基于高斯核支持向量機(jī)和遺傳算法的優(yōu)化組合研究

馬靜++李星野++徐榮

摘要選用2008～2015共8年數(shù)據(jù)，首先基于高斯核的支持向量機(jī)在滬市A股上構(gòu)建周期性的投資組合，并通過(guò)誤差圖和評(píng)價(jià)指標(biāo)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較，結(jié)果表明了支持向量機(jī)在股票預(yù)測(cè)上更具有優(yōu)勢(shì).再將改進(jìn)遺傳算法運(yùn)用于上證股票市場(chǎng)構(gòu)建最優(yōu)投資組合，以上證指數(shù)作為基準(zhǔn)進(jìn)行比較，得出混合遺傳算法優(yōu)化組合的模型相比單一模型更為有效.

關(guān)鍵詞機(jī)器學(xué)習(xí)；高斯核支持向量機(jī)；遺傳算法；投資組合

中圖分類號(hào)F064.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

1引言

機(jī)器學(xué)習(xí)研究計(jì)算機(jī)怎樣模擬或?qū)崿F(xiàn)人類的學(xué)習(xí)行為，以獲得新的知識(shí)或技能，重新組織已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)使之不斷改善自身的性能.機(jī)器學(xué)習(xí)在實(shí)際分類問(wèn)題中廣泛應(yīng)用與眾多領(lǐng)域，如通信技術(shù)[1]，網(wǎng)絡(luò)流量分析[2]，醫(yī)學(xué)成像[3]，時(shí)間序列分析[4]等.相比于ARMA或者ARCH這些傳統(tǒng)的技術(shù)和定量分析方法模型，機(jī)器學(xué)習(xí)從大量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)隱含的模式，構(gòu)建更為復(fù)雜的模型來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)更能體現(xiàn)模型的優(yōu)越性與實(shí)用性.研究表明，采用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法對(duì)金融市場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，將特征屬性作為輸入來(lái)發(fā)現(xiàn)其與隱藏模式之間的聯(lián)系，能夠預(yù)測(cè)未來(lái)價(jià)格趨勢(shì)或預(yù)測(cè)趨勢(shì)信心的百分比.尤其在證券交易中，運(yùn)用支持向量機(jī)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等混合模型進(jìn)行學(xué)習(xí)能夠得到更為有前景的結(jié)果[5].

目前，金融預(yù)測(cè)是機(jī)器學(xué)習(xí)在資本市場(chǎng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行挖掘的最重要的應(yīng)用，機(jī)器學(xué)習(xí)的技術(shù)包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，支持向量機(jī)，遺傳計(jì)算等.已經(jīng)有很多學(xué)者在這方面進(jìn)行了研究，盧和吳[6]采用了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)標(biāo)普500指數(shù)的未來(lái)走勢(shì)方向進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并且將結(jié)果與傳統(tǒng)的ARIMA模型進(jìn)行比較，結(jié)果表明人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)越性.McDonald， Coleman等[7]調(diào)查了一些機(jī)器學(xué)習(xí)的方法并將其組合進(jìn)行研究，結(jié)果表明混合模型，包括線性和非線性的算法能夠在金融序列的未來(lái)發(fā)展方向上表現(xiàn)出更多的價(jià)值. Chen和Shih[8] 采用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與SVM對(duì)6個(gè)亞洲指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，獲得SVM相比于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更高的準(zhǔn)確度.Tay和Cao[9]證明了5種金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)可以用支持向量機(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并指出其效果優(yōu)于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).Chang[10]應(yīng)用遺傳算法（GA）、禁忌算法（TS）和模擬退火算法（SA）求解復(fù)雜約束下的投資組合問(wèn)題，并通過(guò)實(shí)證得出用遺傳算法和模擬退火求解投資組合問(wèn)題，明顯優(yōu)于禁忌算法.

對(duì)于投資者如何從數(shù)千中資產(chǎn)中選擇構(gòu)建投資組合的方法，也有很多學(xué)者進(jìn)行研究.Markowitz提出了“均值-方差（MV）”模型為投資者構(gòu)建投資組合提供了理論基礎(chǔ).許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上對(duì)投資組合理論進(jìn)行了延伸[11-15].Jagannathan等[16]在M-V模型中簡(jiǎn)化各資產(chǎn)的權(quán)重限制為非負(fù)，即不允許組合中出現(xiàn)賣空資產(chǎn)，指出此限制可以減小最優(yōu)資產(chǎn)組合估計(jì)的誤差，且在此限制條件下，通過(guò)樣本協(xié)方差陣估計(jì)和因子模型估計(jì)及收縮估計(jì)得到的最優(yōu)組合表現(xiàn)結(jié)果一直.Van der Hart等[17]通過(guò)分析32個(gè)新興市場(chǎng)在1985～1999年間的市盈率、市值、價(jià)格等數(shù)據(jù)信息，發(fā)現(xiàn)相對(duì)于交易量，流動(dòng)性和均值回復(fù)，基于價(jià)值，動(dòng)量與盈利預(yù)測(cè)調(diào)整的策略具有更顯著的超額收益.Fan等[18]運(yùn)用支持向量機(jī)發(fā)掘公司財(cái)務(wù)和股價(jià)信息來(lái)選擇資產(chǎn).Rachev等[19]在Rewardrisk準(zhǔn)則下用動(dòng)量策略來(lái)選股.

縱觀國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究，學(xué)者在研究機(jī)器學(xué)習(xí)在資本市場(chǎng)的應(yīng)用更多考慮模型方法的有效性與準(zhǔn)確性，本文在前人的基礎(chǔ)上運(yùn)用支持向量機(jī)模型對(duì)股票進(jìn)行分類預(yù)測(cè)，構(gòu)建周期性的投資組合模型，進(jìn)而在MV模型基礎(chǔ)上采用改進(jìn)遺傳算法求解具有投資限制的最優(yōu)資產(chǎn)組合.這樣做的好處是：第一，循環(huán)周期訓(xùn)練模型，能夠不斷根據(jù)最新數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整模型，在一定程度上適應(yīng)了數(shù)據(jù)更新的需求，也消除過(guò)度使用歷史數(shù)據(jù)的影響；第二，將數(shù)據(jù)輸入改進(jìn)的模型中可以得到更優(yōu)的資產(chǎn)組合與權(quán)重分配，具有很強(qiáng)的使用價(jià)值；第三，改進(jìn)的遺傳算法能使資產(chǎn)組合具有良好的風(fēng)險(xiǎn)收益特征.通過(guò)研究，表明基于支持向量機(jī)和遺傳算法在解決資產(chǎn)方向預(yù)測(cè)和優(yōu)化資產(chǎn)組合問(wèn)題上都有效可行，相信通過(guò)改進(jìn)和完善會(huì)有更好的應(yīng)用前景.

2模型理論

2.1支持向量機(jī)

支持向量機(jī)（SVM）是由Vapnik等提出來(lái)的，它是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化理論的機(jī)器學(xué)習(xí)理論.SVM是用于數(shù)據(jù)分類的一種監(jiān)督學(xué)習(xí)算法[20] .

假設(shè)訓(xùn)練樣本集{（x1，y1），…，（xn，yn）}，xi，yi∈R則SVM回歸模型的線性回歸函數(shù)方程是：

f（x）=w·x+b. （1）

為保證線性方程的平坦，需尋找一個(gè)最小的w，因此采用最小化歐幾里得空間的范數(shù).假設(shè)所有的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可以在精度ε下用線性函數(shù)擬合，那么尋找最小w的問(wèn)題可以表示為一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題：

本文采用高斯核函數(shù)，如公式（7）所示.其適用于低維、高維、小樣本、大樣本等多種情況，具有較寬的收斂域，是較為理想的分類依據(jù)，將樣本在經(jīng)過(guò)映射后的特征空間中線性分開的能力及效果更好，再加上還具有較好的差值能力，能夠很好的提取樣本的局部性質(zhì).在確定參數(shù)時(shí)，一般選取誤差差懲罰因子c，取值范圍一般為（0，100]，用于調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)置信范圍和經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的比例，以增強(qiáng)其推廣能力.本文采用網(wǎng)格搜索法對(duì)最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行搜素，最優(yōu)懲罰參數(shù)c為0.5，最優(yōu)核函數(shù)參數(shù)g為1.41.最佳的n能夠使得模型學(xué)習(xí)有較高的預(yù)測(cè)和分類精度，有重大意義.

2.2改進(jìn)的遺傳算法

遺傳算法（GA）是由美國(guó)密歇根大學(xué)的John Holland教授與1975年首先提出的一類仿生型優(yōu)化算法[21]，是近年來(lái)產(chǎn)生和發(fā)展的一種模擬生物進(jìn)化過(guò)程的自適應(yīng)啟發(fā)式全局優(yōu)化的搜索算法.通過(guò)對(duì)將要解決的問(wèn)題模擬成一個(gè)生物進(jìn)化的過(guò)程，通過(guò)復(fù)制、交叉、突變等操作產(chǎn)生下一代的解，并逐步淘汰適應(yīng)度函數(shù)值低的解，增加適應(yīng)度函數(shù)高的解，進(jìn)而優(yōu)化出適應(yīng)度函數(shù)值很高的個(gè)體.

遺傳算法的具體算法如下：

1）編碼

采用整數(shù)編碼，每個(gè)染色體含n個(gè)基因位（代表n只股票），基因的數(shù)值代表該股票在投資組合中的資金分配.

2）適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度函數(shù)為eU，e是自然對(duì)數(shù)，U是目標(biāo)函數(shù)式.由于Markowitz的投資組合模型是一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題，本文考慮我國(guó)股市實(shí)際交易中不能賣空，需要交易費(fèi)用，需要有最小交易量（100股）的情況，采用改進(jìn)的投資組合作為適應(yīng)度函數(shù).具體公式為：

3實(shí)證研究

3.1數(shù)據(jù)準(zhǔn)備與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

本文選取上證A股股票作為測(cè)試數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)區(qū)間在2008.01.02～2015.12.31，剔除無(wú)效數(shù)據(jù).用當(dāng)天的開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、成交量和成交金額作為自變量特征，預(yù)測(cè)后一天的發(fā)展趨勢(shì).本文實(shí)證研究部分所有數(shù)據(jù)源于Wind資訊金融終端.具體輸入屬性包括簡(jiǎn)單移動(dòng)平均（SMA），指數(shù)移動(dòng)平均（EMA），威廉指標(biāo)（WR），成交量變異率（VR），相對(duì)強(qiáng)弱指標(biāo)（RSI），平均真實(shí)波幅（ATR），真實(shí)強(qiáng)弱指標(biāo)（TSI）.

在訓(xùn)練數(shù)據(jù)之前，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，刪除指標(biāo)缺失超過(guò)一半的數(shù)據(jù)，少于一般用該指標(biāo)該段時(shí)間的均值代替.對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，本測(cè)試采用MATLAB自帶的和歸一化函數(shù)mapminmax，將所有數(shù)據(jù)歸一化到[-1，1].

本文選擇數(shù)據(jù)反歸一化之前的均方根的評(píng)價(jià)誤差作為訓(xùn)練集的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).為了和Libsvm工具箱中評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)保持一致，選擇均方誤差和相關(guān)系數(shù)作為測(cè)試集的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).均方誤差越小越好，相關(guān)系數(shù)則越大越好.預(yù)測(cè)性能還可以通過(guò)以下統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來(lái)衡量：正則均方誤差和平均絕對(duì)誤差[9].它們是真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間的偏差度量，其值越小表示預(yù)測(cè)性能越好.

3.2基于支持向量機(jī)的投資組合構(gòu)建

3.2.1組合構(gòu)建

由于Barbosa [22]指出訓(xùn)練分類器不必要在意較低的準(zhǔn)確度，若能夠使得根據(jù)預(yù)測(cè)或得正的交易，則在長(zhǎng)期情況下，交易收益完全能夠克服交易損失.從實(shí)際角度來(lái)考慮，這由于在現(xiàn)實(shí)生活交易中個(gè)人不可能贏得所有交易，只有不斷提高交易盈利交易才可以繼續(xù)進(jìn)行，也能獲得一個(gè)更高的累計(jì)收益.同時(shí)如果訓(xùn)練集過(guò)長(zhǎng)，包含了太多的歷史數(shù)據(jù)，不進(jìn)行及時(shí)更新，將會(huì)增加模型的不穩(wěn)定和波動(dòng)性.因此，仍需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行及時(shí)的更新訓(xùn)練以保證模型的狀態(tài)新鮮.

由上述，本文設(shè)定訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1年，更新數(shù)據(jù)在增加最新數(shù)據(jù)的同時(shí)刪減前面歷史數(shù)據(jù)，以保證數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的一致性.持有期和滾動(dòng)周期均為15個(gè)交易日，即每隔15個(gè)交易日結(jié)束上一周期股票池的持有，并將上一周期的數(shù)據(jù)加入訓(xùn)練模型重新進(jìn)行訓(xùn)練，構(gòu)建新的模型指導(dǎo)下一周期的組合構(gòu)建.投資組合選定為50只.

為便于直觀對(duì)比出本節(jié)模型的優(yōu)越性，采用支持向量機(jī)與神經(jīng)網(wǎng)路算法比較.BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPNN）是一種多層前饋網(wǎng)絡(luò)模型，由于具有高度的非線性映射能力，是目前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究與應(yīng)用中最基本的網(wǎng)絡(luò)模型之一.廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）是徑向基網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)分支，其結(jié)構(gòu)與徑向基網(wǎng)絡(luò)接近，非常適合函數(shù)逼近[23].因此BPNN和GRNN夠被選作為SVM的參照對(duì)象，BPNN和GRNN的輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)均為10，輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)為1，鑒于多隱含層除了增加計(jì)算量和復(fù)雜度外，預(yù)測(cè)性并沒(méi)有明顯得到提升，所以BPNN和GRNN均選用單隱含層，該層節(jié)點(diǎn)數(shù)和輸入點(diǎn)數(shù)相同.徑向基選用高斯函數(shù).

本文通過(guò)正則均方誤差（NMSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）和SVM自帶的均方誤差（MSE）、相關(guān)系數(shù)（R2）來(lái)衡量預(yù)測(cè)效果.表2顯示了SVM和BPNN，GRNN的訓(xùn)練集，測(cè)試集的性能評(píng)價(jià)結(jié)果.

由圖1更能直觀顯示出SVM模型的優(yōu)越性，相對(duì)于GRNN，BRNN，SVM的誤差能夠控制在更小的范圍內(nèi).基于以上分析與驗(yàn)證得到SVM，BP，GRNN三者的性能優(yōu)劣程度.本文采用SVM進(jìn)行預(yù)測(cè)構(gòu)建投資組合，訓(xùn)練集特征為滬市2008一年的股票開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、成交量、對(duì)沖后收益（本文采用上證指數(shù)對(duì)沖）以及上述7個(gè)特征屬性共13個(gè)，對(duì)后一天的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，一次測(cè)試15天，根據(jù)排名選取靠前的50只股票作為投資組合買入，本文設(shè)定依據(jù)股票市場(chǎng)規(guī)則不能做空.此后每一周期訓(xùn)練一次，滾動(dòng)進(jìn)行2009～2015年的交易，得到對(duì)沖后收益最優(yōu)的股票.收益見(jiàn)圖2.

圖2顯示了基于SVM預(yù)測(cè)滾動(dòng)選取投資組合獲得的收益與上證指數(shù)的漲幅對(duì)比圖，可以看到在滬市上選取的股票，雖然在某些時(shí)點(diǎn)上產(chǎn)生震蕩，收益率有所下浮，但總體都是能夠獲得較大盈利的，7年的年化收益率達(dá)到了9%左右.

3.3基于改進(jìn)遺傳算法的優(yōu)化組合

證券投資組合的關(guān)鍵是投資者的偏好，對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)加以權(quán)衡，確定各種證券在組合中的比例，從而得到較好的投資組合.本文研究符合我國(guó)現(xiàn)實(shí)投資環(huán)境的投資組合模型，首先建立具有賣空限制、交易費(fèi)用限制和最小交易單位限制的投資組合模型，具體見(jiàn)公式（10）；其次，由于模型已經(jīng)是一個(gè)非線性正數(shù)規(guī)劃，本文設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)遺傳算法用于求解該問(wèn)題，具體見(jiàn)公式（13）和（15）.實(shí)證說(shuō)明所采用的算法是有效的.

交易費(fèi)用包括傭金、稅金和過(guò)戶費(fèi).相關(guān)參數(shù)為選擇的股票個(gè)數(shù)為50，進(jìn)化代數(shù)為3 000，計(jì)算結(jié)果即持有單位數(shù)見(jiàn)表3所示.

顯示了基于SVM預(yù)測(cè)滾動(dòng)選取投資組合獲得的收益及GA優(yōu)化投資組合收益與上證指數(shù)的漲幅對(duì)比圖，可以看到在滬市上選取的股票，雖然在某些時(shí)點(diǎn)上產(chǎn)生震蕩，收益率會(huì)下浮，但采用GA算法總體都能對(duì)投資組合起到優(yōu)化作用，使組合收益更大，7年的年化收益率達(dá)到了15%左右，在實(shí)踐中也具有重要意義和理論推廣.

資產(chǎn)選擇與最優(yōu)組合權(quán)重的設(shè)置是構(gòu)建投資組合的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).由圖2和圖3可以看出采用混合遺傳算法的優(yōu)化組合，其收益率相比單一使用支持向量機(jī)的表現(xiàn)更好.在短期也許交易差別并不大，但長(zhǎng)期看來(lái)，由于模型的不斷優(yōu)化混合模型會(huì)表現(xiàn)出更大的優(yōu)勢(shì).

4結(jié)論

支持向量機(jī)理論作為一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的新的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，較好的解決了維數(shù)災(zāi)難和過(guò)學(xué)習(xí)的問(wèn)題.支持向量機(jī)因其廣泛的適應(yīng)能力和學(xué)習(xí)能力在非線性系統(tǒng)預(yù)測(cè)方面有著廣泛的應(yīng)用前景.股票市場(chǎng)又是一個(gè)極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有高噪聲、非線性等特性.隨著近年來(lái)計(jì)算機(jī)技術(shù)和機(jī)器學(xué)習(xí)的迅猛發(fā)展，使得對(duì)股票市場(chǎng)的構(gòu)建與預(yù)測(cè)產(chǎn)生了新的思路與解決途徑.本文闡述了基于高斯核的支持向量機(jī)（SVM），根據(jù)股票市場(chǎng)和股票指數(shù)的特點(diǎn)，將支持向量機(jī)從原來(lái)只處理分類問(wèn)題擴(kuò)展到回歸部分，同時(shí)盡可能最優(yōu)的預(yù)測(cè)非線性且噪聲較多的序列.再采用支持向量機(jī)和遺傳算法進(jìn)行預(yù)測(cè)，并構(gòu)建投資組合，期望獲得更高收益及更低風(fēng)險(xiǎn)，取得了令人滿意的結(jié)果.

支持向量機(jī)（SVM）算法之所以性能優(yōu)異，是因?yàn)槠渌惴ㄊ墙⒃诮Y(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化和線性二次規(guī)劃理論之上的，具有泛化能力強(qiáng)、全局最優(yōu)等優(yōu)點(diǎn).而遺傳算法（GA）通過(guò)模仿自然界的選擇和遺傳的機(jī)理來(lái)尋找最優(yōu)解，突破了一般容易陷入局部極小出現(xiàn)“死循環(huán)”現(xiàn)在的迭代方法，實(shí)現(xiàn)了全局最優(yōu)，且具有快速搜索、更高擴(kuò)展性，易與其他方法結(jié)合等優(yōu)點(diǎn).

不過(guò)在參數(shù)，核函數(shù)，訓(xùn)練集，周期等的選取方面可能會(huì)因其變動(dòng)而產(chǎn)生較大的差異，未來(lái)可以繼續(xù)再這一方面進(jìn)行優(yōu)化.基于短周期和長(zhǎng)周期的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)不同的情況，還可以將周期繼續(xù)細(xì)分.鑒于核函數(shù)對(duì)SVM性能的決定性影響，未來(lái)的工作將致力于構(gòu)造SVM的新型核函數(shù)，以更好的捕獲股票的序列的非線性特征，從而進(jìn)一步其預(yù)測(cè)性能.

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