淺談高中數(shù)學(xué)中的變形技巧

梁文富

摘要：在解決數(shù)學(xué)問題中，常常要對給出的式子進(jìn)行變形而對式子的變形沒有統(tǒng)一的規(guī)定，一個式子有時可從不同方向進(jìn)多種變形，選擇怎樣的方向變形則因題而異，技巧性非常強。雖然式子的變形沒有統(tǒng)一的規(guī)定，但是對同類問題有一定的規(guī)律和技巧，需在平時多總結(jié)方法。高中數(shù)學(xué)中基本不等式、三角函數(shù)的應(yīng)用較多，本文主要對其中常用的變形技巧進(jìn)行簡要小結(jié)和分析。

關(guān)鍵詞：變形技巧 基本不等式 三角函數(shù)

【中圖分類號】G633.6

變形技巧是解決數(shù)學(xué)問題的重要基礎(chǔ)，這種變形能力的強弱直接關(guān)系到解題能力的發(fā)展。我們對式子變形實質(zhì)上是為了將式子轉(zhuǎn)化為可解決問題的某種形式，為下一步解決問題做準(zhǔn)備。變形屬于技能性的知識，其中存在著一定的技巧和方法，需要人們在學(xué)習(xí)和解題的實踐中反復(fù)提煉才能把握其技巧，以至在解題中靈活應(yīng)用。下面介紹基本不等式、三角函數(shù)變形中常用的變形技巧。

1、基本不等式的變形技巧

在高中數(shù)學(xué)中多應(yīng)用基本不等式來求函數(shù)的最值、值域等，在解題過程中對已知條件給出的式子靈活變形使基本不等式出現(xiàn)積（或和）為定值是解決問題的突破口。常用的方法為拆、添、配湊、代換，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

（1）拆、添、配湊

在解決與不等式相關(guān)的問題中，拆、添、配湊有各自不同的方向和技巧但往往又是緊密相連的，拆、添常常為配湊做準(zhǔn)備。拆常數(shù)：將不等式中的某個常數(shù)進(jìn)行拆分成題中所需的常數(shù)。拆系數(shù)：將不等式中某些項的系數(shù)進(jìn)行拆分。拆常數(shù)或系數(shù)多為配方創(chuàng)造條件。拆項：將不等式中的某些項進(jìn)行拆分，為使用基本不等式創(chuàng)造條件。添倍數(shù)：不等式的左右兩邊添上倍數(shù)（注意符號），為配方創(chuàng)造條件。添式：在不等式的兩邊添上一個代數(shù)式，為使用基本不等式創(chuàng)造條件。

例1、x>3，求函數(shù) 的值域。

分析：添常數(shù)將 湊成含基本不等式結(jié)構(gòu)的式子

例2、已知 ，則 ，求函數(shù)最小值。

分析：本題已知函數(shù)式為分式看似無法使用基本不等式，對函數(shù)式進(jìn)行配湊變形再分離便可構(gòu)造出基本不等式。

，

技巧點評：在求分式型函數(shù)的最值中常用配湊的變形技巧，可按由高次項向低次項的順序逐步配湊。通過拆、添常數(shù)，逐步配湊基本不等式并分離出一個常數(shù)，這是分式函數(shù)求值域常用的方法。在解題過程中常常需要采用“拆項、補項、配湊”等變形技巧找到定值，再利用基本不等式來求解，使得復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。

（2）常值代換

這種方法常用于如下兩類題型

①“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數(shù)），求1x+1y的最小值.”

②“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數(shù)），求x+y的最小值”

例3、若 且滿足 ，求x+y的最小值。

分析：結(jié)合問題和已知條件進(jìn)行“1”的代換 可將問題轉(zhuǎn)化為求含有基本不等式結(jié)構(gòu) ，接著可利用基本不等式求函數(shù)最值。

技巧點評：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解決問題。利用基本不等式求函數(shù)最值時，還需注意“一正、二定、三相等”，通過變形技巧找到定值，若和定則積最大，若積定則和最小。

2、三角函數(shù)的變形技巧

高中階段三角函數(shù)與初等代數(shù)、初等幾何緊密聯(lián)系，是初等函數(shù)的重要部分。解決三角函數(shù)求最值問題常常要對三角函數(shù)式進(jìn)行靈活的變形，而其變形主要有三個基本方向一是看角、二是看函數(shù)名稱、三是看結(jié)構(gòu)特征。除此之外，我們還常常結(jié)合代數(shù)的變形技巧和構(gòu)造法，為三角函數(shù)的變形創(chuàng)造一定的條件，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

角的變換

在三角函數(shù)的求值、化簡與證明題中，函數(shù)式常常出現(xiàn)較多的不同的角，但這些角又有一定的聯(lián)系。解題過程中分析條件與結(jié)論中角的聯(lián)系，進(jìn)行三角函數(shù)變換 主要是“消除差異，化異為同”。根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關(guān)系，運用角的變換能有效解決問題。

例4、已知 ，求證： 。

分析：可以考慮將條件中的角 和 配湊成求證結(jié)論中的角 ，即 ， ，再利用三角函數(shù)和差關(guān)系解決問題。

函數(shù)名稱的變換

題目中若出現(xiàn)不同名稱的三角函數(shù)，這就需根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將異名的三角函數(shù)化為同名的三角函數(shù)，達(dá)到“消除差異，化異為同”的目的。函數(shù)名稱的變換中最常見的就是切割化弦。

例5 、已知 ，試用 表示 的值。

分析：將已知條件中“切化弦”將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的式子即 。

（3）常數(shù)的變換

在三角函數(shù)的、求值、證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，或?qū)⑷呛瘮?shù)轉(zhuǎn)化為常數(shù)，從而構(gòu)造所需的函數(shù)式。例如常數(shù)“1”的變換有： ， 以及一些特殊角三函數(shù)值等等。

例6、求函數(shù) 的最小正周期，最大值和最小值。

分析：由所給的式子 可聯(lián)想到

（4）冪的變換

對于一些次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪的方法處理，達(dá)到化簡的目的。而降冪并非絕對，有時也常需要對于無理式 用升冪處理化為有理式。

（5）公式的變形與逆用

高中教材中給出每一個三角函數(shù)公式的基本形式，但在解題的過程中往往要對基本公式變形后加以應(yīng)用，有時也需逆用公式。順公式較容易，而逆用公式較困難，因此要有逆用公式的意識和思維。這要求我們既要熟悉基本公式又要對其變通形式有所了解。

三角函數(shù)式的恒等變形是學(xué)習(xí)三角函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)。三角函數(shù)式的恒等變形常應(yīng)用于化簡三角函數(shù)式，求三角函數(shù)式的值，證明三角恒等式等。三角函數(shù)式恒等變形的理論依據(jù)是代數(shù)式恒等變形的一般方法和法則，與三角函數(shù)式的變形公式。變形中還需注意符號的變化，以及三角函數(shù)定義域和值域的范圍。

參考文獻(xiàn)

[1] 張振繼.利用基本不等式求最值十大變形技巧.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010（3）

[2]李在貴.淺議三角函數(shù)變換的技巧[J]青年時代，2014（20）