基于幀間動(dòng)態(tài)優(yōu)化貝葉斯壓縮感知的監(jiān)控視頻處理研究

王臣昊++賈海天++肖小潮

摘要：將基于優(yōu)化高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣的貝葉斯壓縮感知算法引入監(jiān)控視頻處理中，并提出幀間動(dòng)態(tài)調(diào)整觀測(cè)的算法，以滿足高清視頻監(jiān)控管理中不同時(shí)期、不同畫(huà)面清晰度要求下的傳輸和存儲(chǔ)需求。其動(dòng)態(tài)性體現(xiàn)在，區(qū)分基準(zhǔn)幀和非基準(zhǔn)幀應(yīng)用不同思路處理，同時(shí)，非基準(zhǔn)幀的觀測(cè)序列維數(shù)[M]動(dòng)態(tài)決定。仿真表明，針對(duì)[1280×720]的幀圖像，OBCS算法比常用的OMP算法在重構(gòu)[PSNR]和運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)上優(yōu)勢(shì)明顯；此外，動(dòng)態(tài)調(diào)整算法下，非基準(zhǔn)幀圖像壓縮率具有更大的靈活性。

關(guān)鍵詞：視頻監(jiān)控處理；優(yōu)化貝葉斯壓縮感知；幀間動(dòng)態(tài)調(diào)整；高頻子帶系數(shù)；幀間殘差

中圖分類號(hào)：TN911.73 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2017）04-0228-05

隨著人們對(duì)信息的需求越來(lái)越高，信息提供者和管理者對(duì)數(shù)字化信息的處理與管理難度也越來(lái)越大。在監(jiān)控視頻應(yīng)用領(lǐng)域，720P、1080P的高清攝像頭使用越來(lái)越廣泛，隨之帶來(lái)的是傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理下，對(duì)這些高像素?cái)?shù)據(jù)采樣、編碼、傳輸、存儲(chǔ)越來(lái)越大的壓力。而壓縮感知（CS，Compressed Sensing）理論[1-2]表明，只要信號(hào)滿足某個(gè)域上稀疏的條件，就可以突破奈奎斯特采樣定理的限制，以較少的觀測(cè)序列重構(gòu)出原始信號(hào)，從而減輕對(duì)此類信號(hào)的處理壓力和隨之而來(lái)的傳輸、存儲(chǔ)壓力。所以，壓縮感知理論一經(jīng)提出，便廣為關(guān)注和研究。

視頻的幀圖像信號(hào)經(jīng)過(guò)一定的投影后，可以在DCT域、DFT域或者小波域上投影變換成稀疏信號(hào)[3-4]，從而應(yīng)用壓縮感知理論。本文正是基于這個(gè)基礎(chǔ)，將壓縮感知技術(shù)引入視頻監(jiān)控處理和管理中。除了在壓縮感知算法上使用前期研究提出的基于優(yōu)化高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣的貝葉斯壓縮感知算法（OBCS，Optimized BCS）[5]，還特別針對(duì)監(jiān)控視頻幀間的高相關(guān)性，提出幀間動(dòng)態(tài)調(diào)整壓縮感知的算法。通過(guò)幀間動(dòng)態(tài)調(diào)整觀測(cè)序列維數(shù)[M]，靈活調(diào)整幀圖像壓縮比，滿足不同時(shí)期、不同圖像質(zhì)量需求下的監(jiān)控視頻傳輸和存儲(chǔ)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，針對(duì)[1280×720]的基準(zhǔn)幀或非基準(zhǔn)幀幀圖像，OBCS算法都比常用的OMP算法在重構(gòu)[PSNR]和運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)上都有明顯優(yōu)勢(shì)；此外，動(dòng)態(tài)調(diào)整算法下，非基準(zhǔn)幀圖像壓縮率具有更大的靈活性，運(yùn)算時(shí)間也可進(jìn)一步降低。

1觀測(cè)矩陣優(yōu)化的貝葉斯壓縮感知

壓縮感知理論概括就是，如果[N]維數(shù)字信號(hào)[x]稀疏度為[K]（即非零元素為[K]，[K?N]）或者投影到某個(gè)變換域上可以變?yōu)閇K]-稀疏的信號(hào)，則其可使用觀測(cè)矩陣[Φ]進(jìn)行線性變換，得到維度小于[N]的觀測(cè)序列[y]，[y]可以使用原矩陣[Φ]高概率地重構(gòu)原始的[N]維信號(hào)[x]。所以，壓縮感知理論的基本環(huán)節(jié)是：投影、觀測(cè)、重構(gòu)。而OBCS算法就是在壓縮感知的重構(gòu)環(huán)節(jié)，引入貝葉斯思路[6]；并對(duì)觀測(cè)和重構(gòu)環(huán)節(jié)最常用的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化。

1.1 優(yōu)化高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣

Candes，Tao[7-8]等學(xué)者指出使用觀測(cè)矩陣[Φ]（[M×N]維）進(jìn)行觀測(cè)后重構(gòu)[N]維信號(hào)時(shí)，要保證不會(huì)把不同的兩個(gè)[K]-稀疏信號(hào)映射到一個(gè)集合中，因此，理想狀態(tài)下，[Φ]中任意抽取[M]個(gè)列向量，所構(gòu)成的矩陣需要是非奇異的。在實(shí)際選取時(shí)，可以令其列向量的相關(guān)性盡量小，使得[Φ]更隨機(jī)化。

設(shè)觀測(cè)矩陣[Φ]，[G=ΦTΦ]中非對(duì)角線元素[gij]中的最大幅值即為[Φ]列向量間的互相關(guān)性。另設(shè)變量[utΦ]為容忍門限[t]下的平均互相關(guān)性，為所有絕對(duì)值大于等于[t]的非對(duì)角線元素[gij]的平均值，如下所示：

其中，[n]為絕對(duì)值大于等于[t]的非對(duì)角線元素[gij]的個(gè)數(shù)。因此，減小[utΦ]也就減小了觀測(cè)矩陣[Φ]列向量之間的相關(guān)性。針對(duì)[gij]可以進(jìn)行如下的迭代收縮運(yùn)算[5]：

其中， [γ]為0到1之間取值的衰減因子。

1.2 貝葉斯壓縮感知重構(gòu)

貝葉斯壓縮感知區(qū)別于常見(jiàn)的壓縮感知算法在于，前者在重構(gòu)環(huán)節(jié)以貝葉斯最大后驗(yàn)概率的思路求解，而后者力圖近似求解一個(gè)最小[l0]范數(shù)[7][9]問(wèn)題比如MP算法或者OMP算法，或者轉(zhuǎn)換到等價(jià)的最小[l1]范數(shù)求解比如BP算法等。

在壓縮感知中引入貝葉斯時(shí)，首先，將[N]維稀疏信號(hào)[x]分解成[x1]、[x2]兩部分，[x1]保留[x]中[M]個(gè)（[M?N]）幅值最大的值，其余置0；[x2]保留了[x]中[N-M]個(gè)幅值最小的值，其余置0。根據(jù)中心極限定理[10]，[Φx2]可近似看作服從[N（0，σ2）]的噪聲。下文用[x]代替[x1]，噪聲[n]近似代替[Φx2]，觀測(cè)序列[y]可表如下：

[y=Φx+n] （3）其中，[n]的方差為[σ2]。

其次，需要明確稀疏信號(hào)[x]的先驗(yàn)知識(shí)。

文獻(xiàn)[6]提出一種分層的稀疏先驗(yàn)。設(shè)[px|α]服從均值為0、精確度為[α]的高斯分布。

[α]是[αi]組成的[N]維向量，服從[Γ]分布，形狀參數(shù)[a]、尺度參數(shù)[b]均可置為0[11][15]。[α-1i]為[x]中各個(gè)分量的方差。

根據(jù)（3）式[n～N（0，σ2）]，則

其中[γi?1-αi∑ii]，[∑ii]是[∑]的第[i]個(gè)對(duì)角線元素。[αnewi]和[（σ2）new]的取值是[αi]和[σ2]關(guān)于[μ]和[∑]的迭代過(guò)程，可通過(guò)限制收斂條件，將滿足收斂條件的最終迭代值帶入求得[x]。

2 幀間動(dòng)態(tài)調(diào)整壓縮感知處理的監(jiān)控視頻處理算法

監(jiān)控視頻信號(hào)處理遵從圖像信號(hào)的一般特性，比如圖像信號(hào)經(jīng)過(guò)若干層的小波分解后具有可應(yīng)用壓縮感知的信號(hào)稀疏性。同時(shí)，也要考慮監(jiān)控視頻的特點(diǎn)，比如拍攝角度長(zhǎng)時(shí)間不變，幀間有高概率的相關(guān)性；視頻文件體積大，帶來(lái)傳輸、存儲(chǔ)的巨大壓力；某些時(shí)段的分辨率要求不必很高；或者一定時(shí)效后，調(diào)取的可能性很低，可以進(jìn)一步以降低分辨率為代價(jià)，換取高的壓縮比，減少存儲(chǔ)占用空間。

因此，在監(jiān)控視頻處理中應(yīng)用壓縮感知技術(shù)，可以將連續(xù)的幀圖像區(qū)分為基準(zhǔn)幀和非基準(zhǔn)幀?；鶞?zhǔn)幀就是獨(dú)立使用原幀信號(hào)壓縮感知的幀圖像，需要在壓縮前進(jìn)行稀疏化變換；非基準(zhǔn)幀與基準(zhǔn)幀的幀間殘差在一定門限范圍內(nèi)，可對(duì)具有稀疏特性的殘差直接壓縮感知，在重構(gòu)端將殘差的重構(gòu)和基準(zhǔn)幀的重構(gòu)疊加，恢復(fù)該非基準(zhǔn)幀。

這種區(qū)分基準(zhǔn)幀和非基準(zhǔn)幀的動(dòng)態(tài)調(diào)整壓縮感知，可以利用基準(zhǔn)幀稀疏化變換后的稀疏度或者幀間殘差的稀疏度，動(dòng)態(tài)選擇觀測(cè)矩陣的二維維度，從而決定傳輸和存儲(chǔ)的一維觀測(cè)序列[M]，改變壓縮比。同時(shí)，設(shè)定門限將幀間殘差的稀疏度控制在可以接受的范圍內(nèi)，可以保證非基準(zhǔn)幀重構(gòu)的精確度；僅對(duì)稀疏殘差的值和位置的傳輸和存儲(chǔ)，可以使非基準(zhǔn)幀的壓縮比較之基準(zhǔn)幀進(jìn)一步提高。

圖1 基于幀間動(dòng)態(tài)調(diào)整優(yōu)化觀測(cè)貝葉斯壓縮感知的監(jiān)控視頻處理流程

2.1基準(zhǔn)幀的高頻子帶壓縮感知

幀圖像經(jīng)過(guò)小波變換后，會(huì)分解成維度降低的高頻子帶和低頻子帶，其中高頻子帶有稀疏性。但是如果需要達(dá)到一定的重構(gòu)效果，一般要進(jìn)行多層小波變換，比如對(duì)于[256×256]的圖像至少要4層以上的，對(duì)于現(xiàn)在動(dòng)輒720P、1080P的監(jiān)控視頻圖像來(lái)說(shuō)，所需層次更加高，而且重構(gòu)質(zhì)量也并非理想。因此，不如直接保留不稀疏的低頻子帶，而只對(duì)高頻子帶做壓縮感知[13]，在保證所需的重構(gòu)質(zhì)量的條件下，減少一定的用于重構(gòu)的傳輸或者存儲(chǔ)數(shù)據(jù)量。具體步驟如下：

（1）對(duì)[A×B]的圖像進(jìn)行單層小波變換，分解得[（A/2）×（B/2）]的4個(gè)小波子帶系數(shù)[HH、HL、LH、LL]；

（2）根據(jù)2.2構(gòu)造[M×（A/2）]大小的優(yōu)化高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣[Φ]，對(duì)[HH、HL、LH]進(jìn)行測(cè)量，[LL]保持不變；

（3）使用貝葉斯重構(gòu)算法，對(duì)[HH、HL、LH]進(jìn)行重構(gòu)，得到[HH、 HL、 LH]，與[LL]進(jìn)行小波逆變換，恢復(fù)幀圖像。

2.2非基準(zhǔn)幀的幀間殘差動(dòng)態(tài)觀測(cè)壓縮感知

視頻文件一秒的幀數(shù)至少在15幀以上，而且監(jiān)控視頻鏡頭一般在較長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定。因此，幀間殘差的稀疏性很高。選定基準(zhǔn)幀后，間隔幀數(shù)越少，稀疏性越高，同時(shí)殘差值越小。對(duì)于相鄰的兩幀[1280×720]的灰度圖像，95%左右的像素點(diǎn)上殘差為0，累積98%左右的像素點(diǎn)上殘差小于等于2，只有不到1%的像素點(diǎn)上殘差超過(guò)5。因此，完全滿足針對(duì)殘差壓縮感知的條件，并且在稀疏度處理上，可以將小于一定門限的殘差值近似看作0，進(jìn)一步提高稀疏性、降低觀測(cè)序列維數(shù)。具體步驟如下：

（1）求當(dāng)前處理幀與基準(zhǔn)幀的像素點(diǎn)殘差矩陣[Δ]，稀疏度滿足門限，設(shè)置其為非基準(zhǔn)幀，否則按3.1基準(zhǔn)幀處理；

（2）統(tǒng)計(jì)殘差稀疏度，因?yàn)槭褂糜^測(cè)矩陣對(duì)[Δ]的每一列或者每一行的轉(zhuǎn)置依次觀測(cè)，所以統(tǒng)計(jì)每一行或者每一列中超過(guò)某個(gè)殘差門限的像素點(diǎn)數(shù)，比如每一列中[δ：，j≥3]的個(gè)數(shù)[ci]，取[C=maxc1，c2，...cB]或[C=Ε（c）]等；

（3）動(dòng)態(tài)選擇觀測(cè)維度[M']進(jìn)行優(yōu)化觀測(cè)，具體[M']的取值可以視需要，隨著非基準(zhǔn)幀和基準(zhǔn)幀之間間隔的幀數(shù)[n]增大而增大，比如從[C3]逐步增加到[C]；

（4）使用貝葉斯重構(gòu)算法，得到重構(gòu)殘差[Δ]，考慮到重構(gòu)殘差矩陣[Δ]的元素基本都不是整數(shù)，可以再對(duì)[Δ]的所有元素值進(jìn)行四舍五入的取整處理，得到[Δ']；

（5）將[Δ']與重構(gòu)的基準(zhǔn)幀疊加，得到該非基準(zhǔn)幀的重構(gòu)值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真使用的視頻文件分辨率[1280×720]，每秒25幀。因?yàn)樵硐嗤?，為了?jiǎn)化仿真的處理過(guò)程，我們將提取的幀圖像做了灰度處理，即，將R、G、B三個(gè)分量的二維矩陣加權(quán)平均得灰度化后的二維矩陣進(jìn)行處理。

仿真1：針對(duì)基準(zhǔn)幀，在使用OBCS和OMP算法下，觀測(cè)維度[M]和重構(gòu)基準(zhǔn)幀的[PSNR]、運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)的關(guān)系

對(duì)于[1280×720]的基準(zhǔn)幀，觀測(cè)序列維數(shù)[M=150：10：230]，重復(fù)二十次實(shí)驗(yàn)，得表1：

從表1可以看出，對(duì)于基準(zhǔn)幀的高頻子帶壓縮感知時(shí)，使用OBCS算法比OMP算法[PSNR]高[1～2dB]，壓縮加重構(gòu)的時(shí)間總長(zhǎng)明顯要短，且隨著觀測(cè)序列維數(shù)的增大而差距增大。

如果監(jiān)控視頻在某個(gè)時(shí)間段沒(méi)有高質(zhì)量的畫(huà)面重構(gòu)需求，那么從傳輸和儲(chǔ)存的成本角度考慮，觀測(cè)序列維數(shù)可以進(jìn)一步調(diào)低。仿真特意選取的基準(zhǔn)幀圖像中間人物的背部衣服有英文字母VSARSENT，以是否有明顯噪點(diǎn)和能否輕松辨認(rèn)該串字母作為重構(gòu)質(zhì)量的分界線。

圖4 基準(zhǔn)幀[M=230、M=150、M=90、M=5]（從左往右）時(shí)的局部重構(gòu)效果

對(duì)于[1280×720]的基準(zhǔn)幀，觀測(cè)序列維數(shù)[M=230]時(shí)，包括不作任何處理的低頻子帶在內(nèi)，整個(gè)幀數(shù)據(jù)的壓縮率為51.95%，重構(gòu)圖像清晰、畫(huà)面細(xì)膩；當(dāng)[M≤150]時(shí)，壓縮率為42.58%，重構(gòu)圖像清晰、深色部分有些許不明顯噪點(diǎn)；當(dāng)[M=80]時(shí)，[PSNR]為26.6[dB]，壓縮率為34.38%，運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)182.66s，重構(gòu)圖像雖有明顯噪點(diǎn)，但人物背部的英文字母依然清晰可分辨；當(dāng)[M≤70]時(shí)，重構(gòu)圖像中人物背部的英文字母已難輕松分辨；當(dāng)[M=5]時(shí)，[PSNR]為24.71[dB]，壓縮率為25.59%，運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)62.99s，除了細(xì)節(jié)外圖像依然可以被大致重構(gòu)。這從側(cè)面說(shuō)明了低頻子帶是原始圖像在不同尺度下的逼近信號(hào)[12]。因此，使用單層小波分解后，針對(duì)高頻子帶壓縮感知對(duì)基準(zhǔn)幀進(jìn)行處理的極限壓縮率為25%。

仿真2：針對(duì)非基準(zhǔn)幀和基準(zhǔn)幀的殘差，在使用OBCS和OMP算法下，幀間隔數(shù)[n]和重構(gòu)[PSNR]、運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)的關(guān)系

以仿真1中的處理幀作為基準(zhǔn)幀，提取其后連續(xù)9幀圖像作為非基準(zhǔn)幀，求與基準(zhǔn)幀的殘差，使用OBCS和OMP算法對(duì)殘差矩陣[Δ]進(jìn)行仿真，殘差觀測(cè)序列維數(shù)[M'=C]，基準(zhǔn)幀在觀測(cè)序列維數(shù)[M=230]下重構(gòu)，重復(fù)20次實(shí)驗(yàn)，得表2：

表2 OBCS和OMP算法下，[M'=C]時(shí)，幀間隔數(shù)[n]和重構(gòu)[PSNR]、運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)的關(guān)系

[

間隔幀數(shù)[n] 算法

從表3可以看出，殘差觀測(cè)序列維數(shù)[M'=C/2]減少一半后，[n≤6]時(shí)對(duì)殘差的重構(gòu)[PSNR]相差不大，[n≥7]時(shí)相差較為明顯；但疊加重構(gòu)基準(zhǔn)幀后，非基準(zhǔn)幀重構(gòu)[PSNR]差值在[0.5dB]以下，且無(wú)明顯規(guī)律。因此，10幀以內(nèi)的非基準(zhǔn)幀觀測(cè)維數(shù)還可以繼續(xù)降低，10幀以外的非基準(zhǔn)幀有待進(jìn)一步仿真。

對(duì)非基準(zhǔn)幀殘差壓縮感知時(shí)，壓縮率和殘差的稀疏度有關(guān)。仿真中取[M'=C/2]時(shí)，[n=1]的非基準(zhǔn)幀殘差稀疏性最差的列有136個(gè)大于2的殘差值，選取[M'=68]，壓縮率為9.44%左右，是重構(gòu)[PSNR]接近的基準(zhǔn)幀的壓縮率的1/5左右；[n=9]時(shí)，[M'=151]，壓縮率為20.97%左右，是重構(gòu)[PSNR]接近的基準(zhǔn)幀的壓縮率的1/2左右。

仿真3：針對(duì)非基準(zhǔn)幀，使用OBCS算法，幀間隔數(shù)[n]和重構(gòu)非基準(zhǔn)幀的[PSNR]的關(guān)系

以仿真1中的處理幀作為基準(zhǔn)幀，提取其后連續(xù)9幀圖像作為非基準(zhǔn)幀，求與基準(zhǔn)幀的殘差，使用OBCS算法對(duì)這9個(gè)殘差矩陣[Δ]進(jìn)行仿真，殘差觀測(cè)序列維數(shù)[M'=C]。限于篇幅，部分幀間隔數(shù)[n]和重構(gòu)[PSNR]的關(guān)系如表4：

全部數(shù)據(jù)繪制成圖如圖：

由圖5可得，在任意基準(zhǔn)幀觀測(cè)序列維數(shù)[M]下，非基準(zhǔn)幀的[PSNR]都和與基準(zhǔn)幀的幀間隔數(shù)[n]成反比關(guān)系；基準(zhǔn)幀[M]越大，基準(zhǔn)幀的[PSNR]越高，非基準(zhǔn)幀的[PSNR]越受[n]的影響；[n=6]和[n=7]的兩個(gè)非基準(zhǔn)幀之間[PSNR]的較明顯突降與對(duì)殘差觀測(cè)的[M']有關(guān)。事實(shí)上，我們選取[M'=C=maxc1，c2，...cB]，只能反應(yīng)殘差矩陣中最不稀疏的一行或一列的稀疏性，并不能完全反映整體情況，因此在以后的仿真中，可以將其調(diào)整為[M'=C=Ε（c）]等。

4 結(jié)論

將壓縮感知應(yīng)用在監(jiān)控視頻處理和管理中，可以極大的利用觀測(cè)序列維度[M]這一參數(shù)，通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整的方式，靈活的改變壓縮率，滿足一段時(shí)間內(nèi)或者特定條件下的監(jiān)控視頻傳輸和存儲(chǔ)的需求。通過(guò)仿真表明，采用優(yōu)化觀測(cè)的貝葉斯壓縮感知，對(duì)監(jiān)控幀圖像區(qū)分基準(zhǔn)幀和非基準(zhǔn)幀，采用不同思路的壓縮感知，可以更大地發(fā)揮出壓縮率靈活改變的優(yōu)勢(shì)。但本文在研究中，對(duì)非基準(zhǔn)幀的觀測(cè)序列維數(shù)取值只考慮了依據(jù)稀疏性最差的行或者列，并不能反映整體的稀疏情況。因此，壓縮率仍有進(jìn)一步減小的研究空間，值得以后進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] Donoho D L.Compressed Sensing[J].IEEE Trans.On Information Theory，2006，52（4）： 1289-1306.

[2] E.Candes，Compressive Sampling[C].Proceedings of the International Congress of Mathematicians， Madrid， Spain， 2006（3）：1433-1452.

[3] 楊真真.壓縮感知重構(gòu)技術(shù)及其在圖像融合中的應(yīng)用研究[D].南京郵電大學(xué)，2014.

[4] Zhang J，Zhao D，Zhao C，et al.Compressed sensing recovery via collaborative sparsity[C]. Proc of Data Compression Conference，2012：287-296.

[5] 王臣昊，楊震，肖小潮.基于優(yōu)化貝葉斯壓縮感知算法的頻譜檢測(cè)[J].信號(hào)處理，2012，28（5）：750-756.

[6] Shihao Ji，Ya Xue，Carin L.，Bayesian Compressive Sensing[J].IEEE Trans. on Signal Processing， 2008， 56（6）：2346-2356.

[7] E. Candes，Romberg J.Tao T. Robust uncertainty principles：Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Trans. on Information Theory，2006，52（2）：489-509.

[8] E Candes.The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J]. Academie des sciences， 2006， 346（I）： 592- 598.

[9] Baraniuk R.Compressive sensing [J].IEEE Signal Processing Magazine， 2007， 24（4）： 118-121.

[10] A. Papoulis， S. U. Pillai， Probability， Random Variables and Stochastic Processes[M]， 4th ed. McGraw-Hill， 2002.

[11] M.E.Tipping， Sparse Bayesian Learning and The Relevance Vector Machine[J].Journal of Machine Learning Research， 2001（1）：211-244.

[12] Chen S B， Donoho D L， Saunders M A. Atomic Decomposition by Basis Pursuit [J]. SIAM Journal on Scientific Computing， 1998， 20（1）：33-61.

[13] 岑翼剛，陳曉方，岑麗輝，陳世明.基于基于單層小波變換的壓縮感知圖像處理[J].通信學(xué)報(bào)，2010，8（31）：52-55.