數(shù)學(xué)史融入導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)案例

于金青++景克儉

摘要：導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的工具，能否把握導(dǎo)數(shù)的思想直接影響后期導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。本文將數(shù)學(xué)史融入到導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中，設(shè)計(jì)具體的教學(xué)方案，使得學(xué)生能夠理解其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，方便以后的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 近似 取極限

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6

基金項(xiàng)目：河北省高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)研究自籌資金項(xiàng)目（SZ16111）

16、17世紀(jì)，天文學(xué)、光學(xué)的發(fā)展，航海的需要，礦山的開(kāi)發(fā)，火藥、槍炮的制作提出了一系列物理和數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如求曲線的切線和運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，兩者殊途同歸，都導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生[1]。為什么需要研究曲線的切線呢？17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類(lèi)問(wèn)題。

一是光的反射問(wèn)題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題[2]，洛必達(dá)在其《無(wú)窮小分析》中列專章加以討論。早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時(shí)，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形[3]，此時(shí)，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對(duì)于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。二是曲線運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。三是曲線的交角問(wèn)題。曲線的交角是一個(gè)古老的難題。自古希臘以來(lái)，人們對(duì)圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角和弓形角就有過(guò)很多爭(zhēng)議。17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問(wèn)題是如何求兩條相交曲線所構(gòu)成的角，這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。此外，盡管古希臘人的切線定義適用于圓錐曲線，但對(duì)于17世紀(jì)數(shù)學(xué)家所遇到的更復(fù)雜的曲線就不一定適用了。況且，古希臘數(shù)學(xué)家并沒(méi)有解決他們所發(fā)現(xiàn)的圓錐曲線和螺線以外的曲線的切線問(wèn)題。這就促使17世紀(jì)數(shù)學(xué)家去尋找求切線的一般方法。

同樣，當(dāng)時(shí)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度不難求出，但變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度就比較困難。雖然先人也得到了一些結(jié)果，但這些結(jié)果都是孤立的、不連貫的。直到17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲在許多數(shù)學(xué)家工作和科學(xué)積累的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了微分與積分互為逆運(yùn)算，從而創(chuàng)立了微積分。

在講授導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)史，用具體的例子介紹當(dāng)時(shí)求瞬時(shí)速度和曲線切線斜率的方法，引入導(dǎo)數(shù)的概念。

一、具體問(wèn)題

1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度是連續(xù)變化的，位置函數(shù)為 ，求該物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度 .

當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有像現(xiàn)在這樣的導(dǎo)數(shù)工具，就無(wú)法套用現(xiàn)成的導(dǎo)數(shù)公式求出精確值。那么如何求該物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度？沒(méi)有現(xiàn)成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？當(dāng)時(shí)可以用的公式是平均速度的公式，是否可以用平均速度近似表示變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度呢？在距離 較遠(yuǎn)的時(shí)間間隔不能用平均速度近似表示，那么就找距離 很近的時(shí)間間隔。

具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)的人們是按照下面的步驟進(jìn)行求解的[4]。

近似：找距離 很近的時(shí)間間隔 ，當(dāng) 很小時(shí)，變速運(yùn)動(dòng)的速度來(lái)不及變化很多，那么在這個(gè)很小的時(shí)間間隔中，可以用平均速度近似表示變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度： 。

取極限：這個(gè)近似值畢竟不是我們要求的瞬時(shí)速度，通過(guò)進(jìn)一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就讓 無(wú)限變小，那么平均速度就無(wú)限接近于瞬時(shí)速度，這正好就是極限的概念。即瞬時(shí)速度的精確值為：

。

這與我們用現(xiàn)在現(xiàn)成的公式算出來(lái)的一樣， 。

2、平面曲線的切線斜率

學(xué)生們之前只學(xué)過(guò)圓的切線，并沒(méi)有學(xué)過(guò)一般曲線的切線概念。首先舉例說(shuō)明，圓的切線的概念不能推廣到一般曲線的切線。那么該如何定義一般曲線的切線，這里用到了極限的概念。

定義：設(shè)有一曲線C，M是其上一點(diǎn)。在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N，作割線MN，當(dāng)點(diǎn)N沿C向點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。極限位置即 。

設(shè)曲線 ，求該曲線在 處的切線斜率。

同樣，當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有像現(xiàn)在這樣的導(dǎo)數(shù)工具，無(wú)法套用現(xiàn)成的公式求出精確值。那么能否退一步，先求出它的近似值？當(dāng)時(shí)可以用的是一條直線上兩點(diǎn)確定斜率的公式，是否可以用割線的斜率近似表示切線斜率呢？若M和N距離較遠(yuǎn)則不能用割線的斜率近似表示，那么就讓M和N距離很近。

具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)的人們是按照下面的步驟進(jìn)行求解的[5]。

近似：找距離 很近的點(diǎn) ，當(dāng) 很小時(shí)，割線的斜率與切線的斜率相差很小，那么可以用割線的斜率近似表示切線的斜率：

。

取極限：這個(gè)近似值畢竟不是我們要求的切線的斜率，通過(guò)進(jìn)一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就讓 無(wú)限變小，那么割線的斜率就無(wú)限接近于切線斜率，這正好就是極限的概念。即切線斜率的精確值為：

。

這與我們用現(xiàn)在現(xiàn)成的公式算出來(lái)的一樣， 。

二、一般問(wèn)題

1、一般變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的求法

一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度是連續(xù)變化的，位置函數(shù)為 ，求該物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度 .

同樣，當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有像現(xiàn)在這樣的導(dǎo)數(shù)工具，就無(wú)法套用現(xiàn)成的導(dǎo)數(shù)公式求出精確值。當(dāng)時(shí)可以用的公式是平均速度的公式，那么就用平均速度近似表示變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，當(dāng)然在距離 較遠(yuǎn)的時(shí)間間隔不能用平均速度近似表示，那么就找距離 很近的時(shí)間間隔。

近似：找距離 很近的時(shí)間間隔 ，當(dāng) 很小時(shí)，變速運(yùn)動(dòng)的速度來(lái)不及變化很多，那么在這個(gè)很小的時(shí)間間隔中，可以用平均速度近似表示變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度： 。

取極限：這個(gè)近似值畢竟不是我們要求的瞬時(shí)速度，通過(guò)進(jìn)一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就讓 無(wú)限變小，那么平均速度就無(wú)限接近于瞬時(shí)速度，這正好就是極限的概念。即瞬時(shí)速度的精確值為：

。

2、一般的平面曲線的切線斜率的求法

設(shè)曲線 ，求該曲線在 處的切線斜率。

同樣，當(dāng)時(shí)人們并沒(méi)有像現(xiàn)在這樣的導(dǎo)數(shù)工具，無(wú)法套用現(xiàn)成的公式求出精確值。當(dāng)時(shí)可以用的是一條直線上兩點(diǎn)確定斜率的公式，那么就用割線的斜率近似表示切線斜率，若兩點(diǎn)距離較遠(yuǎn)則不能用割線的斜率近似表示，那么就讓兩點(diǎn)距離很近。

近似：找距離 很近的點(diǎn) ，當(dāng) 很小時(shí)，割線的斜率與切線的斜率相差很小，那么可以用割線的斜率近似表示切線的斜率：

。

取極限：這個(gè)近似值畢竟不是我們要求的切線的斜率，通過(guò)進(jìn)一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就讓 無(wú)限變小，那么割線的斜率就無(wú)限接近于切線斜率，這正好就是極限的概念。即切線斜率的精確值為：

。

三、導(dǎo)數(shù)的概念

很多問(wèn)題都與上述兩個(gè)問(wèn)題存在著共同之處：解決問(wèn)題的方法步驟相同，所求量的極限結(jié)構(gòu)式相同。這樣就逐漸產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的一般概念：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 在 處取得增量 （點(diǎn) 仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù) 取得增量 ；如果 與 之比當(dāng) 時(shí)的極限存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)或在 處具有導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)存在），并稱這個(gè)極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記為 ，即：

也可記作： 。

為什么引入導(dǎo)數(shù)概念要用這兩個(gè)例子，因?yàn)樗鼈兇砹藘晌晃⒎e分發(fā)明人的不同方向。瑞士數(shù)學(xué)家法蒂奧德迪耶在1699年向皇家學(xué)會(huì)遞交一篇論文，其中肯定牛頓是微積分的第一發(fā)明者，而萊布尼茲可能是剽竊，這掀起一場(chǎng)軒然大波，包括兩位當(dāng)事人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家都卷入爭(zhēng)論。歐洲大陸的人士堅(jiān)持萊布尼茲是第一位，而英國(guó)人也固執(zhí)地忠于他們的大師，因此導(dǎo)致英國(guó)數(shù)學(xué)與歐洲大陸分道揚(yáng)鑣達(dá)百余年。由于狹隘的民族偏見(jiàn)等原因，英國(guó)學(xué)者遲遲不肯接受大陸的成就，拘泥于牛頓的流數(shù)術(shù)，其進(jìn)展相對(duì)地落后了。在其后的200年間，數(shù)學(xué)的成就中心是在歐洲大陸。

歷史事實(shí)經(jīng)過(guò)300多年的考證分析已然清晰?，F(xiàn)在公認(rèn)的觀點(diǎn)是：牛頓和萊布尼茲總結(jié)了前人的工作，各自獨(dú)立完成了這空前的偉業(yè)，在時(shí)間上，牛頓約早10年開(kāi)始，而萊布尼茲則早3年公布。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茲卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。

參考文獻(xiàn)

[1][美]莫里斯·克萊因著，古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M]，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2009，萬(wàn)偉勛，石生明，孫樹(shù)本 等譯P49.

[2]Boyer，C.B.The first textbooks in Calculus[J].Mathematics teacther 1946（39）：159-167.

[3]Heath，T.L.A History of Greek Mathematics[M].London Oxford University Press 1921.

[4]李文林，數(shù)學(xué)史概論（第二版）[M].高等教育出版社，2003，P160.

[5] [美]H.伊夫斯著，歐陽(yáng)絳譯.數(shù)學(xué)史概論[M].山西經(jīng)濟(jì)出版社，1993，P296.

作者簡(jiǎn)介：于金青（1976-4），女，河北省石家莊人，河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)碩士研究生，石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，主要研究方向：近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史