初中數(shù)學(xué)幾何線(xiàn)段及線(xiàn)段和、差的最值問(wèn)題探析

李蓉

【摘 要】初三總復(fù)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)很多中考真題卷或模擬卷里經(jīng)常出現(xiàn)求線(xiàn)段最值或線(xiàn)段和差最值等問(wèn)題，而學(xué)生對(duì)這種題型經(jīng)常無(wú)從下手，感覺(jué)特別難。其實(shí)初中階段這種類(lèi)型的問(wèn)題最終基本上都能轉(zhuǎn)化為以下三種類(lèi)型：①利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短求最短路徑或線(xiàn)段的最小值；②利用垂線(xiàn)段最短求解；③利用三角形三邊關(guān)系（三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊）當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最值。

【關(guān)鍵詞】線(xiàn)段最值線(xiàn)段和最??；線(xiàn)段差最大轉(zhuǎn)化定邊

一、一般處理方法

（一）常用定理

（1）兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短（已知兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)）

（2）垂線(xiàn)段最短（已知一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線(xiàn)時(shí)）

（3）三角形三邊關(guān)系（已知兩邊長(zhǎng)固定或其和、差固定時(shí)）

PA+PB最小，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線(xiàn)異側(cè)

|PA-PB|最大，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線(xiàn)同側(cè)

具體例題分析

類(lèi)型一 利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短

1.立體圖形平面展開(kāi)圖求最短路徑

例1.有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離。

試題分析：此題為常規(guī)題型，碰到立體圖形中的最短路徑問(wèn)題把它展開(kāi)成平面圖形再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段求解即可。

解：AB = 4，

BC為底面周長(zhǎng)的一半

即BC = 5π

AC = =

=

答：螞蟻爬行的最短距離為cm。

2.通過(guò)作軸對(duì)稱(chēng)求距離之和的最小值

例2：如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10.在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R.若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（ ）

A.10 B.15 C.20 D.30

試題分析：此題出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)兩條定直線(xiàn)，所以我們是通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)分別關(guān)于這兩條直線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，最終轉(zhuǎn)為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短來(lái)處理。

解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°﹣θ，

作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM.

作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN.

連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，

則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形.

∵OA是PE的垂直平分線(xiàn)，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分線(xiàn)，

∴FR=RP，

∴△PQR的周長(zhǎng)=EF.

∵OE=OF=OP=10，

且∠EOF=∠EOP+∠POF

=2θ+2（30°-θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，∴EF=10，

即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長(zhǎng)為10.

故選A.

3.利用平移求線(xiàn)段和的最小值

例3：荊州護(hù)城河在CC'處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從A處到達(dá)B處，需經(jīng)過(guò)兩座橋DD'、EE'，護(hù)城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與河岸垂直.如何確定兩座橋的位置，可使A到B點(diǎn)路徑最短？

試題分析：由于含有固定線(xiàn)段“橋”，導(dǎo)致不能將ADDEEB通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)直接轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段，需要構(gòu)造平行四邊形將AD、BE平移至DF、EG，即可得到橋所在位置

解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E、D，作DD、EE即為橋

證明：由做法可知，AF∥DD，AF=DD，則四邊形AFDD為平行四邊形

于是AD=FD

同理，BE=GE

由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，GF最小

即當(dāng)橋建于如圖所示位置時(shí)，ADDEEB最短

二、利用垂線(xiàn)段最短求最值

1.通過(guò)轉(zhuǎn)移點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)定點(diǎn)到一條定直線(xiàn)的距離的最小值

例1：如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（ ）

A.3 B. C. D.6

試題分析：此題，兩條線(xiàn)段涉及到三個(gè)點(diǎn)，其中B為定點(diǎn)，另外兩個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，但通過(guò)角平分線(xiàn)這個(gè)條件可以把BM轉(zhuǎn)化成關(guān)于線(xiàn)段AD對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段EM. 從而把兩條線(xiàn)段之和的最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E到直線(xiàn)AB的最短距離。

解：在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，過(guò)E作EN⊥AB于N′，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN最?。ǜ鶕?jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；點(diǎn)到直線(xiàn)垂直距離最短），

∵AD平分∠CAB，AE=AB，

∴EO=OB，AD⊥BE，

∴AD是BE的垂直平分線(xiàn)（三線(xiàn)合一），

∴E和B關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，

∴EM=BM，

即BM+MN′=EM+MN′=EN′，

∵EN⊥AB，

∴∠ENA=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠AEN′=30°，

∵AE=AB=6，

∴AN=AE=3，

在△AEN中，由勾股定理得：EN=，

即BM+MN的最小值是.

故選B.

2.通過(guò)勾股定理轉(zhuǎn)移線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為垂線(xiàn)段最短

例2. 如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線(xiàn)段EF長(zhǎng)度的最小值為.

試題分析：此題由于E、F兩點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，若按常規(guī)思路直接求其最值感覺(jué)無(wú)從下手，而此時(shí)如能轉(zhuǎn)化成其他與之相關(guān)的線(xiàn)段直徑，則問(wèn)題就迎刃而解了 由垂線(xiàn)段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑最短。

解：由垂線(xiàn)段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑最短，

如圖，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，

∴AD=BD=1，即此時(shí)圓的直徑為1，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠EOF，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH=·sin60°=，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH=，

即線(xiàn)段EF長(zhǎng)度的最小值為.

故答案為.

3.通過(guò)三角形全等相似等轉(zhuǎn)移線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為垂線(xiàn)段最短

例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，

問(wèn)題1：如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線(xiàn)PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？

問(wèn)題2：如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線(xiàn)PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題3：若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線(xiàn)PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E，使AE=nPA（n為常數(shù)），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線(xiàn)PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

試題分析：此題難度很大，P、Q兩點(diǎn)也均為動(dòng)點(diǎn)，而且此題要轉(zhuǎn)化的線(xiàn)段隱藏得更深，需要在復(fù)雜圖形中挖掘線(xiàn)段的等分點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段PG的整數(shù)倍，才最終變成動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的線(xiàn)段中垂線(xiàn)段最短的問(wèn)題。

解：?jiǎn)栴}1：∵四邊形PCQD是平行四邊形，

若對(duì)角線(xiàn)PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，

∴∠DPC=90°，

∵AD=1，AB=2，BC=3，

∴DC=2，

設(shè)PB=x，則AP=2-x，

在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，

化簡(jiǎn)得x2-2x+3=0，

∵△=（-2）2-4×1×3=-8<0，

∴方程無(wú)解，

∴對(duì)角線(xiàn)PQ與DC不可能相等.

問(wèn)題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線(xiàn)PQ與DC相交于點(diǎn)G，

則G是DC的中點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，

∵PD∥CQ，

∴∠PDC=∠DCQ，

∴∠ADP=∠QCH，

又∵PD=CQ，

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，

∴AD=HC，

∵AD=1，BC=3，

∴BH=4，

∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4.

問(wèn)題3：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，

∵PE∥CQ，PD=DE，

∴，

∴G是DC上一定點(diǎn)，

作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，

同理可證∠ADP=∠QCH，

∴Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ，

即，

∴CH=2，

∴BH=BG+CH=3+2=5，

∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為5.

問(wèn)題4：如圖4，設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G，

∵PE∥BQ，AE=nPA，

∴，

作QH∥PD，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥CD，交QH的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠ADP=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，

∴∠QBH=∠PAD，

∴△ADP∽△BHQ，

∴，

∵AD=1，

∴BH=n+1，

∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，

則四邊形ABND是矩形，

∴BM=AD=1，DM=AB=2

∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，

∴∠DCM=45°，

∴∠KCH=45°，

∴CK=CH·cos45°= （n+4），

∴當(dāng)PQ⊥CD時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，最小值為（n+4）.

三、利用三角形三邊關(guān)系

1.通過(guò)找到特殊定點(diǎn)構(gòu)造三角形

例1.如圖，∠MON=90°，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為（ ）

A.2.4 B. C. D.

試題分析：如圖，取AB的中點(diǎn)D.連接CD.根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到OC小于等于OD+DC，只有當(dāng)O、D及C共線(xiàn)時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD。

【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接CD.

∵△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)是2，∴BC=AB=2，

∵點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，

∴BD=AB=1，

∴CD===，即CD=；

連接OD，OC，有OC≤OD+DC，

當(dāng)O、D、C共線(xiàn)時(shí)，OC有最大值，最大值是OD+CD，

由（1）得，CD=，

又∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，

∴OD=AB=1，

∴OD+CD=1+，即OC的最大值為1+.

故選：C.

2.以旋轉(zhuǎn)為背景構(gòu)造三角形

例2：在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA1，CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線(xiàn)段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值.

試題分析：此題為一道中考?jí)狠S題，第（3）EP1 落在BE和BP1 所在的三角形里，而這個(gè)三角形里BE是定值，EP1的最值就轉(zhuǎn)化成了B P1 的最值。

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，

∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1

∴，

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

①如圖1，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線(xiàn)段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；

②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1=BC+AE=2+5=7。

3.通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)找到最值的特殊位置

例3：如圖，拋物線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3）.將拋物線(xiàn)l沿y軸翻折得拋物線(xiàn)l1.

（1）求l1的解析式；

（2）在l1的對(duì)稱(chēng)軸上找出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1及C兩點(diǎn)的距離差最大，并說(shuō)出理由；

試題分析（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，求得A1和B1的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)l1的解析式，（2）根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)即可知，B1C的延長(zhǎng)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸x=1的交點(diǎn)P，即為所求。求出B1C的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）如圖1，設(shè)經(jīng)翻折后，點(diǎn)A.B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1，依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A1（3，0），B1（﹣1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)不變，∴拋物線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)l1的解析式為y=ax2+bx+c，則

，解得?！鄴佄锞€(xiàn)l1的解析式為：y=x2﹣2x﹣3。

（2）拋物線(xiàn)l1的對(duì)稱(chēng)軸為：x=，如圖2，連接B1C并延長(zhǎng)，與對(duì)稱(chēng)軸x=1交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求。此時(shí)，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。

設(shè)P′為對(duì)稱(chēng)軸x=1上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，則有：|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|

設(shè)直線(xiàn)B1C的解析式為y=kx+b，則

，解得k=b=﹣3。∴直線(xiàn)B1C的解析式為：y=﹣3x﹣3。

令x=1，得y=﹣6?！郟（1，﹣6）。

通過(guò)以上三種類(lèi)型題目的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，雖然線(xiàn)段最值及線(xiàn)段和差的最值是一個(gè)難點(diǎn)，但只要我們能夠吃透本質(zhì)，在碰到這種類(lèi)型問(wèn)題時(shí)都能結(jié)合具體題目具體分析，確定相應(yīng)的類(lèi)型，從而快速找到基本原理是利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，還是垂線(xiàn)段最短，抑或是利用三邊關(guān)系。從而找到問(wèn)題的突破口，去運(yùn)用相關(guān)知識(shí)去解決這個(gè)難點(diǎn)。