鏡面對(duì)稱，你了解它嗎？

李燕

摘要： 鏡面對(duì)稱是一種物理現(xiàn)象，在新課改中，它出現(xiàn)在小學(xué)二年級(jí)的數(shù)學(xué)課本上。鏡面對(duì)稱對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，講起來(lái)比較困難，理解上有一定的難度。所以，筆者建議教師講授鏡面對(duì)稱時(shí)要把難度降低，并且還要站在學(xué)生的角度進(jìn)行換位思考，使自己教得輕松，學(xué)生學(xué)得輕松。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) 鏡面對(duì)稱

鏡面對(duì)稱是一種物理現(xiàn)象，在新課改中，它出現(xiàn)在小學(xué)二年級(jí)的數(shù)學(xué)課本上。教材要求學(xué)生通過(guò)活動(dòng)初步認(rèn)識(shí)鏡面對(duì)稱的現(xiàn)象。教師在教學(xué)中只是依據(jù)教學(xué)參考書中的一句話：“照鏡子時(shí)鏡子內(nèi)外的人上下，前后位置不會(huì)發(fā)生改變，而左右位置發(fā)生對(duì)換?！倍M(jìn)行引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)鏡面對(duì)稱現(xiàn)象。課本中所出示的均是人照鏡子的圖，但在教學(xué)中不可避免的是一些實(shí)物照鏡子，這時(shí)教學(xué)出現(xiàn)問(wèn)題。試問(wèn)我們教師只是本著教學(xué)參考而教嗎？這樣的教學(xué)是否膚淺？學(xué)生，教師是否對(duì)鏡面對(duì)稱的認(rèn)識(shí)是混沌不清呢？答案好似不言而喻了。筆者就自己的粗淺認(rèn)識(shí)來(lái)與大家交流對(duì)這一部分的研究。

一、 什么是鏡面對(duì)稱

我們的教學(xué)參考中對(duì)鏡面對(duì)稱有一定的闡述；鏡面對(duì)稱、也就是相對(duì)與一個(gè)平面形成的對(duì)稱，湖面的倒影，人在鏡子里可以成像，這些現(xiàn)象都是學(xué)生生活中經(jīng)?？吹降?。很容易引起學(xué)生的興趣，理解起來(lái)比較方便。其中湖面的倒影是相對(duì)水平平面的對(duì)稱，而照鏡子是相對(duì)豎直平面的對(duì)稱，這是最常見(jiàn)的兩類鏡面對(duì)稱。

但筆者認(rèn)為要想清楚的認(rèn)識(shí)鏡面對(duì)稱，那就要先明白對(duì)稱的意義。對(duì)稱；是指圖形或物體對(duì)某一點(diǎn)、直線或平面，在形狀、大小、長(zhǎng)短和排列等方面都相等或相當(dāng)，具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么鏡面對(duì)稱是物體，圖形的某一個(gè)面或某一點(diǎn)以法線為對(duì)稱軸一一對(duì)應(yīng)。（此概念源于高一課本B版必修）

二、鏡面對(duì)稱的幾種情況

照鏡子是多么平常的一件事。我們所有的人都會(huì)照鏡子。但鏡面對(duì)稱有幾種不同情況，這可能是許多人沒(méi)有留意到的吧。

1、 具有生命的人或動(dòng)物照鏡子

當(dāng)具有生命的人或動(dòng)物照鏡子時(shí)，鏡面對(duì)稱具有上下，前后位置不變。左右位置相反的特點(diǎn)，這是為什么呢？因?yàn)榇藭r(shí)、無(wú)論照鏡子的人，還是旁觀者的人都是以鏡子前實(shí)像的視覺(jué)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)去觀察去判斷。

2、 不具有生命的物品照鏡子

當(dāng)我們拿一個(gè)不具有生命的物品去照鏡子，此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)鏡外的實(shí)物與鏡子中的鏡像成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，沒(méi)有發(fā)生左右位置相反的變化。這是為什么呢？事實(shí)上，很簡(jiǎn)單因?yàn)槲覀冇^察的視覺(jué)出發(fā)點(diǎn)是我們（旁觀者）

3、 不具有生命的特殊物品照鏡子

不具有生命的特殊物品的鏡面對(duì)稱現(xiàn)象是報(bào)紙上的字、鐘表上的數(shù)字、書上的字等，為什么呢？因?yàn)檫@些數(shù)字、字它們?cè)谡甄R子的時(shí)候后面有背景，這樣的鏡面對(duì)稱就具有左右位置相反的變化。

三、鏡面對(duì)稱與軸對(duì)稱的聯(lián)系與區(qū)別

過(guò)去的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，盡管也有軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)，但一般安排在高年級(jí)出現(xiàn)，并局限于軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)?，F(xiàn)在則加強(qiáng)了觀察生活中的對(duì)稱現(xiàn)象以及畫軸對(duì)稱圖形的內(nèi)容。教材還增加了初步感知鏡面對(duì)稱的內(nèi)容，使對(duì)稱現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，從一開始就顯得更加豐富、充實(shí)。

在第一階段，為使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)對(duì)稱現(xiàn)象和軸對(duì)稱圖形，從而能以新的視角去觀察物體，研究圖形，體驗(yàn)它們的對(duì)稱美。教材一般都會(huì)給出各種生活中常見(jiàn)的對(duì)稱物體，讓學(xué)生觀察，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱的視角去重新認(rèn)識(shí)平時(shí)經(jīng)?？吹降奈矬w。然后再通過(guò)折紙、剪紙等活動(dòng)，引出軸對(duì)稱圖形。這里，教材由折痕引出“對(duì)稱軸”的概念，但不出軸對(duì)稱圖形的概念，（如人教版二年級(jí)上冊(cè)中的有關(guān)內(nèi)容）。

教師應(yīng)提供現(xiàn)實(shí)生活中比較常見(jiàn)的一些物體、一些圖形、一些交通標(biāo)志，以及英語(yǔ)字母，或者一些國(guó)家的國(guó)旗，讓學(xué)生觀察、判斷。提供這些素材的意圖，一是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)軸對(duì)稱圖形的多樣性及其應(yīng)用的廣泛性，只要注意觀察，經(jīng)常能看到；二是通過(guò)一些交通標(biāo)志或一些國(guó)家的國(guó)旗，豐富學(xué)生的社會(huì)知識(shí)；三是體會(huì)對(duì)稱美，體會(huì)生活中為什么會(huì)有大量的對(duì)稱物體、對(duì)稱圖案，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的情感。顯然，從一開始就落實(shí)教材的這些編寫意圖，不但能使圖形變換內(nèi)容的教學(xué)有一個(gè)良好的開端，對(duì)數(shù)學(xué)其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)，也是一種促進(jìn)。

鏡面對(duì)稱同樣是日常生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象。在兒童生活里（如照鏡子），在童話故事里（如猴子撈月亮），在大自然里（如湖面的倒影），甚至在語(yǔ)文課文里（如水平如鏡），都不乏這種現(xiàn)象的實(shí)例。這方面的很多實(shí)例還很容易引起學(xué)生的興趣和探究的欲望。因此，在第一學(xué)段就引入鏡面對(duì)稱，具有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。然而，鏡面對(duì)稱與軸對(duì)稱既有聯(lián)系，又有區(qū)別。它們的聯(lián)系在于兩者都改變圖形的方向，如左右互換。區(qū)別在于鏡面對(duì)稱嚴(yán)格地說(shuō)是一種物體或圖形關(guān)于某個(gè)平面的對(duì)稱，而不是關(guān)于一條直線的對(duì)稱。上面提到的照鏡子，是相對(duì)于豎直平面的對(duì)稱；水面倒影是相對(duì)于水平面的對(duì)稱，這是兩種特殊的也是最常見(jiàn)的鏡面對(duì)稱。如果在紙上畫一個(gè)圖形，旁邊豎一面鏡子，則隨著鏡子擺放位置、角度的變化，圖形（鏡面對(duì)稱的“像”）的變化非常多樣，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可謂變幻莫測(cè)。所以，一般只是讓學(xué)生在照鏡子的活動(dòng)中，通過(guò)比較鏡子內(nèi)外人與像的位置關(guān)系，初步感受鏡面對(duì)稱的特點(diǎn)。至于“鏡面對(duì)稱”、“平面對(duì)稱”等名詞以及鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，教材都不會(huì)涉及。

首先通過(guò)“湖面的倒影”和“室內(nèi)墻上鏡子成像”兩幅主題圖情景，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中常見(jiàn)的“倒影”、“鏡子成像”現(xiàn)象，蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想，即“鏡面對(duì)稱”。再通過(guò)“做一做”的照鏡子活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)“鏡面對(duì)稱”的特征。從教材編寫的意圖來(lái)看，“鏡面對(duì)稱”這部分內(nèi)容是一種體驗(yàn)性活動(dòng)，它包含了豐富的過(guò)程性目標(biāo)?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，整個(gè)教學(xué)過(guò)程應(yīng)以教材為基礎(chǔ)，并結(jié)合學(xué)生實(shí)際，創(chuàng)設(shè)多種感悟情境和活動(dòng)情境，引導(dǎo)學(xué)生在自主探索、合作交流中體驗(yàn)“鏡面對(duì)稱”特征。

第二階段關(guān)于軸對(duì)稱圖形的初步認(rèn)識(shí)，主要內(nèi)容一是從折紙或觀察入手，找到并畫出一個(gè)圖形的對(duì)稱軸。二是借助方格紙觀察并發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的特征，如對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等。進(jìn)而根據(jù)這個(gè)特征，學(xué)習(xí)在方格紙上畫出軸對(duì)稱圖形的另一半。也就是先根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，確定圖形另一半的頂點(diǎn)，再把軸對(duì)稱圖形畫完整。顯然，畫出軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵，在于掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)的規(guī)律。

鏡面對(duì)稱對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，講起來(lái)比較困難，理解上有一定的難度。所以，筆者建議教師講授鏡面對(duì)稱時(shí)要把難度降低，一方面要查閱一些有關(guān)資料，借鑒一些好的教學(xué)方法，少走一些彎路，提高教學(xué)效率；另一方面還要站在學(xué)生的角度進(jìn)行換位思考，自己覺(jué)得怎么容易理解就怎么講給學(xué)生。邊學(xué)習(xí)，邊琢磨，使自己教得輕松，學(xué)生學(xué)得輕松。

附：鏡面對(duì)稱猜想——1996年伯克利一位年輕的幾何學(xué)家Alexander Givental證明了鏡面對(duì)稱中的一個(gè)數(shù)學(xué)猜想。該猜想是弦理論的基礎(chǔ)。