基于Matlab的食堂就餐排隊系統(tǒng)的建模與分析

吳亞男+孫雷鳴+張莎+謝鵬英+吳秉衡

【摘要】：良好的餐飲服務(wù)體系是學(xué)生良好的校園生活保障，是學(xué)校后勤服務(wù)系統(tǒng)的最重要環(huán)節(jié)之一，但學(xué)生食堂排隊擁擠現(xiàn)象仍是現(xiàn)在各大高校急需解決的問題，我們對此進(jìn)行了長期的研究與分析。主要應(yīng)用排隊論的思想，排隊論又稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論，能夠解決相應(yīng)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制問題【1】。運用概率論中的正態(tài)分布函數(shù)【2】和優(yōu)化組合原理進(jìn)行調(diào)整，從而解決食堂問題。用MATLAB軟件繪出各菜種人數(shù)與時間的關(guān)系，通過建立數(shù)學(xué)模型，得出食堂排隊系統(tǒng)最優(yōu)化方案，解決食堂就餐擁擠問題，從而優(yōu)化食堂資源，提高經(jīng)濟(jì)效益。

【關(guān)鍵字】：數(shù)學(xué)建模，就餐效率，正態(tài)分布，菜組窗口數(shù)，優(yōu)化配置

【中圖分類號】G647

一、建立模型目的及意義

食品安全一直受到學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)及廣大學(xué)生的高度重視，食堂體系也反映出學(xué)校的管理體系優(yōu)化與否，所以深層次的挖掘與分析，科學(xué)處理合理利用這次的調(diào)查與研究，可以更好地服務(wù)于學(xué)生，提高學(xué)校后勤服務(wù)質(zhì)量。

二、建立模型過程分析

我們運用MATLAB數(shù)學(xué)工具進(jìn)行分析，繪制了時間與人數(shù)的關(guān)系圖，此高級語言還可用于技術(shù)計算，其中的二維和三維圖形函數(shù)主要作用是可視化數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)通過圖像變現(xiàn)出來其走勢?！?】在食堂統(tǒng)計過程中得到一系列的離散數(shù)據(jù)，為了利用這些數(shù)據(jù)得到一個平滑的曲線來更加直觀形象的反映其變化規(guī)律，我們運用matlab進(jìn)行了曲線擬合。matlab中提供了polyfit函數(shù)來實現(xiàn)曲線擬合最小二乘法，它是曲線擬合最常用的一種方法。interp1一維數(shù)據(jù)插值，該函數(shù)對數(shù)據(jù)點之間計算內(nèi)插值，它可以找出一元函數(shù)f（x）在中間點的數(shù)值，其中函數(shù)表達(dá)式由所給數(shù)據(jù)決定。

三、模型的建立及運算解析

根據(jù)調(diào)查的實際數(shù)據(jù)，通過MATLAB軟件繪出人流量走勢圖，方便直觀的看出隨著時間變化，人數(shù)的變化趨勢?？梢钥闯?，抽查的這個食堂窗口擁擠時間保持在12分鐘左右，人數(shù)從11：30到11：44一直在增加，從11：45到12：05人數(shù)逐漸減少。

本次調(diào)查的食堂窗口種類有：大米、鍋仔、特色面食、接待和面食。為了求出每個菜種合理窗口數(shù)，我們建立的數(shù)學(xué)模型是：H=擁擠時間段的總?cè)藬?shù)/每分鐘窗口合理人流量×窗口數(shù)×擁擠時間，用字母表示該數(shù)學(xué)公式：H'=（H1+H2）/2 H=M/（N*F*T）

其中：M擁擠時間段的總?cè)藬?shù)，N每分鐘窗口合理人流量，F(xiàn)窗口數(shù)，T擁擠時間，H'平均參數(shù)，

F'合理窗口數(shù)，H為參變量，用來衡量菜組窗口是否合理，希望預(yù)期值為1，通過計算得出的H大于1，則視為擁擠，需要增設(shè)窗口；小于1，則應(yīng)該減少窗口。

以下是詳細(xì)的計算合理窗口數(shù)的過程：

假設(shè)擁擠時間段為每天的11：36-11：47

例：大米窗口，4月21日H1=493/（10×4×10）=1.23

4月25日H2=88/（10×2×10）=0.44

求合理窗口數(shù)時的H=1，假設(shè)合理窗口數(shù)為X，則：

4月21日H1=493/（10×X×10）=1，解出X=4.93

4月25日H2=88/（10×X×10）=1，解出X=0.88

現(xiàn)在餐廳工作日大米窗口有4個，需增設(shè)1個；周末大米窗口有2個，需要減1個窗口。

其他窗口求合理窗口數(shù)的過程與這個相同，經(jīng)計算，得出餐廳工作日鍋仔窗口數(shù)不需要變動，周末需要增設(shè)1個；餐廳工作日接待窗口數(shù)需要增設(shè)1個，周末需要增設(shè)1個；餐廳工作日特色面食窗口數(shù)需要增設(shè)1個，周末需要減設(shè)1個；餐廳工作日面食窗口數(shù)需要增設(shè)1個，周末無需變動。

經(jīng)過對各個菜種窗口數(shù)的調(diào)整，分別用H1，H2，H3，H4，H5這5個指標(biāo)來衡量這5個菜組是否擁擠，同時引入一個總的可以衡量食堂擁擠程度的參數(shù)H總，H總=（H1+H2+H3+H4+H5）/5，通過計算得出，H總=0.908，它可以看出窗口調(diào)整后對整個餐廳就餐擁擠程度總的效果，同樣以H=1作為參考值，大于1則擁擠，小于1則不擁擠，計算得出的H總小于1，說明經(jīng)過調(diào)整，餐廳就餐情況得到改善，窗口數(shù)得到優(yōu)化。

接下來，為了更深入的研究調(diào)整后的每個菜種與餐廳總水平的偏離程度，引入方差分析。方差分析通過檢驗個體與總體之差來判斷影響效果是否顯著，使用方差分析時，必須滿足一定的條件，被稱作方差分析的基本假定【4】。假定如下：

1、每個總體必須服從正態(tài)分布。

2、每個總體的標(biāo)準(zhǔn)差必須相同。

四、影響函數(shù)變化的指標(biāo)分析

1、窗口數(shù)F的變化會對數(shù)學(xué)函數(shù)產(chǎn)生影響。當(dāng)窗口數(shù)F增加時，擁擠時間T就會縮短，相應(yīng)的擁擠時間段的總?cè)藬?shù)M下降，擁擠程度下降，H也會隨之下降。

2、擁擠時間的總?cè)藬?shù)M的變化會對數(shù)學(xué)函數(shù)產(chǎn)生影響。當(dāng)窗口數(shù)F一定，每分鐘的各窗口合理人流量N一定，擁擠時間T一定時，擁擠時間段的總?cè)藬?shù)M減少，H也會隨之下降。

3、每分鐘的各窗口合理人流量N的變化會對數(shù)學(xué)函數(shù)產(chǎn)生影響。當(dāng)窗口數(shù)F一定，擁擠時間的總?cè)藬?shù)M一定，擁擠時間T一定時，每分鐘各窗口的合理人流量增大，H則減小。

五、結(jié)論

在生產(chǎn)和科學(xué)研究中，人們往往要按照預(yù)定的目標(biāo)去實現(xiàn)過程的控制，這就是說，在客觀條件允許范圍內(nèi)，選擇最好的措施控制某過程的發(fā)展，以便更好地實現(xiàn)預(yù)定的目標(biāo)，這就是過程最優(yōu)化?！?】該項目的核心思想就是最優(yōu)化，將得出數(shù)學(xué)模型方案，運用到學(xué)校的食堂就餐排隊中，實踐證明，這套方案確實可以減緩食堂的擁擠情況，有效利用學(xué)校的資源，實現(xiàn)該模型預(yù)期的目標(biāo)。該模型雖然已經(jīng)有效的解決了食堂擁擠情況，但是仍存在不足之處：

1、文中只是給出了有限的幾個影響因素，對系統(tǒng)的優(yōu)化仍然不夠高，鑒與此，接下來應(yīng)該實地調(diào)查更多的學(xué)校，統(tǒng)計更多的數(shù)據(jù)，使研究結(jié)果和方案更具有代表性。

2、由于學(xué)習(xí)的專業(yè)水平有限，對最優(yōu)化理論了解的還是不夠深入，以后我們應(yīng)該繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，提出更多的改進(jìn)方案，從而可以更優(yōu)化食堂就餐系統(tǒng)，使效果更為明顯。

參考文獻(xiàn)

【1】運籌學(xué)/熊偉編著.—2版.—北京：機械工業(yè)出版社，2009.9

【2】概率論與數(shù)理統(tǒng)計/同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著.4版. —上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2009

【3】MATLAB概率與數(shù)理統(tǒng)計/周品 編著. —北京.清華大學(xué)出版社，2012.11

【4】應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)/潘鴻，張小宇，吳勇民 編著.-北京：人民郵電出版社，2011

【5】最優(yōu)化方法及其MATLAB程序設(shè)計/馬昌鳳 編著.—北京：科學(xué)出版社，2010