高中數(shù)學(xué)延伸拓展教學(xué)的多維研究思路

孟琪

[摘 要] 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是教師進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的. 經(jīng)過筆者對這種教學(xué)方式長期的深度思考以及不斷地實(shí)踐，總結(jié)出高中數(shù)學(xué)延伸拓展教學(xué)可從多個(gè)維度來體現(xiàn)，即數(shù)學(xué)知識(shí)概念的構(gòu)建、問題解決的延伸以及思維規(guī)律的反思過程，其中最終反思的過程是延伸拓展教學(xué)的最重要的環(huán)節(jié).

[關(guān)鍵詞] 延伸拓展；教學(xué)思路；研究維度

現(xiàn)如今的拓展延伸教學(xué)雖已有一定程度的發(fā)展，但想要走出常規(guī)思維中的，尤其是難度遞增的變式思路，還需要有更多理論和實(shí)踐的支撐. 怎樣準(zhǔn)備延伸拓展的材料還有很大的探究空間，筆者在本文對拓展延伸的幾個(gè)維度作一探究.

[?] 概念構(gòu)建，基于內(nèi)涵外延實(shí)現(xiàn)延伸拓展

數(shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的根基所在，是歷代數(shù)學(xué)家潛心研究而濃縮出的精煉而嚴(yán)密的語句. 有時(shí)概念雖小，但每一個(gè)字都起著關(guān)鍵作用，對于學(xué)生理解并運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)具有重要意義. 筆者認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)加大對高中數(shù)學(xué)中概念教學(xué)的力度，利用拓展延伸的教學(xué)理念讓學(xué)生更加重視對概念的理解. 從本質(zhì)上理解知識(shí)點(diǎn)，才能更加得心應(yīng)手地解決數(shù)學(xué)問題、應(yīng)對五花八門的題型.

例如，學(xué)生在小學(xué)和初中階段就已經(jīng)對奇和偶的概念有了一定的認(rèn)識(shí)，但當(dāng)奇和偶的概念與函數(shù)產(chǎn)生關(guān)系時(shí)，是不是跟學(xué)生之前所了解的奇和偶有所不同呢？首先，教師應(yīng)當(dāng)先根據(jù)課本內(nèi)容解釋函數(shù)奇偶性的具體概念. 蘇教版高中數(shù)學(xué)教材（必修1）中對函數(shù)奇偶性的定義是：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱y=f（x）是偶函數(shù)；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱y=f（x）是奇函數(shù). 從定義本身可以看出函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵，即關(guān)鍵在于對于某一定義域之內(nèi)如果滿足自變量與因變量的對應(yīng)的正負(fù)關(guān)系，那就存在著奇偶性.

正如前文所說，函數(shù)奇偶性的概念與學(xué)生之前所了解到的奇和偶是完全不一樣的概念，那么學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問：函數(shù)為什么要用“奇偶”來表示？函數(shù)的奇偶性與數(shù)字的奇和偶在概念上有什么樣的差異？對這些問題的理解每個(gè)人都有自己的看法，教師在了解了這些想法之后，就可以引導(dǎo)學(xué)生從書中找到對函數(shù)奇偶性的具體描述. 書中的引入部分對函數(shù)奇偶性概念的解釋是這樣的：在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱的現(xiàn)象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵……教材先舉出日常生活中一些對稱的例子，接著介紹函數(shù)奇偶性的定義，強(qiáng)調(diào)：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是對函數(shù)奇偶性的進(jìn)一步解釋. 教材這樣安排的用意即要求學(xué)生理解從舉例到定義的給出，再到對定義的進(jìn)一步解釋，三者存在對應(yīng)關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)延伸拓展的體現(xiàn).

像這樣對概念作延伸拓展的例子還有很多，這樣的教學(xué)理念能讓學(xué)生對概念的理解更加全面，比如函數(shù)奇偶性，學(xué)生不僅僅能從拓展的內(nèi)容了解到函數(shù)奇偶性是關(guān)于函數(shù)圖像對稱問題的討論，還能知道用“奇和偶”來表示這種特征的真正用意，從而洞悉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)所在，體現(xiàn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的價(jià)值最大化. 比如學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的理解是這樣的：函數(shù)圖像在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)出單一的變化趨勢，類似于我們在生活中所說的單調(diào)乏味的意思.

[?] 問題解決，基于發(fā)散思維實(shí)現(xiàn)延伸拓展

問題解決是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，與高考有著最為密切的聯(lián)系. 應(yīng)試教育往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在完成學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，為了得到最終的固定答案，而減少對題目的深入理解和反思，這樣的做法與延伸拓展的理念是背道而馳的. 想要真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)散性思維的培養(yǎng)是必不可少的，這也是新課程標(biāo)準(zhǔn)改革對學(xué)生的能力要求. 這樣的教學(xué)方式不僅不會(huì)降低學(xué)生的應(yīng)試水平，而且可以通過延伸拓展訓(xùn)練讓學(xué)生更加自信地運(yùn)用自己的發(fā)散性思維來解決各種各樣的問題.

這里簡單舉一個(gè)教材中的習(xí)題案例，蘇教版高中數(shù)學(xué)必修二中有這樣一道題：判斷圓與圓的位置關(guān)系. 對于這樣的基礎(chǔ)題，學(xué)生通常會(huì)不假思索地運(yùn)用老師所講過的最基本思路和方法，即用坐標(biāo)表示出兩個(gè)圓的圓心，求出兩者的距離，再與兩個(gè)圓的半徑之和作大小比較，最后快速得出答案. 很多學(xué)生對于該題的理解就到此為止，這樣的做法雖然能讓學(xué)生輕而易舉地解出正確答案，卻忽略了題目本身帶給學(xué)生思維培養(yǎng)的重要作用.

實(shí)際上，本題對學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)是大有裨益的，發(fā)散性思維訓(xùn)練也是對學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)的一種復(fù)習(xí)及整合，幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系. 在大家解出正確答案之后，教師可繼續(xù)追問學(xué)生這樣幾個(gè)問題：大家解出這道題所運(yùn)用的解題思路是怎樣的？是否還有其他的解題思路呢？兩個(gè)方程以及兩個(gè)未知數(shù)，是否可以運(yùn)用解方程組的知識(shí)來解決這道題？得出的解是否對本題答案的得出有幫助呢？這時(shí)學(xué)生的思維就不僅僅停留在原先的單一思路上，而是開始嘗試用不同的方法解出本題. 如果學(xué)生對教師的這幾個(gè)問題有比較好的反響，教師還可以進(jìn)一步提出更高層次的問題：打破這兩個(gè)方程標(biāo)準(zhǔn)式的書寫，將方程進(jìn)行拆分并相減，得到的直線方程與兩個(gè)圓又有怎樣的聯(lián)系？當(dāng)然，這是一個(gè)難度較高的延伸拓展，教師可視學(xué)生課堂上的具體表現(xiàn)來決定拓展思路的難易程度.

即使是一道簡單的題目，也同樣具有多方位進(jìn)行延伸拓展的價(jià)值，可使學(xué)生改變腦子里所固有的解題思維，將思維角度拉伸到更加廣泛的知識(shí)體系中去. 在實(shí)際教學(xué)中，有限的教學(xué)時(shí)間往往不允許教師在一道題目上停留太久，所以更多的是教師在講解完一到兩種思路之后，提出拓展問題留給學(xué)生進(jìn)行自主思考和探究，目的在于增強(qiáng)學(xué)生思維發(fā)散的意識(shí). 高中數(shù)學(xué)題型紛繁復(fù)雜且具有一定難度，發(fā)散性思維有助于學(xué)生在應(yīng)對棘手問題時(shí)，能夠更加沉著、冷靜地分析并分解題目所給條件，化難為易，從而提高問題解決的能力.

[?] 學(xué)習(xí)反思，基于思維規(guī)律實(shí)現(xiàn)延伸拓展

學(xué)生的反思能力是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要組成部分，與概念建構(gòu)和問題解決不同的是，反思能力更多體現(xiàn)的是學(xué)生自身的學(xué)習(xí)品質(zhì)問題，也不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面，而是貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)所有知識(shí)過程的始終. 反思的過程亦可謂對所學(xué)知識(shí)的延伸拓展過程，而當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)對反思這一過程的重視程度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng)要求的.

筆者曾經(jīng)嘗試從數(shù)學(xué)概念建構(gòu)、數(shù)學(xué)規(guī)律以及問題解決等方面來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思. 實(shí)際上，在問題解決這一環(huán)節(jié)所進(jìn)行的反思活動(dòng)，達(dá)到的效果是最佳的，學(xué)生因?yàn)閼?yīng)試需求，對問題解決環(huán)節(jié)的反思也最為重視. 然而在實(shí)際的教學(xué)模式中，出于對應(yīng)試教育的考量，教師往往三言兩語將概念性的語句快速講解完，緊接著就開始用習(xí)題進(jìn)行對知識(shí)點(diǎn)的鞏固，而不去反思知識(shí)點(diǎn)概念的本質(zhì)，這非常不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建.

例如，在蘇教版高中必修一的函數(shù)概念與基本初等函數(shù)中學(xué)習(xí)到的分段函數(shù)，教材給出了一個(gè)實(shí)際生活中的問題，即出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的問題：某市出租汽車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：在3 km以內(nèi)（含3 km）路程按起步價(jià)7元收費(fèi)，超過3 km以外的路程按2.4元/km收費(fèi). 試寫出收費(fèi)額y關(guān)于路程x的函數(shù)解析式.

這一問題的解決有兩個(gè)過程：一是生活事實(shí)向數(shù)學(xué)表達(dá)的抽象，這一步并不復(fù)雜；二是分段函數(shù)的得出. 有學(xué)生在解題過程中會(huì)寫出y=7，0

7+2.4（x-3），x≥3的表達(dá)式.而在教師給出y=7，0

7+2.4（x-3），x>3之后，有學(xué)生認(rèn)為兩者并無本質(zhì)區(qū)別. 于是，數(shù)學(xué)形式與數(shù)學(xué)本質(zhì)之間的關(guān)系就成為可以延伸拓展的重要研究命題之一. 從教師的角度來講，教師必須知道數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)形式之間的關(guān)系；而對于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，需要讓學(xué)生知道的則是每一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容都應(yīng)當(dāng)有對應(yīng)的數(shù)學(xué)形式，數(shù)學(xué)形式背后是數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的體現(xiàn). 只有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，基于分段函數(shù)的延伸拓展教學(xué)，才有了純粹的數(shù)學(xué)意義.

高中數(shù)學(xué)延伸拓展教學(xué)有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中扮演不可或缺的重要角色. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須首先考慮學(xué)生的具體情況并結(jié)合固有的教學(xué)內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸和拓展，讓學(xué)生不再只是為了做題而做題，而是真正對遇到的數(shù)學(xué)問題有自己獨(dú)到的見解和研究，這樣的拓展才能讓學(xué)生體驗(yàn)到更為豐富、有趣的數(shù)學(xué)研究過程，從而增強(qiáng)自主解決問題的能力.

總而言之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的延伸拓展對學(xué)生各方面思維能力的培養(yǎng)具有重要意義，能夠促使學(xué)生在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)、問題解決以及反思的過程中，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)品質(zhì). 因而，我們要加大高中數(shù)學(xué)延伸拓展教學(xué)的多維研究.