讓兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型再造過(guò)程
——以蘇教版四上《解決問(wèn)題》教學(xué)為例

江蘇省揚(yáng)州市東關(guān)小學(xué) 胡正梅

讓兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型再造過(guò)程
——以蘇教版四上《解決問(wèn)題》教學(xué)為例

江蘇省揚(yáng)州市東關(guān)小學(xué) 胡正梅

數(shù)學(xué)模型指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。鄭毓信教授在《國(guó)際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》一書(shū)中論述：第一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)關(guān)注利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，特別是，我們應(yīng)善于將“日常數(shù)學(xué)”用作學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和必要背景。第二，教師應(yīng)當(dāng)努力幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由“日常數(shù)學(xué)”到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的過(guò)渡。具體來(lái)說(shuō)，這種過(guò)渡在一定程度上既可被看成是一種抽象活動(dòng)，也是將著眼點(diǎn)由原先的現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)移到內(nèi)在的（深層次）數(shù)量關(guān)系。第三，教師應(yīng)十分重視如何幫助學(xué)生把學(xué)校中所學(xué)到的數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會(huì)實(shí)際生活。這一思想是對(duì)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的具體闡述。引導(dǎo)兒童在生活問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，然后優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決生活問(wèn)題，才是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸生活的真正目的。

一、問(wèn)題情境——從日常數(shù)學(xué)向?qū)W校數(shù)學(xué)的過(guò)渡

將生活問(wèn)題引到課堂上，根據(jù)問(wèn)題的特征和目的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，提煉有效的數(shù)學(xué)信息，并用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，形成一般數(shù)學(xué)問(wèn)題。生活問(wèn)題情境可以激活學(xué)生頭腦中原有的生活經(jīng)驗(yàn)，他們用積累的經(jīng)驗(yàn)來(lái)感受其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)的興趣，建立符合自己經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

從日常數(shù)學(xué)到學(xué)校數(shù)學(xué)，問(wèn)題有助于兒童形成認(rèn)知與思維模型，形成的數(shù)學(xué)模型游離于具體材料之外，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成。如教材第9頁(yè)例2，主題圖呈現(xiàn)了買繩子的情境，學(xué)生根據(jù)“可以分給多少個(gè)班，還剩多少根”，把一些物體平均分，用除法計(jì)算。為了更好地促進(jìn)學(xué)生思維模型的形成，教材先安排估計(jì)380÷30的商大約是多少，30×10=300，30×20=600，發(fā)現(xiàn)商應(yīng)該在10-20之間，通過(guò)區(qū)間估計(jì)商是十幾，形成思考方向，激活了商是兩位數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，形成思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般模型。

二、探究建?！?jīng)歷數(shù)學(xué)模型再造過(guò)程

1．一次建模

一次建模的主要任務(wù)是抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將生活問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。正如鄭教授論述的從生活數(shù)學(xué)向?qū)W校數(shù)學(xué)的抽象，抽象的過(guò)程就是建模的過(guò)程，抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是數(shù)模。建模經(jīng)歷了對(duì)情境問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)成分進(jìn)行分析和描述的過(guò)程，從學(xué)生不正規(guī)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過(guò)簡(jiǎn)化和形式化不斷地向比較嚴(yán)格和正規(guī)的語(yǔ)言靠攏的過(guò)程。

（1）解讀情境。情境中的信息是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的“基石”，情境中的信息一般比較多，關(guān)系也比較復(fù)雜，需要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致閱讀，深刻分解問(wèn)題背景，根據(jù)問(wèn)題的特征和建模的目的進(jìn)行必要梳理。如教材第56頁(yè)例1，主題圖為栽樹(shù)的情境，有“3行桃樹(shù)”“8行杏樹(shù)”“4行梨樹(shù)”以及“桃樹(shù)每行7棵”“杏樹(shù)每行6棵”“梨樹(shù)每行5棵”六個(gè)已知條件。呈現(xiàn)特點(diǎn)：已知條件比較多，條件之間的直接聯(lián)系比較清楚，數(shù)量關(guān)系式簡(jiǎn)單。學(xué)生明確桃樹(shù)的行數(shù)與每行棵數(shù)是一組，杏樹(shù)的行數(shù)與每行棵數(shù)是一組，梨樹(shù)的行數(shù)與每行棵數(shù)是一組，盡量掌握被建模對(duì)象的各種信息，發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律。

（2）抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。抓住主要信息，聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，依據(jù)數(shù)量關(guān)系式，用精確的語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，問(wèn)題的難易度也反映了兒童思維水平的高低。學(xué)生很容易找到數(shù)量關(guān)系式：桃樹(shù)總棵數(shù)=桃樹(shù)行數(shù)×每行棵樹(shù)，杏樹(shù)總棵數(shù)=杏樹(shù)行數(shù)×每行棵樹(shù)，梨樹(shù)總棵數(shù)=梨樹(shù)行數(shù)×每行棵樹(shù)，再求解桃樹(shù)、杏樹(shù)和梨樹(shù)棵數(shù)的問(wèn)題、桃樹(shù)和梨樹(shù)一共棵數(shù)的問(wèn)題就容易了。找到已知量之間的各種關(guān)系，利用條件與條件之間的聯(lián)系進(jìn)行分析，從而抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2．二次建模

二次建模的主要任務(wù)是抽象出數(shù)學(xué)方法，將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)出來(lái)，從而建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解。從數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽象出純數(shù)學(xué)的意義，這種意義表述或數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)也是數(shù)模，經(jīng)歷了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入探究過(guò)程。

（1）解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。在認(rèn)知心理學(xué)家看來(lái)，解答問(wèn)題通常被描述為搜索問(wèn)題空間，而問(wèn)題空間包括初始狀態(tài)、中間狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)。把解決問(wèn)題的空間看作狀態(tài)的迷宮，把算子看作在其間移動(dòng)的路徑，對(duì)某個(gè)問(wèn)題的解答是通過(guò)搜索算子來(lái)實(shí)現(xiàn)的，問(wèn)題的解決步驟實(shí)質(zhì)就是一連串的算子序列。對(duì)于上述例題，利用數(shù)量之間的直接聯(lián)系，整理實(shí)際問(wèn)題的已知條件和所求問(wèn)題，體會(huì)“整理”對(duì)解決問(wèn)題的積極作用，突出“整理”的策略。讓學(xué)生明白，利用條件與條件之間的直接聯(lián)系，可以整理?xiàng)l件；如果某些條件與所求問(wèn)題沒(méi)有關(guān)系，可能是“多余”的條件，在整理方式上既可以從條件出發(fā)整理，也可以從問(wèn)題出發(fā)整理（如下表）。

從條件出發(fā)整理：

桃樹(shù) 3行 每行7棵杏樹(shù) 8行 每行6棵梨樹(shù) 4行 每行5棵

從問(wèn)題出發(fā)整理：

桃樹(shù) 3行 每行7棵梨樹(shù) 4行 每行5棵

整理?xiàng)l件后，鼓勵(lì)學(xué)生“根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，確定先算什么，依據(jù)什么，再求什么”，感受從條件向問(wèn)題推理和從問(wèn)題向條件推理的不同，分析數(shù)量關(guān)系的策略，是產(chǎn)生解決問(wèn)題的計(jì)劃與步驟的過(guò)程。

（2）抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，需要具備一定的解決問(wèn)題的策略，如列表整理、枚舉、假設(shè)、猜想、分類、類比等等。幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的途徑和方法：首先，運(yùn)用分析與綜合的方法，弄清現(xiàn)實(shí)情境中的條件和問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系，選擇一些解決問(wèn)題的有效策略并構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，借助數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形簡(jiǎn)潔、清晰地表達(dá)出來(lái)，接著，在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出問(wèn)題的解，最后，把數(shù)學(xué)模型中得到的解再回到問(wèn)題中去，檢驗(yàn)是否使問(wèn)題得到了解決。本例題要明確解決問(wèn)題主要經(jīng)歷哪些步驟，就是弄清題意，找到已知條件和所求問(wèn)題，列表整理?xiàng)l件，然后分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)解題計(jì)劃，并按解決問(wèn)題的步驟，列出算式，算出得數(shù)，檢驗(yàn)結(jié)果；最后是反思解題，交流體會(huì)。

三、解釋、評(píng)價(jià)模型——在比較中驗(yàn)證模型的適切性

解釋模型是求解結(jié)果與實(shí)際情況相比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的適切性。解釋模型過(guò)程就是模型與現(xiàn)實(shí)生活和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)融合的過(guò)程，學(xué)生根據(jù)生活、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，用自己的語(yǔ)言進(jìn)行解釋，逐漸轉(zhuǎn)化為他們更為獨(dú)特的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用模型解決生活問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)中的解決問(wèn)題，其目的不只是得到問(wèn)題的答案，而是提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)解決問(wèn)題的策略，形成不同的數(shù)學(xué)模型。這就是說(shuō)，得到問(wèn)題的結(jié)論不應(yīng)是教學(xué)的結(jié)束，還要進(jìn)一步積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，形成學(xué)生自己解決問(wèn)題的有效策略。如教材第58頁(yè)例2水位下降情況記錄表，用表格呈現(xiàn)放水小時(shí)數(shù)和相應(yīng)的水位下降厘米數(shù)，數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系十分清楚，而且解答思路不止一種。放水時(shí)間與水位下降高度是有規(guī)律地同時(shí)變化，水位每小時(shí)下降6厘米是不變的數(shù)量，它可以從“每2小時(shí)下降12厘米”得出。根據(jù)“每小時(shí)水位下降6厘米”能夠找到一種解法，利用“放水時(shí)間與水位下降高度按相同倍數(shù)變化”也能夠想到另一種解法。各種解法的結(jié)果應(yīng)該相同，不同的解法可以相互驗(yàn)證。教材中的想一想，求“如果經(jīng)過(guò)12小時(shí)，水位一共下降多少厘米？”引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上述不同方法（模型）來(lái)求解，促進(jìn)模型的進(jìn)一步比較驗(yàn)證，在應(yīng)用中適時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)。