導(dǎo)數(shù)幾種問(wèn)題的分析

王炫凱

摘要：導(dǎo)數(shù)因其在函數(shù)研究方面的獨(dú)特作用，尤其在求函數(shù)的最值、極值、單調(diào)性等方面，非常方便、簡(jiǎn)潔。同時(shí)，為解決函數(shù)問(wèn)題提供了新的解題工具，拓寬了解題方法。以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及單調(diào)性中的應(yīng)用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 函數(shù) 拉格朗日乘數(shù)法

導(dǎo)數(shù)是微積分的基本知識(shí)，也是近年新課改后新增的內(nèi)容。導(dǎo)數(shù)是具有研究功能和解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。導(dǎo)數(shù)可以從不同的角度衍生知識(shí)，靈活考察知識(shí)的綜合運(yùn)用和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。導(dǎo)數(shù)與不等式、數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)的交集命題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決綜合能力問(wèn)題已成為今后命題的趨勢(shì)和特點(diǎn)。本文以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及單調(diào)性中的應(yīng)用與拉格朗日乘數(shù)法為例，通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

一、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用

函數(shù)中的最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)核心問(wèn)題，也是一個(gè)判斷學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)劣的分界點(diǎn)。在高中課本引入導(dǎo)數(shù)以前，存在許多種求函數(shù)最值的方法，但是引入導(dǎo)數(shù)后，許多求最值類型的題目不僅多了一種解題的思路與方法，更是一種解決問(wèn)題的簡(jiǎn)便方法。

問(wèn)題分析：（1）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn).所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值。（3）對(duì)于任意給定求函數(shù)極值的題目，首先先求出其定義域，再根據(jù)定義域進(jìn)行下一步計(jì)算。

二、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的增減性，在函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為增減分界點(diǎn)，一階導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)在有效區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；反之，一階導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。利用函數(shù)的單調(diào)性可以很明了的繪畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，對(duì)函數(shù)的增減性有很強(qiáng)的直觀性，能夠很簡(jiǎn)便的求出函數(shù)的單調(diào)性。下面列舉以下題目進(jìn)行解答以說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在求增減性中的作用。對(duì)于這種超越函數(shù)求單調(diào)性一般比較復(fù)雜，尤其在引入?yún)?shù)后會(huì)使問(wèn)題變得極其復(fù)雜。

三、拉格朗日乘數(shù)法

四、總結(jié)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還有許多，如導(dǎo)數(shù)在根式曲線、對(duì)數(shù)曲線、分式曲線、指數(shù)曲線、圓錐曲線、三角曲線的應(yīng)用。由于篇幅限制，關(guān)于導(dǎo)數(shù)這些方面的應(yīng)用就不再贅述，但是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用所要用到的基本的思路與原理都是大同小異的。

本文著重討論了在求函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性以及拉格朗日乘數(shù)法中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍何其之廣，本文提到的只是鳳毛翎角，例如在解析幾何與立體幾何中以及在向量中，都具有重要的應(yīng)用?？傊m然新課標(biāo)的課程大綱將導(dǎo)數(shù)移至高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，增加了高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但導(dǎo)數(shù)作為大學(xué)課程《高等數(shù)學(xué)》中微積分的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及其本身具有的實(shí)際應(yīng)用性，能夠非常好地解決一些例如極值問(wèn)題、最值問(wèn)題；在單調(diào)性問(wèn)題、不等式證明等問(wèn)題中具有突出的實(shí)際運(yùn)用性，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)很好的學(xué)習(xí)工具。與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)是在各類考試中重點(diǎn)考察的內(nèi)容，占非常大的分?jǐn)?shù)比例，一般試卷壓軸題出導(dǎo)數(shù)的題目概率及其之高。因此，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)過(guò)程中要注意理解導(dǎo)數(shù)的一些常規(guī)運(yùn)用并且理解導(dǎo)數(shù)的意義，在基礎(chǔ)問(wèn)題方面勤加練習(xí)，做到舉一反三，同時(shí)熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，才能在考試中發(fā)揮出理想的實(shí)力。

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