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    導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

    2017-04-12 18:29:01蔡圣兵
    高中生學(xué)習(xí)·高二版 2017年4期
    關(guān)鍵詞:增函數(shù)通項定值

    蔡圣兵

    應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定數(shù)列的最大(?。╉?/p>

    例1 已知數(shù)列[{an}]的通項[an=75n-5n214],[n∈N?],求使數(shù)列[{an}]取最大值時[n]的值.

    解析 構(gòu)造函數(shù)[f(x)=75x-5x214(x>0)],

    則[f(x)=75-10x14].

    當(dāng)[00];

    當(dāng)[x>7.5]時,[f(x)<0].

    即函數(shù)[f(x)]在[(0,7.5)]上是增函數(shù),在[(7.5,+∞)]上是減函數(shù),

    故當(dāng)[x=7.5]時,函數(shù)取得最大值.

    當(dāng)[n∈N?]時,[f(n)=75n-5n214],且[f(7)=f(8)],

    因此當(dāng)[n=7, 或8]時,數(shù)列[{an}]取得最大值.

    變式 已知數(shù)列[{an}]的通項[an=8n2-n3],[n∈N?],求數(shù)列[{an}]的最大值及[n]的值. (答案:[a5=75])

    應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的增減性

    例2 已知函數(shù)[f(x)=x2+(a-3)x+a2-3a],a為常數(shù).

    (1)設(shè)實數(shù)[p,q,r]滿足:[p,q,r]中的某一個數(shù)恰好等于a,且另兩個恰為方程[f(x)=0]的兩實根,判斷:①[p+q+r],②[p2+q2+r2],③[p3+q3+r3]是否為定值?若是定值,請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)[g(a)],并求[g(a)]的最小值.

    (2)對于(1)中的[g(a)],設(shè)[H(a)=-16[g(a)-27]],數(shù)列[{an}]滿足[an+1=H(an), n∈N*],且[a1∈(0,1)],試判斷[an+1]與[an]的大小,并證明之.

    解析 (1)由[Δ=(a-3)2-4(a2-3a)≥0]得,

    [-1≤a≤3].

    不妨設(shè)[a=p],則q,r恰為方程的兩根.

    由韋達定理得,

    [q+r=3-a,qr=a2-3a.]

    [∴p+q+r=3.] ①

    [p2+q2+r2=a2+(q+r)2-2qr=a2+(3-a)2-2(a2-3a)=9. ②]

    而[p3+q3+r3=p3+(q3+r3)=a3+[(q+r)2-3qr](q+r)]

    [=3a3-9a2+27]. ③

    則[g(a)=3a3-9a2+27],

    求導(dǎo)得,[g(a)=9a2-18a=9a(a-2).]

    當(dāng)[a∈[2,3]]時,[g(a)≥0,][g(a)]遞增;

    當(dāng)[a∈[0,2)]時,[g(a)<0,][g(a)]遞減;

    當(dāng)[a∈[-1,0)]時,[g(a)≥0,][g(a)]遞增.

    [∴g(a)]在[[-1,3]]上的最小值為

    [min{g(-1),g(2)}=min{15,15}=15.]

    (2)由(1)得,[H(a)=-16[g(a)-27]=-12(a3-3a2).]

    如果[a∈(0,1)],

    則[H(a)=3a-32a2=3a(1-a2)>0.]

    [∴H(a)]在[(0,1)]上為遞增函數(shù).

    [∴H(a)∈(H(0),H(1))=(0,1).]

    [∵an+1=H(an)=-12(an3-3an2),]

    [∴a1∈(0,1)?a2∈(0,1)?…?an∈(0,1).]

    又[∵an+1-an=-12an3+32an2-an]

    [=-12an(an-2)(an-1)<0],

    [∴an+1

    變式 已知數(shù)列[an]滿足[a1=2,]前[n]項和為[Sn],[an+1=pan+n-1,n為奇數(shù),-an-2n, n為偶數(shù).]

    (1)若數(shù)列[bn]滿足[bn=a2n+a2n+1,n≥1],試求數(shù)列[bn]前[n]項和[Tn];

    (2)若數(shù)列[cn]滿足[cn=a2n],試判斷[cn]是否為等比數(shù)列,并說明理由;

    (3)當(dāng)[p=12]時,若數(shù)列{[dn]}滿足[dn=(S2n+1-10)c2n],問是否存在[n∈N*],使得[dn=1],若存在,求出所有的[n]的值;若不存在,請說明理由.

    (答案:(1)[Tn=-2n2-2n].

    (2)當(dāng)[p=12]時,數(shù)列[cn]成等比數(shù)列;當(dāng)[p≠12]時,數(shù)列[cn]不為等比數(shù)列.

    (3)存在唯一的[n=3],使得[dn=1]成立.)

    應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列求和問題

    例3 求[1+2x+3x2+…+nxn-1].

    解析 (1)當(dāng)[x=1]時,

    [Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=1+2+3+…+n=12n(n+1).]

    (2)當(dāng)[x≠1]時,

    由于[(xk)=kxk-1, k=1,2,…,n],

    于是構(gòu)造函數(shù)[f(x)=1+x+x2+…+xn],

    則[f(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1].

    又[1+x+x2+…+xn=1-xn+11-x],

    等式兩邊對[x]求導(dǎo),我們可以得到,

    [1+2x+3x2+…+nxn-1=1-(n+1)xn+nxn+1(1-x)2].

    綜上可得,當(dāng)[x=1]時,[Sn=12n(n+1)];

    當(dāng)[x≠1]時,[Sn=1-(n+1)xn+nxn+1(1-x)2].

    變式 求[1+22x+32x2+…+n2xn-1].

    (答案:[1+x-(n+1)2xn+(2n2+2n-1)xn+1-n2xn+2(1-x)3])

    應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式

    例4 已知數(shù)列{[an]}的各項都是正數(shù),且滿足[a0=1,an+1=12an(4-an),][n∈N],證明:[an

    證明 構(gòu)造函數(shù)[f(x)=12x(4-x),]

    則[f(x)=12x(4-x)=-12(x-2)2+2≤2].

    于是[an+1=12an(4-an)≤2,]但等號不能?。ㄈ绻〉忍?,則[an+1=an=2],與[a0=1]矛盾).

    因此[an+1<2].

    又[f(x)=-x+2,]

    當(dāng)[x<2]時,[f(x)=-x+2>0],

    即[f(x)]在[(0,2)]上是增函數(shù),

    于是[an+1=f(x)>an=f(x-1)].

    綜上所述,[an

    變式 已知數(shù)列{[an]}滿足[2an+1=-a3n+3an,n∈N?],且[a1∈(0,1)],求證:[0

    (答案:構(gòu)造函數(shù)[f(x)=-12x3+32x],可以求得,[f(x)=][-32(x-1)(x+1)],于是[f(x)]在[(0,1)]上是增函數(shù),然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.)

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