例說2016年高考試題中物理模型的抽象與還原

丁岳林

例說2016年高考試題中物理模型的抽象與還原

丁岳林

（江蘇省常州高級(jí)中學(xué)，江蘇常州 213003）

物理模型無論對(duì)物理學(xué)研究還是物理的學(xué)習(xí)都是很重要的，新頒《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見稿）中“模型構(gòu)建”是出現(xiàn)頻度最高的熱點(diǎn)詞語，新課標(biāo)關(guān)于學(xué)科核心素養(yǎng)四個(gè)維度之一的“科學(xué)思維”中有這樣的表述：“科學(xué)思維主要包括模型構(gòu)建、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素”．新課標(biāo)在課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)施建議等部分反復(fù)明確模型構(gòu)建的要求．例如，必修1部分的第1章“機(jī)械運(yùn)動(dòng)與物理模型”，要求通過質(zhì)點(diǎn)模型、宇宙大爆炸理論模型和物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)模型的案例體會(huì)物理模型在物理學(xué)研究中的意義．在有關(guān)核心素養(yǎng)的水平劃分中，5個(gè)不同階梯的水平對(duì)構(gòu)建物理模型提出由低級(jí)到高級(jí)的明確標(biāo)準(zhǔn)：知道物理學(xué)的研究需要建構(gòu)模型；知道常見的物理模型；能使用簡(jiǎn)單的物理模型解決問題，能判斷現(xiàn)實(shí)物體和理想模型的異同；能根據(jù)解決問題的需要建構(gòu)物理模型；能根據(jù)解決問題的需要建構(gòu)恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ停?/p>

物理模型通常分為3類，第一類是實(shí)體物理模型，用來代替由具體物質(zhì)組成的表征研究對(duì)象的實(shí)體系統(tǒng)．如質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、單擺、彈簧振子、理想氣體、理想變壓器、薄透鏡等；第二類是條件模型，把研究對(duì)象所處的外部條件理想化．如光滑水平面、輕桿、輕繩、均勻介質(zhì)、勻強(qiáng)電場(chǎng)等；第三類是物理過程模型，對(duì)具體物理過程純粹化、理想化的抽象．如熱學(xué)中的等溫過程、等容過程、等壓過程、絕熱過程．力學(xué)中的勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)、斜拋運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)等．

縱觀近年來高考命題，對(duì)構(gòu)建物理模型的考查已體現(xiàn)出較高的要求，一些高考題的命題是將實(shí)際問題進(jìn)行抽象，呈現(xiàn)在考生面前的是一抽象模型，而解題過程往往要將抽象模型還原（化歸）為直觀模型（或基本模型）；有一部分高考題的命題呈現(xiàn)在考生面前的是實(shí)際問題，解題過程中又需要將實(shí)際（模型）情景抽象成理想化模型．本文試以2016年高考試題為例來談?wù)勎锢砟Ｐ偷某橄?、還原與等效．

1 等效勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型的應(yīng)用

例1．［2016年江蘇高考卷第15（2）題］回旋加速器的工作原理如圖1（a）所示，置于真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間狹縫的間距為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直，被加速粒子的質(zhì)量為m，電荷量為＋q，加在狹縫間的交變電壓如圖1（b）所示，電壓值的大小為U0．周期．一束該粒子在時(shí)間內(nèi)從A處均勻地飄入狹縫，其初速度視為0．現(xiàn)考慮粒子在狹縫中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，假設(shè)能夠出射的粒子每次經(jīng)過狹縫均做加速運(yùn)動(dòng)，不考慮粒子間的相互作用．求：粒子從飄入狹縫至動(dòng)能達(dá)到最大所需的總時(shí)間t總．

圖1

圖2

解析：回旋加速器工作時(shí)，粒子在電場(chǎng)中做勻加速運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中勻速率回旋，可以作出粒子的速率v與時(shí)間t的函數(shù)圖像如圖2，圖中各段傾斜直線對(duì)應(yīng)著粒子在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在電場(chǎng)中各次運(yùn)動(dòng)時(shí)間依次為t1、t2、t3…、tn，隨著一次次加速，粒子每次通狹縫的時(shí)間越來越短；過圖中的各段水平線對(duì)應(yīng)著粒子在磁場(chǎng)中的回旋，由磁場(chǎng)中回旋的特點(diǎn)知道，各次在磁場(chǎng)中的半圓周時(shí)間都相等．

粒子在電場(chǎng)中的各次時(shí)間并不相同，怎樣求解粒子在電場(chǎng)中的時(shí)間是本題的難點(diǎn)．常規(guī)的方法是對(duì)粒子各次通過電場(chǎng)狹縫過程運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間，然后求和．

……

其中vn－1＝a（t1＋t2＋…＋tn－1）

粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間tE總＝t1＋t2＋…＋tn．

解以上各式，可以得到tE總，但計(jì)算非常復(fù)雜，此處不作展開．

圖3

本題的巧妙解法是建立等效運(yùn)動(dòng)模型，在圖2中，將粒子各次勻速率運(yùn)動(dòng)的部分剔除，再將各段勻加速運(yùn)動(dòng)的部分合并到一起，如圖3，粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等效于初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度，總位移為x＝nd，由，解得，粒子從飄入狹縫至動(dòng)能達(dá)到最大所需的總時(shí)間t總＝tB總＋tE總，解得

以上求解粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間技巧性很強(qiáng)，采取化零為整的方法，將分階段的多次勻加速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合并，用一次性連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型來替代，回避了復(fù)雜的求和運(yùn)算過程，使問題順利得到解決．

2 等效斜拋運(yùn)動(dòng)模型的應(yīng)用

例2．（2016年全國(guó)高考卷Ⅰ第20題）如圖4，一帶負(fù)電荷的油滴在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其軌跡在豎直平面（紙面）內(nèi)，且相對(duì)于過軌跡最低點(diǎn)P的豎直線對(duì)稱．忽略空氣阻力．由此可知

圖4

（A）Q點(diǎn)的電勢(shì)比P點(diǎn)高．

（B）油滴在Q點(diǎn)的動(dòng)能比它在P點(diǎn)的大．

（C）油滴在Q點(diǎn)的電勢(shì)能比它在P點(diǎn)的大．

（D）油滴在Q點(diǎn)的加速度大小比它在P點(diǎn)的?。?/p>

解析：帶電油滴在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，受重力G和電場(chǎng)力F共同作用，可用“等效重力G′”替代，因其軌跡在豎直平面內(nèi)，且相對(duì)于P的豎直線對(duì)稱，可以判斷G′方向豎直向上，這是一“倒置的重力場(chǎng)”，油滴的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，即油滴做“類似斜拋運(yùn)動(dòng)”，P點(diǎn)為等效的“最高點(diǎn)”．

重力方向豎直向下，電場(chǎng)力的方向必定豎直向上，且電場(chǎng)力大于重力，運(yùn)動(dòng)電荷帶負(fù)電，所以勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向豎直向下，易知，Q點(diǎn)的電勢(shì)比P點(diǎn)高．油滴從Q到P 為“上升階段”，動(dòng)能減小，（電）勢(shì)能增大．油滴做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，加速度恒定．本題正確選項(xiàng)為（A）、（B）．

圖5

例3．（2016年海南高考卷第6題）如圖5，平行板電容器兩極板的間距為d，極板與水平面成45°角，上極板帶正電．一電荷量為q（q＞0）的粒子在電容器中靠近下極板處．以初動(dòng)能Ek0豎直向上射出．不計(jì)重力，極板尺寸足夠大，若粒子能打到上極板，則兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值為

圖6

解析：建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系，帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中僅受沿y負(fù)方向的電場(chǎng)力作用，做類似斜拋運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力（或電場(chǎng)）越小越容易打到上極板，反之，電場(chǎng)力（或電場(chǎng)）越大越不容易打到上極板，臨界情形為“斜拋軌跡的最高點(diǎn)”恰好在上極板處，圖中設(shè)為P點(diǎn)．

粒子從O到P為“斜拋的上升階段”，在y方向做初速度為voy＝v0sinθ末速度為0的勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小方向沿負(fù)y方向．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，將θ＝45°，代入，解得

3 等效簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型的應(yīng)用

例4．（2016年上海高考第25題）地面上物體在變力F作用下由靜止開始豎直向上運(yùn)動(dòng)，力F隨高度x的變化關(guān)系如圖7所示，物體能上升的最大高為h，h＜H．當(dāng)物體加速度最大時(shí)其高度為________，加速度的最大值為________．

圖7

解析：本題的常規(guī)解法如下，從圖7可以得出力F隨高度x的變化關(guān)系F＝F0－kx，其中k＝，物體到達(dá)高度x＝h處時(shí)；物體從高度x＝0到x＝h處的過程中，力F做正功，重力G做負(fù)功，由動(dòng)能定理可得珚Fh＝mgh，而珚F＝，可以計(jì)算出考慮兩個(gè)極端位置x＝0和x＝h的加速度，物體在初位置x＝0處加速度a1方向向上，由F0－mg＝ ma1計(jì)算得； 當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到末位置x＝ h處時(shí)，加速度a2方向向下，由mg－Fh＝ma2，而，計(jì)算可得

因此，物塊加速度最大的位置是x＝0或x＝h處．最大加速度大小為

圖8

本題的直觀模型為一豎直方向振動(dòng)的彈簧振子，如圖8，輕彈簧一端固定在坑底的A點(diǎn)，上端栓一質(zhì)量為m的物塊，剛開始時(shí)物塊被固定在與地面平齊的高度（x＝0），彈簧壓縮量為H，即圖中D點(diǎn)為彈簧原長(zhǎng)位置，釋放物塊后，物塊在BO1C之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．振動(dòng)過程中，物塊受向下的重力mg和向上的彈簧力（彈簧始終處于壓縮狀態(tài)），彈力的大小滿足F＝F0－kx，由振動(dòng)的對(duì)稱性，物塊在振動(dòng)的兩端點(diǎn)加速度最大，且大小相等．在B點(diǎn)，由牛頓第二定律，F(xiàn)0－mg＝ma1，解得

本題的文字?jǐn)⑹龊皖}圖中所涉及到的字母F0、H、h可作為已知條件，質(zhì)量m不是已知條件，因此，表達(dá)式（1）不能作為加速度的最終結(jié)果．應(yīng)將（1）中的m設(shè)法消去，考慮振動(dòng)的最高位置C，由牛頓第二定律，mg－Fh＝ma2，解得

由（1）、（2）式利用a1＝a2＝a，消去m，解得

以上根據(jù)振動(dòng)模型求解最大加速度的過程比常規(guī)解法要簡(jiǎn)潔、自然，振動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)加速度大小相等且取最大值，這是振動(dòng)模型的基本結(jié)論，然后，只要考慮最高點(diǎn)和最低點(diǎn)加速度大小相等，應(yīng)用牛頓第二定律即可解答，常規(guī)解法中應(yīng)用動(dòng)能定理求F0的環(huán)節(jié)要求則很高．

4 抽象的分子作用力模型的還原

圖9

例5．（2016年上海高考卷第32題）如圖9，長(zhǎng)度L＝0．8m的光滑桿左端固定一帶正電的點(diǎn)電荷A，其電荷量Q＝1．8×10－7C；一質(zhì)量m＝0．02kg，帶電荷量為q的小球B套在桿上．將桿沿水平方向固定于某非均勻外電場(chǎng)中，以桿左端為原點(diǎn)，沿桿向右為x軸正方向建立坐標(biāo)系．點(diǎn)電荷A對(duì)小球B的作用力隨B位置x的變化關(guān)系如圖10中曲線Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力隨B位置x的變化關(guān)系如圖10中曲線Ⅱ所示，其中曲線Ⅱ在0．16≤x≤0．20和x≥0．40范圍可近似看作直線．求：（靜電力常量k＝9×109N·m2／C2）

（1）在合電場(chǎng)中，x＝0．4m與x＝0．6m之間的電勢(shì)差U；

（2）已知小球在x＝0．2m處獲得v＝0．4m／s的初速度時(shí)，最遠(yuǎn)可以運(yùn)動(dòng)到x＝0．4m．若小球在x＝0．16m處受到方向向右，大小為0．04N的恒力作用后，由靜止開始運(yùn)動(dòng)，為使小球能離開細(xì)桿，恒力作用的最小距離s是多少？

解析：本題中小球B的受力情形的設(shè)置比較新穎，共有兩個(gè)變力作用，一是A球給B球的靜電排斥力，服從庫侖定律；二是規(guī)律沒有直接明確的非勻強(qiáng)電場(chǎng)的水平方向的電場(chǎng)力，給出了兩個(gè)力的合力在x的不同區(qū)間呈現(xiàn)的復(fù)雜規(guī)律．其實(shí)，這道題的作用力情景是由我們考生熟悉的分子作用力模型抽象而來．

圖11

我們將模型來還原一下．如圖11所示為中學(xué)物理教材［1］給出的分子力與分子間距離的關(guān)系，兩個(gè)分子間既存在相互排斥力F1，又存在相互吸引力F2，引力和斥力同時(shí)存在，實(shí)際對(duì)外的表現(xiàn)是他們的合力．兩種作用力都隨著距離的增大而減小，斥力的圖線較陡，即斥力隨著距離的變化比引力更快．當(dāng)r＜r0時(shí)，F(xiàn)1＞F2，合力表現(xiàn)為斥力；當(dāng)r＝r0時(shí)，F(xiàn)1＝F2，合力為0；當(dāng)r＞r0時(shí)，F(xiàn)1＜F2，合力表現(xiàn)為引力．

我們還可以進(jìn)一步研究分子力做功與分子能量變化的情況，例如，兩個(gè)分子原來距離很近，在逐漸分開到很遠(yuǎn)的過程中，分子力先做正功后做負(fù)功，分子動(dòng)能先增大后減小，分子勢(shì)能先減小后增大．關(guān)于分子力做功，可以根據(jù)F－r圖像圍成的面積進(jìn)行計(jì)算．

在本道高考題中，將分子力的兩個(gè)區(qū)間作了理想化：即將圖10中的AB段視為傾斜直線，CD段視為水平線，考查的主要角度是功能關(guān)系，具體求解過程并不困難，此處不再展開．

5 實(shí)際電磁感應(yīng)模型的抽象

例6．（2016年天津高考卷第12題）電磁緩沖器是應(yīng)用于車輛上以提高運(yùn)行安全性的輔助制動(dòng)裝置，其工作原理是利用電磁阻尼作用減緩車輛的速度．電磁阻尼作用可以借助如下模型討論：如圖12所示，將形狀相同的兩根平行且足夠長(zhǎng)的鋁條固定在光滑斜面上，斜面與水平方向夾角為θ．一質(zhì)量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間，恰好勻速穿過，穿過時(shí)磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定，其引起電磁感應(yīng)的效果與磁鐵不動(dòng)，鋁條相對(duì)磁鐵運(yùn)動(dòng)相同．磁鐵端面是邊長(zhǎng)為d的正方形，由于磁鐵距離鋁條很近，磁鐵端面正對(duì)兩鋁條區(qū)域的磁場(chǎng)均可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，鋁條的高度大于d，電阻率為ρ，為研究問題方便，鋁條中只考慮與磁鐵正對(duì)部分的電阻和磁場(chǎng)，其他部分電阻和磁場(chǎng)可忽略不計(jì)，假設(shè)磁鐵進(jìn)入鋁條間以后，減少的機(jī)械能完全轉(zhuǎn)化為鋁條的內(nèi)能，重力加速度為g．

（1）求鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I；

（2）若兩鋁條的寬度均為b，推導(dǎo)磁鐵勻速穿過鋁條間時(shí)速度v的表達(dá)式；

模型分析：本題中有兩個(gè)研究對(duì)象，一是沿斜面勻速下滑的磁鐵，二是固定在斜面上的兩根實(shí)心的鋁條．對(duì)于磁鐵的勻速運(yùn)動(dòng)，重力沿斜面方向的分力與磁場(chǎng)力（安培力）平衡，很簡(jiǎn)單．

圖12

關(guān)于磁場(chǎng)力的產(chǎn)生和進(jìn)一步討論涉及的模型的構(gòu)建非常困難．

圖13

其實(shí)，經(jīng)抽象后的模型如課本［2］的典型習(xí)題：設(shè)圖13中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1T，平行導(dǎo)軌寬l＝1m，金屬棒ab以1m／s速度貼著導(dǎo)軌向左運(yùn)動(dòng)，R＝1Ω，其他電阻不計(jì)，求通過R的電流．

圖14

在本道高考題中，與ab棒對(duì)應(yīng)的如圖14中的柱體a1a2a3a4－b1b2b3b4（以下簡(jiǎn)稱柱體），此柱體為鋁條與磁鐵正對(duì)的部分，由題給的信息，磁鐵端面正對(duì)鋁條區(qū)域的磁場(chǎng)視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其他部分磁場(chǎng)及電阻均忽略，柱體與磁鐵發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于電源，E＝Bdv，此處v為柱體相對(duì)于磁鐵的速度，柱體的電阻（電源內(nèi)阻），本問題情景設(shè)置中，鋁條的其他部分為外電路，充當(dāng)連接的作用，且不計(jì)電阻，即R＝0．閉合電路中的電流為，柱體受到的安培力為F＝BId．

對(duì)磁鐵，由平衡條件有mgsinθ－2F′＝0，式中F′為F的反作用力，由牛頓第三定律，F(xiàn)′＝F，式中的2是考慮到磁鐵有兩個(gè)端面．

解以上各式可得

物理模型構(gòu)建的教學(xué)和訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的重要途徑，因此在教學(xué)中必須高度重視．物理模型構(gòu)建是貫穿整個(gè)物理課本的，在教學(xué)中要注意充分發(fā)揮物理模型構(gòu)建對(duì)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的功能．關(guān)于概念、規(guī)律建立的過程是：提出問題→建立模型→構(gòu)建新理論→解決問題．傳統(tǒng)的教學(xué)因受應(yīng)試教育的影響，重點(diǎn)往往放在物理概念、規(guī)律基本條文的記憶和簡(jiǎn)單應(yīng)用（解題）上，而對(duì)概念、規(guī)律的創(chuàng)立重視很不夠．因此，我們應(yīng)強(qiáng)化“提出問題”“建立模型”這兩個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)．物理學(xué)內(nèi)容像一座座大廈，物理教材呈現(xiàn)在學(xué)生面前的是一幢幢建筑完好的大廈，對(duì)大廈本身的建筑過程留下的痕跡不深，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是極為不利的，我們教師在教學(xué)中很重要的一項(xiàng)任務(wù)就是要向?qū)W生介紹這些大廈是如何建筑起來的．通過提出問題讓學(xué)生自己嘗試建立模型尋找解決問題的途徑和方法，變學(xué)生被動(dòng)接受為主動(dòng)地去研究、探索．如由開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律和牛頓第二定律去“發(fā)現(xiàn)”萬有引力定律；由牛頓第二定律、第三定律去 “發(fā)現(xiàn)”動(dòng)量守恒定律；通過研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)去“發(fā)現(xiàn)”產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件和關(guān)于感應(yīng)電流方向判斷的規(guī)律．這樣的探索、研究既能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新自信心，這對(duì)學(xué)生今后進(jìn)一步從事物理（科學(xué)）知識(shí)的學(xué)習(xí)、研究、創(chuàng)新是極為重要的基礎(chǔ)，可以相信通過這樣的教學(xué)，培養(yǎng)出來的學(xué)生將來一定能自己去構(gòu)建新的物理學(xué)（科學(xué)）大廈．

1 張大昌等．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理》選修3－3［M］．北京：人民教育出版社，2010．

2 張大昌等．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理》選修3－1［M］．北京：人民教育出版社，2010．

2016－09－26）