導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

李家洪　張華

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的問題，一般需要建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決. 下面我們通過例題來體會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解答實(shí)際問題的一般思路和步驟.

例1 從邊長(zhǎng)為[10cm×16cm]的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為[________cm3.]

解析 設(shè)盒子容積為[ycm3]，盒子的高為[xcm]，

則[x∈（0，5）].

則[y=（10-2x）（16-2x）x=4x3-52x2+160x].

[∴y′=12x2-104x+160.]

令[y′=0]得，[x=2]，或[203]（舍去）.

當(dāng)[00]，[y]為增函數(shù)；

當(dāng)[2

[∴ymax=6×12×2=144cm3.]

答案 144

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的應(yīng)用問題的一般步驟：（1）分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式[y=fx]，并確定函數(shù)的定義域. （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[fx]，解方程[fx=0.] （3）比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和[fx=0]的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大（小）者為最大（?。┲? （4）回歸實(shí)際問題作答.

例2 某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）. 設(shè)該蓄水池的底面半徑為[r]米，高為[h]米，體積為[V]立方米. 假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為[100]元/平方米，底面的建造成本為[160]元/平方米，該蓄水池的總建造成本為[12000π]元（[π]為圓周率）.

（1）將[V]表示成[r]的函數(shù)[Vr，]并求該函數(shù)的定義域；

（2）討論函數(shù)[Vr]的單調(diào)性，并確定[r]和[h]為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.

解析 （1）因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為[200πrh]元，底面的總成本為[160πr2]元.

所以蓄水池的總成本為[（200πrh+160πr2）]元.

根據(jù)題意得，[200πrh+160πr2=12000π，]

所以[h=15r（300-4r2）.]

從而[Vr=πr2h=π5（300r-4r3）].

由[r>0，][h>0]得，[0

故函數(shù)[Vr]的定義域?yàn)閇（0，53）.]

（2）由（1）知，[Vr=π5（300r-4r3），0

故[V′r=π5（300-12r2），]

令[V′r=0，]解得，[r=5]，或[-5]（因[r=-5]不在定義域內(nèi)，舍去）.

當(dāng)[r∈（0，5）]時(shí)，[V′r>0]，

故[Vr]在[（0，5）]上為增函數(shù)；

當(dāng)[r∈（5，53）]時(shí)，[V′r<0]，

故[Vr]在[（5，53）]上為減函數(shù).

由此可知，[Vr]在[r=5]處取得最大值，此時(shí)[h=8.]

即當(dāng)[r=5，h=8]時(shí)，該蓄水池的體積最大.

點(diǎn)評(píng) 求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)的最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況結(jié)合. 用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大（?。┲禃r(shí)，如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn).

例3 煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比. 現(xiàn)有兩座煙囪相距20km，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的煙塵濃度最小.

解析 設(shè)煙囪[A]的煙塵量為1，則煙囪[B]的煙塵量為8.

并設(shè)[AC]=[x（0

于是點(diǎn)[C]的煙塵濃度為

[y=kx2+8k（20-x）2（0

[y=-2kx3+16k（20-x）3=k?2（9x3-60x2+1200x-8000）x3（20-x）3].

令[y=0]得，[9x3-60x2+1200x-8000=0]，

即[（3x-20）（3x2+400）=0].

解得，[x=203].

由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）上取得，

[∴]在[x=203]處，濃度[y]最小，即在[AB]間距[A]處[203km]處的煙塵濃度最小.

例4 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量為[y]（升），關(guān)于行駛速度[x]（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：[y=1128000x3-380x+8][（0

解析 當(dāng)速度為[x]千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了[100x]小時(shí)，設(shè)耗油量為[h（x）]升.

依題意得，[h（x）=（1128000x3-380x+8）?100x]

[=11280x2+800x-154（0

則[h（x）=x640-800x2=x3-803640x2（0

令[h（x）=0]得，[x=80.]

當(dāng)[x∈（0，80）]時(shí)，[h（x）<0，h（x）]是減函數(shù)；

當(dāng)[x∈（80，120）]時(shí)，[h（x）>0，h（x）]是增函數(shù).

[∴]當(dāng)[x=80]時(shí)，[h（x）]取到極小值[h（80）=11.25.]

因?yàn)閇h（x）]在[（0，120]]上只有一個(gè)極值，所以它是最小值.

答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.

[練習(xí)]

某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量[y]（單位：千克）與銷售價(jià)格[x]（單位：元/千克）滿足關(guān)系式[y=ax-3+10（x-6）2]，其中[3

（1）求[a]的值；

（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格[x]的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.

[參考答案]

（1）[a=2]

（2）當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大