聲像素的特性，對(duì)子圖[Rc1]進(jìn)行線性插值濾波，定義[5×5]的滑動(dòng)窗口，中心像素的灰度值為0，可以把噪聲像素直接丟棄，用周圍24點(diǎn)的權(quán)值進(jìn)行線性插值，離中心點(diǎn)越遠(yuǎn)的地方，權(quán)值越小，因此取得比較好的濾波效果?；瑒?dòng)窗口為：

[1116×2454246864580854686424542]

插值濾波不僅去除了圖像的噪聲，而且保留了圖像的邊緣，但濾波后的圖像對(duì)比度較低，還有進(jìn)行適度的增強(qiáng)，運(yùn)用模糊增強(qiáng)算法有利于模糊C-均值聚類對(duì)圖像的分割。

1.5 圖像的模糊增強(qiáng)

對(duì)于增強(qiáng)后的低對(duì)比度圖像，用 [X]表示圖像的模糊集，每個(gè)像素對(duì)于一個(gè)隸屬函數(shù)，則圖像映射為模糊矩陣[I]。

[I=m=1Mn=1Nμmnxmn] （5）

其中[μmnxmn]表示圖像素點(diǎn)[（m，n）]的灰度值[xmn]的隸屬度，[μmn∈[0，1]]。

（1）圖像模糊隸屬度的計(jì)算

[μmn=00≤xmn≤a（xmn-a）2（b-a）（c-a）a≤xmn≤b1-（xmn-c）2（c-b）（c-a）b≤xmn≤c1xmn≥c] （6）

[a，c]對(duì)應(yīng)圖像最小和最大灰度值，參數(shù)[b]是指下面計(jì)算公式所得模糊熵的最大值：[b=argmax{En（xmn；a，b，c）|a

[En（xmn）=1M×Nm=1Mn=1N（-μmnlog2μmn-（1-μmn）log2（1-μmn））] （7）

（2）邊緣均值[μmn]計(jì)算：

[μmn=（m，n）∈xmnμmn×Kμmn（m，n）∈xmnKμmn] （8）

[Kμmn]是梯度值較大的圖像邊緣點(diǎn)。對(duì)于圖像的目標(biāo)和背景平坦區(qū)域，灰度值很小，可令[μmn=0]，分割時(shí)看到的是整塊區(qū)域，不影響目標(biāo)的識(shí)別。但對(duì)梯度值較大的邊緣點(diǎn)兩邊的像素對(duì)比度有較大的提升。

（3）歸一化模糊對(duì)比度：

[Fc=μmn-μmnμmn+μmn] （9）

[μmn-μmn]是模糊對(duì)比度，[Fc]是歸一化處理的結(jié)果。

（4）模糊對(duì)比度非線性變換

[Fc'=Ψ（Fc）] （10）

為了有效提升圖像邊緣兩側(cè)的對(duì)比度，[Ψ（?）]運(yùn)用凸變換函數(shù)，并且滿足[Ψ（0）=0，Ψ（1）=1，Ψ（x）>x]；這里應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)[Ψ（x）=ln（1+kx）ln（1+k）]滿足實(shí)際的要求。

（5）計(jì)算圖像對(duì)比度提升后隸屬度[μ'mn]

[μ'mn=μmn×1-Fc'1+Fc'ifμmn<μmnμmn×1+Fc'1-Fc'ifμmn>μmn] （11）

2圖像的模糊C-均值聚類分割

模糊C均值聚類算法（[FCM]）是用隸屬度確定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于某個(gè)聚類的程度的一種聚類算法。[FCM]把[n]個(gè)向量 [X=x1，x2，…，xn∈Rpn]分為[c]類，并求每類的聚類中心，使得非相似性指標(biāo)的價(jià)值函數(shù)達(dá)到最小。[X]中任意樣本[xk]對(duì)[i]類的隸屬度為[uik]，分類結(jié)果可以用一個(gè)模糊隸屬矩陣[U=uik∈Rcn]

表示，滿足：[uik∈[0，1]，1≤i≤c；1≤k≤ni=1cuik=1，1≤k≤nk=1nuik>0，1≤i≤c] （12）

FCM聚類是通過最小化隸屬度矩陣[U]和聚類中心[V]的目標(biāo)函數(shù) [Jm（u，v）]來實(shí)現(xiàn)的：

[JmU，V：X=i=1ck=1nuikmxk-viA2] （13）

式中[U=uik]為滿足條件（1）的隸屬度矩陣，[V=v1，v2，…vc]為[c]個(gè)聚類中心點(diǎn)集，[2≤c≤n]。[m∈[1，∞）]為加權(quán)指數(shù)，通常[m=2]是比較理想的取值。[FCM]是通過反復(fù)迭代優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式（13），即執(zhí)行如下步驟：

（1）聚類中心[V=v1，v2，…vc]初始化。

（2）計(jì)算隸屬矩陣

[uik=1j=1cxk-viAxk-vjA2/（m-1）] （14）

（3）更新聚類中心：

[vi=k=1n（uik）mxkk=1n（uik）m] （15）

（4）重復(fù)步驟（13），（14）直至式（15）收斂。

由式（11）知，圖像在模糊增強(qiáng)時(shí)，確定了新的像素灰度隸屬度[μ'mn]，因此可以確定新的聚類中心為：

[v'i=k=1n（u'ik）mxkk=1n（u'ik）m] （16）

根據(jù)模糊C-均值聚類算法，重復(fù)步驟（11），（13）直至式（16）收斂即，可以把增強(qiáng)的圖像進(jìn)行模糊C-均值聚類分割。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文用標(biāo)準(zhǔn)的[FCM]算法，去噪增強(qiáng)后的[FCM]算法對(duì)兩種類型圖像對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究。圖1對(duì)一幅 [256×256]人工合成含噪圖像進(jìn)行分割，按照合成的像素灰度值的大小。分割時(shí)聚類數(shù)取[c=4]。對(duì)比分析結(jié)果， FCM算法對(duì)噪聲圖像分割時(shí)，不能有效的去除噪聲，分割模糊不清。本文的方法運(yùn)用插值濾波抑制了噪聲的干擾，運(yùn)用模糊增強(qiáng)提升了圖像的對(duì)比度，分割結(jié)果顯示了良好的抗噪性。

圖2按照辣椒的種類，形狀，亮度和色度將其分類，此時(shí)[c=5]。由于增加的噪聲改變了標(biāo)準(zhǔn)的FCM算法聚類中心，從圖2- b中可以發(fā)現(xiàn)不僅沒有很好的抑制噪聲，而且在許多地方進(jìn)行了錯(cuò)誤的分類。例如，右上角辣椒的形狀不可分辨清楚，圖像的對(duì)比度沒有得到有效的提升，導(dǎo)致分割圖像的目標(biāo)和背景相互融合，明暗程度無法細(xì)致區(qū)分。本文的方法對(duì)微小細(xì)節(jié)有更好的分類能力，可以看到直辣椒和圓辣椒在c圖中細(xì)節(jié)分類的準(zhǔn)確性。

4結(jié)論

本文引入了粗糙集理論中的不可分辨關(guān)系，按照像素的梯度值對(duì)圖像進(jìn)行分類，不僅圖像的噪聲像素得到有效的濾除，同時(shí)圖像的邊緣細(xì)節(jié)得到，為圖像的局部模糊對(duì)比度的提升做好鋪墊，模糊隸屬度的計(jì)算為模糊C-均值聚類分割減少了迭代次數(shù)，圖像分割更加方便易行。本文的方法是粗集理論和模糊C-均值聚類的綜合運(yùn)用，隨著粗集理論的完善，這種研究必將深入。

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