關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決的若干思考

王剛強(qiáng)++王剛強(qiáng)

在新課程改革下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究探索實(shí)踐活動在各個學(xué)校中開展。前幾年在我任教的兩個教學(xué)班開始采用我市教育學(xué)院數(shù)學(xué)科《問題教學(xué)》課題小組的材料進(jìn)行“問題教學(xué)”的教學(xué)研究。下面談?wù)勎业膸c(diǎn)認(rèn)識：

一、問題解決對中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革重要性的認(rèn)識

問題解決已引起國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育界的廣泛重視，究其原因，我認(rèn)為主要有以下幾方面：

（一）時代和社會需要的反映。在國際競爭日益激烈的今天，人們越來越清楚認(rèn)識到，對科學(xué)技術(shù)知識的學(xué)習(xí)、掌握及創(chuàng)造性和實(shí)際應(yīng)用能力重要性。但創(chuàng)造能力并非與生俱有，必須通過有意識的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練才能形成。學(xué)校教育必須重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)行創(chuàng)造性工作的能力，問題解決正反映了這種社會需要。

（二）我國數(shù)學(xué)教育的成功和不足。我國的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與國際上其他一些國家的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)比較，具有重視基礎(chǔ)知識教學(xué)，基本技能訓(xùn)練，數(shù)學(xué)計算、推理和空間想象能力的培養(yǎng)等顯著特點(diǎn)。然而，改革開放也使我國數(shù)學(xué)教育界看到了我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些不足。其中比較突出的兩個問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱。雖然我國數(shù)學(xué)教育界采取了一些相應(yīng)措施。

（三）數(shù)學(xué)觀的發(fā)展提出的新課題。對于數(shù)學(xué)是什么，恩格斯的定義：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。恩格斯對數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)是相對靜止的，它主要指出了數(shù)學(xué)的客觀真理性。然而，當(dāng)今的社會實(shí)踐告訴人們還應(yīng)該用動態(tài)的觀點(diǎn)去認(rèn)識數(shù)學(xué)。

二、應(yīng)該指出“問題教學(xué)”是指問題解決的教學(xué)活動，而什么是問題解決？

什么是問題解決？有的人認(rèn)為，問題解決指的是人們在日常生活和社會實(shí)踐中，面臨新情景、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒有現(xiàn)成對策時，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動。英國學(xué)校數(shù)學(xué)教育調(diào)查委員會的報告則認(rèn)為：把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各種情形的能力就是問題解決。全美數(shù)學(xué)教師理事會對問題解決的意義作了如下說明：第一，問題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，包括為現(xiàn)時和將來出現(xiàn)的科學(xué)理論與實(shí)際服務(wù)，也包括解決拓廣數(shù)學(xué)科學(xué)本身前沿的問題；第二，問題解決從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)造性的活動；第三，問題解決能力的發(fā)展，其基礎(chǔ)是虛心、好奇和探索的態(tài)度，是進(jìn)行試驗(yàn)和猜測的意向；等等。

三、怎樣在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)“問題解決”的思想？

人民教育出版社出版的義務(wù)教育在新版初中數(shù)學(xué)教材中設(shè)立了實(shí)習(xí)作業(yè)、應(yīng)用題、想一想、做一做等，這和問題解決思想是一致的。在《目標(biāo)--問題集》中還未能充分體現(xiàn)問題解決思想，在問題的設(shè)置上流于形式在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)體現(xiàn)問題解決的思想精髓，這就是它所強(qiáng)調(diào)的創(chuàng)造能力和應(yīng)用意識。因此我們在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：

（一）多鼓勵學(xué)生去探索、猜想、發(fā)現(xiàn)

要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，首先是要讓學(xué)生具有積極探索的態(tài)度，猜想、發(fā)現(xiàn)的欲望。教師要設(shè)法鼓勵學(xué)生去探索、猜想和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，經(jīng)常地啟發(fā)學(xué)生去思考，提出問題。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程本身就是一個問題解決的過程。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)一門新的課程、一章新的知識、乃至一個新的定理和公式時，對學(xué)生來說，就是面臨一個新問題。教師（材料）經(jīng)常提一些啟發(fā)性的問題，就會讓學(xué)生逐步養(yǎng)成求知、好問的習(xí)慣和獨(dú)立思考、勇于探索的精神。在實(shí)際教學(xué)中，有時候可以先教給學(xué)生完整的猜想過程，有時候則可較多地啟發(fā)、誘導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生。不必在任何時候都讓學(xué)生親自去猜想、發(fā)現(xiàn)，那樣要花費(fèi)太多的教學(xué)時間，降低教學(xué)效率。此外，在探索、猜想、發(fā)現(xiàn)的方向上，要把好“舵”。

（二）打好基礎(chǔ)是先決條件

這里的基礎(chǔ)有兩重含義：首先，中學(xué)教育是基礎(chǔ)教育，許多知識在學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)中將得到應(yīng)用，為學(xué)生進(jìn)一步深造打好基礎(chǔ)，因而不能要求所學(xué)的知識都能立即在實(shí)際中得到應(yīng)用。其次，要解決任何一個問題，必須有相關(guān)的知識和基本的技能。當(dāng)人們面臨新情景、新問題，試圖去解決它時，必須把它與已有知識聯(lián)系起來，當(dāng)發(fā)現(xiàn)已有知識不足以解決面臨的新問題時，就必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)的知識，掌握相關(guān)的技能。應(yīng)看到，知識和技能是培養(yǎng)問題解決能力的必要條件。在提倡問題解決的時候，反而要更加重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)和基本技能的培養(yǎng)。教給學(xué)生哪些最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，這是解決問題的關(guān)鍵。

（三）重視數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)

用數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。教學(xué)必須重視從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題，把與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的的常識如把銀行的利率、投資、稅務(wù)測量等方面的問題與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相結(jié)合。例如在“角平分線”的教學(xué)中的例1就是將角平分線的性質(zhì)定理應(yīng)用到解決實(shí)際問題中，作業(yè)中也讓學(xué)生體會解決實(shí)際問題的重要性和趣味性。此外，理論聯(lián)系實(shí)際的目的是為了使學(xué)生更好地掌握基礎(chǔ)知識，能初步運(yùn)用數(shù)學(xué)解決一些簡單的實(shí)際問題，不宜把實(shí)際問題搞得過于繁雜，以致耗費(fèi)太多的學(xué)習(xí)時間。當(dāng)然，并不是所有的數(shù)學(xué)課題都要從實(shí)際引入，數(shù)學(xué)體系有其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和規(guī)律，許多數(shù)學(xué)概念是從前面的概念中通過演繹而得，又返回到數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。

（四）教學(xué)應(yīng)以一般過程和方法為主

在一些典型的數(shù)學(xué)問題教學(xué)中，應(yīng)注意傳授學(xué)生比較完整的解決實(shí)際問題的過程和常用方法，對于一些技巧性的問題和繁雜的證明不應(yīng)該過多強(qiáng)調(diào)，以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

（五）創(chuàng)設(shè)問題情景

一個好問題應(yīng)該有如下的某些特征：

（1）有意義或?qū)嶋H意義，或?qū)W(xué)習(xí)、理解、掌握、應(yīng)用前后數(shù)學(xué)知識有很好的作用；

（2）有趣味，有挑戰(zhàn)性，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，吸引學(xué)生；

（3）易于理解，問題是簡明的，問題情景是學(xué)生熟悉的；

（4）適當(dāng)?shù)臅r機(jī)；

（5）難度的適當(dāng)。

（六）對現(xiàn)有習(xí)題形式的改革

《目標(biāo)--問題集》中仍然沿用課本的習(xí)題和大量傳統(tǒng)練習(xí)，這也有背于“問題教學(xué)”的宗旨。我認(rèn)為應(yīng)對現(xiàn)有習(xí)題形式作些改革，配備一些非常規(guī)題、開放性題和合作討論題。適當(dāng)補(bǔ)充一些實(shí)際應(yīng)用問題，使問題更有趣味性和挑戰(zhàn)性。 （1）實(shí)際應(yīng)用問題的編制要能反映實(shí)際情景，具有時代感，同時考慮到教學(xué)實(shí)際需要。 （2）非常規(guī)題應(yīng)與常見的練習(xí)題不同。它不能通過簡單模仿加以解決，需要獨(dú)特的思維方法。解非常規(guī)題能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。 （3）開放性問題是相對于“條件完備、結(jié)論確定”的封閉性練習(xí)題而言的。開放性問題中提供的條件可能不完備，從而結(jié)論常常是豐富多彩的，在思維深度和廣度上因人而異具有較大的彈性。對于這類問題，要注意開放空間的廣度，把問題的討論限制在一定的范圍內(nèi)。 （4）合作討論題是相對于獨(dú)立解決題而言的。有些題所涉及的情況較多，需要分類討論，解答有較多的層次性，需要小組甚至全班同學(xué)共同合作完成，以便更好地利用時間和空間。這種題可以適當(dāng)編入課堂練習(xí)，使學(xué)生互相啟發(fā)、互相學(xué)習(xí)、激發(fā)靈感。