基于位置信息的1-bit壓縮感知重構(gòu)算法

何 晶，李 智

(四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610065)

基于位置信息的1-bit壓縮感知重構(gòu)算法

何 晶，李 智

(四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610065)

針對現(xiàn)行1-bit壓縮感知硬判決算法在高誤碼環(huán)境下對弱信號重構(gòu)性能較差的問題，提出一種基于位置信息的重構(gòu)算法。首先將測量數(shù)據(jù)分成位置數(shù)據(jù)和數(shù)值數(shù)據(jù)，然后在重構(gòu)端對位置信息進(jìn)行重構(gòu)，再根據(jù)重構(gòu)結(jié)果對數(shù)值信息進(jìn)行重構(gòu)。該算法較之經(jīng)典的1-bit壓縮感知硬判決重構(gòu)算法，在維持相同測量數(shù)目的前提下，大大提高了位置信息重構(gòu)性能。由于在數(shù)值信息重構(gòu)過程中應(yīng)用了精確的位置信息，使數(shù)值重構(gòu)性能優(yōu)于同類算法約0-3dB。

位置信息；1-bit壓縮感知；重構(gòu)算法；測量誤碼

0 引言

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，大規(guī)模、高速率的信息需求急劇增加，現(xiàn)有系統(tǒng)難以應(yīng)對高速采樣帶來的大容量數(shù)據(jù)傳輸難題。如何有效壓縮和恢復(fù)信號是信號處理領(lǐng)域亟待解決的問題。壓縮感知(Compressive Sensing)理論[1]提供了一種解決問題的有效方法。通過這種方法，信號的采樣和壓縮可以同時進(jìn)行，打破了傳統(tǒng)奈奎斯特抽樣定理的限制。在某些變換域中稀疏或可壓縮信號可以通過與之獨(dú)立的測量矩陣投影到低維空間。少量的投影就可以很高的概率重構(gòu)高維原始稀疏信號。

1-bit壓縮感知[2](1-bit compressive sensing)作為壓縮感知的一個分支，在對稀疏模擬信號采樣和壓縮時，其測量值為正、負(fù)兩個狀態(tài)，與大量現(xiàn)有數(shù)字信號傳輸系統(tǒng)能很好地兼容。在實際信號傳輸系統(tǒng)中，低信噪比狀態(tài)下的誤碼不可避免，本文主要對誤碼情況下的1-bit壓縮感知信號重構(gòu)性能進(jìn)行研究，并對現(xiàn)有算法進(jìn)行了改進(jìn)。

1 1-bit壓縮感知

1-bit壓縮感知模型如圖1所示，其中sign()函數(shù)指對結(jié)果取符號。信號X∈RN是實值的N×1維向量。如果向量X中僅有很少的元素值不為零，則認(rèn)為該信號是稀疏的。如果信號X為稀疏信號，且其中僅有k個元素為非零值，則定義信號X為稀疏度為k的稀疏信號。X可構(gòu)造特定的M×N維隨機(jī)觀測矩陣A，對原始信號X進(jìn)行M次測量，獲得M×1維觀測值Y。保留Y值符號信息后，通過信道傳輸至遠(yuǎn)端，根據(jù)接收到的Y值，遠(yuǎn)端通過特定算法對X進(jìn)行估值。壓縮測量公式如下：

(1)

圖1 1-bit壓縮感知框架

(2)

2 1-bit壓縮感知重構(gòu)算法及改進(jìn)

相對于傳統(tǒng)壓縮感知，1-bit壓縮感知在信號測量過程中僅保留測量值符號信息。其重構(gòu)算法研究方向大致分為：以IHT(Iterative Hard Thresholding)及其衍生算法[3-5]為代表的硬判決算法和以貝葉斯方法[6]等為代表的軟判決算法。雖然軟判決算法具有更好的重構(gòu)性能，但硬判決算法由于其計算復(fù)雜度低，在特定使用場景中較之軟判決算法更具優(yōu)勢。

2.1 硬判決算法

IHT算法模型以已知稀疏度k為前提，其可以表示為如式(3)所示的問題。

(3)

(4)

BIHT((BinaryIterativeHardThresholding)算法[4]是IHT算法的改進(jìn)，主要是在每次迭代過程中將目標(biāo)函數(shù)微調(diào)，其迭代如式(5)所示。其將誤差量的計算由絕對量改為了相對量，提高了算法的收斂速度。

(5)

AOP[5](Adaptive Outlier Pursuit)算法是BIHT算法的改進(jìn)，它的核心思想是在已知Y值的情況下，在重構(gòu)中主動篩除存在較大噪聲的測量值，提高在噪聲環(huán)境下的重構(gòu)性能，其迭代如式(6)所示。Loc表示對重構(gòu)算法弱誤碼參數(shù)的選擇向量，DXt為重構(gòu)誤差項，其值計算如式(7)所示。

(6)

(7)

AOP算法雖然重構(gòu)性能優(yōu)異，但其重構(gòu)需要已知誤碼數(shù)，在工程應(yīng)用中難以實現(xiàn)。AOP算法原作者提出一種不需要預(yù)先知道誤碼個數(shù)的Blind AOP算法，通過迭代參數(shù)估計測量值誤碼個數(shù)。

2.2 位置信息改進(jìn)算法

針對上述問題，本文提出一系列基于位置信息的算法，分別對上述BIHT、AOP和Blind AOP算法進(jìn)行改進(jìn)，其核心思想就是通過使用維數(shù)減半的兩個相互獨(dú)立的測量矩陣，將測量值進(jìn)行分類，前一半進(jìn)行位置信息傳輸，后一半進(jìn)行數(shù)值信息傳輸，實現(xiàn)在不影響整體重構(gòu)性能的前提下，提高位置信息的恢復(fù)準(zhǔn)確度。而后通過得到的位置信息，進(jìn)一步提高數(shù)據(jù)信息還原的準(zhǔn)確度。

下面以改進(jìn)BIHT得到的PFIHT(Position Fixed Iterative Hard Thresholding)算法為例，對其具體步驟進(jìn)行闡述。

(2)PFIHT算法。輸入：N×1維稀疏信號X，N×1維位置信息P，M1×N維測量矩陣A1，M2×N維測量矩陣A2，最大迭代次數(shù)maxT，調(diào)節(jié)系數(shù)μ；

基于位置信息算法的關(guān)鍵是在進(jìn)行數(shù)值迭代前進(jìn)行一次位置信息計算，并在后續(xù)數(shù)值重構(gòu)中應(yīng)用相應(yīng)的位置信息。

通過類似方法，可對AOP及BlindAOP算法進(jìn)行改進(jìn)，其與PFIHT算法的主要差別是在數(shù)值迭代部分的迭代式不同。

3 算法仿真實驗

前面對BIHT算法、AOP算法、BlindAOP及其各改進(jìn)算法進(jìn)行了介紹，本節(jié)通過仿真實驗分析這些重構(gòu)算法性能，從而證明本文提出算法的有效性。

3.1 主要考察指標(biāo)

(8)

(9)

(10)

(11)

(3)角度誤差(Angular Error)如式(12)所示。

(12)

(13)

(14)

3.2 仿真結(jié)果

0%～10%環(huán)境下，對Y、P誤碼在各算法下的重構(gòu)性能進(jìn)行仿真(其中原始算法對Y值做M次測量，基于位置信息的算法則對P和Y值各進(jìn)行M/2次測量，以保證總測量次數(shù)一致)，仿真中測量矩陣采用伯努利矩陣。仿真實驗取稀疏度k=10，N=1000，M=2×N，maxT=200，stopthrhd=1×10-7。圖2～圖6中橫軸為測量值的誤碼率，下面的仿真結(jié)果是100次重構(gòu)的平均值。

從圖2～圖4可以看出，在測量值沒有誤碼的情況下，基于位置信息的算法與原始算法性能相當(dāng)。隨著誤碼的提高，各原始算法的惡化較為明顯，基于位置信息的各算法性能均好于其原始算法。從圖5、圖6看出，在誤警虛警概率指標(biāo)中，由于基于位置信息的算法對于位置信息進(jìn)行單獨(dú)運(yùn)算，其重構(gòu)性能比各原始算法表現(xiàn)更好。與此同時，在保證測量值數(shù)目一致的情況下，原始算法時間復(fù)雜度為O(N×M)，基于位置信息的算法則為O(N×M/2)，也更具優(yōu)勢。

圖2 歸一化信噪比仿真結(jié)果

圖3 漢明距離仿真結(jié)果

圖4 角度誤差仿真結(jié)果

圖5 誤警概率仿真結(jié)果

圖6 虛警概率仿真結(jié)果

4 結(jié)語

基于位置信息算法可應(yīng)用于大部分1-bit壓縮感知硬判決算法中，其主要優(yōu)勢是在降低原算法時間復(fù)雜度的情況下，提高了其在高誤碼傳輸環(huán)境下的重構(gòu)性能。通過歸一化信噪比、角度誤差和漢明距離3個指標(biāo)的仿真，證明了其在信道噪聲不可知的情況下，具有優(yōu)秀的重構(gòu)性能。通過誤警、虛警指標(biāo)的仿真，進(jìn)一步證明了它在稀疏信號位置信息這個重要的應(yīng)用場景中具有絕對優(yōu)勢。

與各類軟判決算法相比，硬判決算法的重構(gòu)性能較差。但由于硬判決算法具有運(yùn)算實現(xiàn)簡單、資源開銷小等特點(diǎn)，在未來的1-bit壓縮感知領(lǐng)域仍具有較大的研究價值。

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[2] P BOUFOUNOS ， R BARANIUK.1-bit compressive sensing[C].in Proc Conf Inf Sc Sys (CISS), Princeton, NJ,Mar,2008.

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[5] YAN M, YANG Y, OSHER S. Robust 1-bit compressive sensing using adaptive outlier pursuit[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(7): 3868-3875.

[6] LI F, FANG J, LI H, et al. Robust one-bit Bayesian compressed sensing with sign-flip errors[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(7): 857-861.

(責(zé)任編輯：杜能鋼)

何晶(1987-)，男，四川成都人，四川大學(xué)電子信息學(xué)院碩士研究生,研究方向為壓縮感知信號處理; 李智(1975-)，男，四川成都人，博士，四川大學(xué)電子信息學(xué)院副教授、碩士生導(dǎo)師，研究方向為壓縮感知。本文通訊作者為李智。

10.11907/rjdk.162785

TP312

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1672-7800(2017)003-0048-03