淺析輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

吳秀才++程慧燕++蔣文麗

摘要：微分中值定理是高等數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，它是架起函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一座橋梁，在很多方面都有應(yīng)用，其中證明區(qū)間中值點(diǎn)的存在性是非常重要的應(yīng)用，也是歷年考研經(jīng)常出現(xiàn)的題型之一.這類題需要用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，本文通過對例題的分析，總結(jié)出常見的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.

關(guān)鍵詞：微分中值定理；證明；輔助函數(shù)；構(gòu)造方法

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引言

輔助函數(shù)構(gòu)造法是數(shù)學(xué)證明中廣泛使用的一種很有用的方法，輔助函數(shù)是依據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)及相關(guān)信息而構(gòu)造的函數(shù)，它能將比較抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為比較容易解決的輔助函數(shù)問題，構(gòu)造輔助函數(shù)是一種創(chuàng)造性的思維過程，具有很大的靈活性，下面結(jié)合例題總結(jié)幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.

一、構(gòu)造輔助函數(shù)的方法

利用微分中值定理證明中值點(diǎn)存在性問題時，關(guān)鍵是根據(jù)待證結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征來構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)最基本的思想就是尋求原函數(shù)，而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論結(jié)構(gòu)的不同而不同.

1. 常數(shù)觀察法

這種方法是根據(jù)要證結(jié)論的常數(shù)部分揣測輔助函數(shù)，適用于常數(shù)規(guī)律性強(qiáng)的題目.

例1 函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明：在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 .

分析：觀察右端常數(shù)部分是函數(shù) 在區(qū)間 兩端點(diǎn)函數(shù)值的差與區(qū)間長度 之商，聯(lián)想到對函數(shù) 使用拉格朗日中值定理.另外本題也可從左側(cè)表達(dá)式尋找原函數(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1]拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)作法的推廣及應(yīng)用.郭芳萍.山西財經(jīng)大學(xué)學(xué)報[J].2006.4.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第七版[M].高等教育出版社.2014.7.