“微元思想”在動(dòng)量定理解題中的應(yīng)用

馬秀江

在2014年新課標(biāo)卷物理考綱中增加的內(nèi)容：選修模塊3-5，在主題“碰撞與動(dòng)量守恒”下增加“動(dòng)量定理”并作Ⅱ級(jí)要求.這就要求教師在備考過(guò)程中體現(xiàn)出考綱的變化.尤其是“微元思想”在動(dòng)量定理解題中的應(yīng)用，要想解好此類(lèi)題從以下三個(gè)方面作起.

一、建立一種模型——柱體模型

對(duì)于流體問(wèn)題，可沿流速v的方向選取一段柱形流體，設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面S的流體長(zhǎng)度為Δl，如圖1所示，若流體的密度為ρ

，那么，在這段時(shí)間內(nèi)流過(guò)該截面的流體的質(zhì)量為Δm=ρSΔl=ρSvΔt.圖1

二、掌握一種方法——微元法

當(dāng)所取時(shí)間為Δt足夠短時(shí)，圖1流體柱長(zhǎng)度

Δl甚短，相應(yīng)的質(zhì)量Δm也很小.顯然，選取流體柱的這一微小元段作為研究對(duì)象就稱(chēng)微元法.

三、運(yùn)用一個(gè)規(guī)律——?jiǎng)恿慷ɡ?/p>

求解這類(lèi)問(wèn)題一般運(yùn)用動(dòng)量定理，即流體微元所受的合外力的沖量等于微元?jiǎng)恿康脑隽?，?/p>

F合Δt=Δp.

四、舉例

1.液體流問(wèn)題

例1高壓采煤水槍出口的截面積為S，水的射速為v， 水的密度為ρ，水平射到煤層上后，①若水的速度變?yōu)榱?，求水?duì)煤層的平均沖力大小為多少？②求水對(duì)煤層可能受到的最大平均沖力的大小為多少？

解析①取時(shí)間t內(nèi)的水研究對(duì)象m=ρSvt，以初速度方向?yàn)檎较颍鶕?jù)動(dòng)量定理，有：

-Ft=0-（ρSvt）v

計(jì)算得出：F=ρSv2

因此，本題正確答案是ρSv2.

②取時(shí)間t內(nèi)的水研究對(duì)象m=ρSvt，以初速度方向?yàn)檎较颍鶕?jù)動(dòng)量定理，有：

-Ft=-ρSvtv—（—ρSvtv）

計(jì)算得出： F=2ρSv2

因此，本題正確答案是2ρSv2

點(diǎn)評(píng)所取的的時(shí)間為Δt足夠短，趨近于零時(shí)，液體柱長(zhǎng)度Δl很短，相應(yīng)得質(zhì)量Δm也很小，這種取微元作為研究對(duì)象的方法，稱(chēng)為微元法.在水流中截取很小的一段為研究對(duì)象，等效成兩種模型，一種是水流的速度減速到零，另一種是水流的速度等大反向，相當(dāng)于彈性碰撞，兩種情況下作用時(shí)間都為t，此類(lèi)問(wèn)題迎刃而解.

例2為估算池中睡蓮葉面承受雨滴撞擊產(chǎn)生的平均壓強(qiáng)，小明在雨天將一圓柱形水杯置于露臺(tái)，測(cè)得1小時(shí)內(nèi)杯中水上升了45 mm.查詢(xún)得知，當(dāng)時(shí)雨滴豎直下落速度約為12 m/s.據(jù)此估算該壓強(qiáng)約為（設(shè)雨滴撞擊睡蓮后無(wú)反彈，不計(jì)雨滴重力，雨水的密度為1×103 kg/m3）（）.

A. 0.15PaB. 0.54Pa

C. 1.5PaD. 5.4Pa

解析設(shè)雨滴受到支持面的平均作用力為F.設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)有質(zhì)量為Δm的雨水的速度由v=12 m/s減為零.以向上為正方向，對(duì)這部分雨水應(yīng)用動(dòng)量定理：

FΔt=0-（-Δmv）

得到F=ΔmΔtv.

設(shè)水杯橫截面積為S，對(duì)水杯里的雨水，在Δt時(shí)間內(nèi)水面上升Δh，則有研究對(duì)象Δm=ρ SΔh，

F=ρSvΔhΔt，壓強(qiáng)P=FS=ρVΔhΔt=103×12×45×10-33600=0.15（Pa）

點(diǎn)評(píng)此題關(guān)鍵是選取極小時(shí)間的水柱為研究對(duì)像，因?yàn)闀r(shí)間非常的短，還是估算題，所以重力可以忽略，與2016高考題35處理思想一致，豎直方向應(yīng)用動(dòng)量守恒，忽略了重力.

例3一水龍頭以v1=20 m/s的速率噴出截面積為2×10- 4m2的水柱，水柱垂直沖擊豎直墻壁后，變成無(wú)數(shù)小水滴，被墻面反彈后向四周均勻飛濺，形成一個(gè)頂角為120度的圓錐，如圖2所示，若飛濺水滴的速率為2.0 m/s則，則水柱對(duì)墻壁的沖擊力為多大？水的密度ρ=1×103kg/m3.圖2

解析 在該問(wèn)題中，重力對(duì)水柱的影響可以忽略不計(jì)，設(shè)水龍頭噴水的方向?yàn)檎较?設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)與墻壁發(fā)生碰撞的水柱質(zhì)量為Δm=ρSv1Δt，設(shè)水柱受到墻壁沖擊力為F.由動(dòng)量定理得

-

FΔt=-Δmv2cosα-Δmv1，

F=ρSv1（v2cosα-v1）

帶入數(shù)據(jù)得F=-84 N

水柱對(duì)墻壁的沖擊力F′是F的反作用力，大小也為84N.

點(diǎn)評(píng)動(dòng)量定理公式是矢量式，建立方程時(shí)要注意各矢量的方向，本題中根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，把沖量分解到水平方向和豎直方向，豎直方向分沖量矢量和為零，重力比墻壁反沖擊力小得多，可以忽略不計(jì).

2.微粒流問(wèn)題

例4太空飛船在宇宙飛行時(shí)，和其它天體的萬(wàn)有引力可以忽略，但是，飛船會(huì)定時(shí)遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用.設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的平均質(zhì)量為m，垃圾的運(yùn)行速度可以忽略.飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住.試求飛船引擎所應(yīng)提供的平均推力F.

解析取一段時(shí)間Δt，在這段時(shí)間內(nèi)，飛船要穿過(guò)體積ΔV=S·vΔt的空間，遭遇nΔV顆太空垃圾，使它們獲得動(dòng)量ΔP，其動(dòng)量變化率即是飛船應(yīng)給予那部分垃圾的推力，也即飛船引擎的推力.

F=

ΔPΔt=ΔM·vΔt=m·nSvΔt·vΔt=nmSv2

點(diǎn)評(píng)太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對(duì)飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研究對(duì)象，是本題的前提.建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對(duì)模糊地處理垃圾與飛船的作用過(guò)程、淡化“作用時(shí)間”和所考查的“物理過(guò)程、時(shí)間”的差異.物理過(guò)程需要人為截取，對(duì)象是太空垃圾.

3.氣體流問(wèn)題

例5在水平地面上放置一個(gè)氧氣瓶，設(shè)瓶?jī)?nèi)高壓氧氣的密度為ρ，瓶口甚小，其橫截面積為S.若打開(kāi)閥門(mén)，當(dāng)噴出氧氣的速率為v時(shí)，求地面對(duì)氧氣瓶的靜摩擦力大?。ㄔ诖诉^(guò)程中，瓶?jī)?nèi)氧氣密度的變化忽略不計(jì)，且設(shè)氧氣瓶保持靜止?fàn)顟B(tài)）.解析選取極短時(shí)間Δt內(nèi)噴出的相應(yīng)速率為v的一小段氧氣柱為研究對(duì)象，其微元的質(zhì)量Δm，受到的沖力為F，由動(dòng)量定理有：

FΔt=Δmv，而Δm=ρSvΔt代入得

F=ρSv2

根據(jù)牛頓第三定律，氧氣瓶所受氣體的反作用力與氣體的沖力大小相等，又因氧氣瓶保持靜止，由平衡條件得靜摩擦力大小為f=F=ρSv2.

點(diǎn)評(píng)處理有關(guān)流體（如空氣、高壓燃?xì)獾龋┳矒粑矬w表面產(chǎn)生沖力（或壓強(qiáng)）的問(wèn)題，可以說(shuō)非動(dòng)量定理莫屬.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是選好研究對(duì)象，一般情況下選在極短時(shí)間Δt內(nèi)射到物體表面上的流體為研究對(duì)象

例6某種氣體分束由質(zhì)量m0=5.4×10-26kg，速度v=460 m/s

的分子組成，各分子都向同一方向運(yùn)動(dòng)，垂直地打在某平面上后又以原速率反向彈回，如分子束中每立方米的體積內(nèi)有n0=1.5×1020個(gè)分子，求被分子束撞擊的平面所受到的壓強(qiáng)？

解析時(shí)間t內(nèi)碰撞面積S上的分子數(shù)：N=（vt·S）n0

容器有6個(gè)面，所以每個(gè)器壁碰撞的分子數(shù)為16N，對(duì)于這部分分子，根據(jù)動(dòng)量定理，有：

-Ft=-

16Nm0v-16Nm0v

計(jì)算得出：p=FS=13n0m0v2

答：被分子束撞擊的平面所受到的壓強(qiáng)是13n0m0v2.

點(diǎn)評(píng)由于沖擊作用過(guò)程時(shí)間極短，產(chǎn)生變化很大，研究對(duì)象還是微觀粒子，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不適用，用動(dòng)量定理可以不考慮中間細(xì)節(jié)，只分析整個(gè)過(guò)程中沖量的總體效果，是解決這類(lèi)問(wèn)題的重要方法.

4.電子流問(wèn)題

例7在彩色電視機(jī)的顯像管中，從電子槍射出的電子在加速電壓U作用下被加速，且形成電流為I的平均電流，若打在熒光屏上的高速電子全部被熒光屏吸收.設(shè)電子質(zhì)量為m，電量為e，進(jìn)入加速電場(chǎng)之前的初速不計(jì)，求：

①t秒內(nèi)打在熒光屏上的電子數(shù)？

②顯像管受到電子流的平均沖力多大？

解析①電子流單位時(shí)間流過(guò)某一截面的電量是一定的，故Q=It，n=Qe=Ite.

對(duì)一個(gè)電子而言，有12mv2=eU，

所以加速后電子的速率為

v=2eUm.

②以體積元ΔV 中的 n 個(gè)電子為研究對(duì)象，電子與熒光屏作用前的速度為 v，作用后電子被吸收表明其動(dòng)量為零，由動(dòng)量定理得

F·Δt=n·Δp=n（p-0）

=nmv=Ite·m2eUm.

故顯像管受到的平均沖力為F=I2eUme.

例8已知火箭發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的推力F等于火箭在單位時(shí)間內(nèi)噴出的推進(jìn)劑的質(zhì)量J與推進(jìn)劑速度v的乘積.即F=Jv.質(zhì)子火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴出的推進(jìn)劑是質(zhì)子，這種發(fā)動(dòng)機(jī)通常用于外層空間中產(chǎn)生小的推力來(lái)糾正衛(wèi)星的軌道或姿態(tài).設(shè)質(zhì)子發(fā)動(dòng)機(jī)噴出質(zhì)子流的電流I=1 A，用于加速質(zhì)子的電壓U=5×104V.試求該發(fā)動(dòng)機(jī)的推力F.（已知質(zhì)子的質(zhì)量是1.6×10-27kg，電量為1.6×10-19C）

解設(shè)單位體積內(nèi)的質(zhì)子（電荷）數(shù)為n

質(zhì)子流的橫截面為S

每個(gè)質(zhì)子的質(zhì)量為m0

則質(zhì)子電流強(qiáng)度I=nevS0

單位時(shí)間內(nèi)噴出的質(zhì)子總質(zhì)量J=nvSm0

電場(chǎng)對(duì)質(zhì)子做的功為：W=eU

且由題意可知W=12m0v2-0 v=2eUm0

故F=nvSm0v=nSm0v2=nS×2eU

IJ=em0， J=Im0e

即：F=Jv=Im0e2eUm0=Ie2eUm01=I2Um0e

點(diǎn)評(píng)無(wú)論是電子流、質(zhì)子流還是光子流，都可以把這些等效成常見(jiàn)的水流模型，使形異質(zhì)同的問(wèn)題歸為一類(lèi)應(yīng)用動(dòng)量定理去處理.

例9[2016年全國(guó)（新課標(biāo)卷Ⅰ）]理科綜合題35：某游樂(lè)園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中.為計(jì)算方便起見(jiàn)，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱?，在水平方向朝四周均勻散開(kāi).忽略空氣阻力.已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求：

（?。﹪娙獑挝粫r(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

（ⅱ）玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度.

解析（?。┰谝欢魏芏痰摩

時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為噴泉噴出的水柱保持速度v0不變.

該時(shí)間內(nèi)，噴出水柱高度：Δl=v0·Δt①?lài)姵鏊|(zhì)量：Δm=ρ·ΔV②

其中ΔV為水柱體積，滿足：ΔV=Δl·S③

由①②③可得：

噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為

ΔmΔt=ρ·v0·S

（ⅱ）設(shè)玩具底面相對(duì)于噴口的高度為h

如圖3所示，由玩具受力平衡得：圖3

F沖=Mg④

其中，F(xiàn)沖為玩具底部水體對(duì)其的作用力.

由牛頓第三定律：

F壓=F沖⑤

其中，F(xiàn)壓為玩具對(duì)其底部下面水體的作用力

v′為水體到達(dá)玩具底部時(shí)的速度

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

v′2-v20=-2gh⑥

在很短Δt時(shí)間內(nèi)，沖擊玩具水柱的質(zhì)量為Δm

Δm=ρ·v0·S·Δt⑦

由題意可知，在豎直方向上，對(duì)該部分水柱有

動(dòng)量定理（F壓+Δmg）·Δt=Δm·v′⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略

⑧式變?yōu)?/p>

F壓·Δt=Δm·v′⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得

h=v202g-M2g2ρ2v20S2

點(diǎn)評(píng)動(dòng)量定理，流體受力分析，微元法.情景比較新穎，考查了學(xué)生綜合分析能力.也提醒我們?cè)趥淇歼^(guò)程中不能有押題的想法，對(duì)知識(shí)、方法一定全面復(fù)習(xí).兩三年前考綱的變化可能在某一年的高考中的體現(xiàn)出來(lái).

動(dòng)量定理，應(yīng)用面廣，題型多變，容易出現(xiàn)綜合應(yīng)用的題中，在物理備考中，把實(shí)際情景問(wèn)題構(gòu)成物理模型，他需要我們?nèi)未嬲?，揭示本質(zhì)，做到多題歸一.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建柱體微元模型應(yīng)用動(dòng)量定理分析求解，則曲徑通幽，“柳暗花明又一村”.

（收稿日期：2016-09-16）