曲線之間的滾動(dòng)*

楊 潔

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000；湖州師范學(xué)院物理視覺工作室 浙江 湖州 313000)

曲線之間的滾動(dòng)*

楊 潔

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000；湖州師范學(xué)院物理視覺工作室 浙江 湖州 313000)

把滾動(dòng)分解為質(zhì)心平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng).由約束條件，給出了圓弧組成的葉狀物在正三角形和正方形內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，以及內(nèi)擺線在另一個(gè)內(nèi)擺線滾動(dòng)時(shí)，質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動(dòng)角的參數(shù)方程.由這些表達(dá)式，給出了滾動(dòng)物體上特殊點(diǎn)的軌跡.

滾動(dòng) 內(nèi)擺線 軌跡

一個(gè)曲線沿著另一個(gè)曲線(一般固定)滾動(dòng)，滾動(dòng)曲線上或內(nèi)(外)一點(diǎn)，依據(jù)這兩個(gè)曲線形式和滾動(dòng)模式，會形成多種多樣的軌跡.如果固定曲線是直線，滾動(dòng)曲線是橢圓，滾動(dòng)模式是純滾動(dòng)，那么滾動(dòng)橢圓上一點(diǎn)會形成橢圓旋輪線[1].如果固定曲線是圓，滾動(dòng)曲線也是圓，兩個(gè)圓半徑之比是有理數(shù)，滾動(dòng)模式是純滾動(dòng)，那么滾動(dòng)圓上一點(diǎn)會形成內(nèi)(外)擺線[2].本文考慮兩個(gè)曲線都是封閉曲線之間的(非純)滾動(dòng)模式.運(yùn)動(dòng)學(xué)上滾動(dòng)可以分解為質(zhì)心平動(dòng)與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，由于約束條件，質(zhì)心位置(或平移量)可以表示為轉(zhuǎn)動(dòng)角的參數(shù)方程.依據(jù)質(zhì)心位置轉(zhuǎn)動(dòng)角的表達(dá)式，就可以把滾動(dòng)曲線上(外)任意一點(diǎn)的軌跡表示出來.為簡單起見，本文只考慮3種情況：兩段圓弧組成的封閉曲線在一個(gè)正三角形內(nèi)滾動(dòng)；三段對稱圓弧組成的封閉曲線(萊洛三角形)在一個(gè)正方形內(nèi)滾動(dòng)；內(nèi)擺線在一個(gè)內(nèi)擺線內(nèi)滾動(dòng).

圖1 雙葉在正三角形內(nèi)的滾動(dòng)

從對稱性考慮，以正三角形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，正三角形的外接圓半徑是4，A點(diǎn)的起始坐標(biāo)是(4,0)，B點(diǎn)的起始坐標(biāo)是(-2,0)，雙葉質(zhì)心坐標(biāo)是(1,0).雙葉上下兩段圓弧起始時(shí)刻相對質(zhì)心的參數(shù)坐標(biāo)分別是

(1)

(2)

雙葉滾動(dòng)后，A點(diǎn)和B點(diǎn)仍舊在三角形的兩條邊上.計(jì)算得到(省略過程)質(zhì)心平移量與轉(zhuǎn)動(dòng)角度的關(guān)系式

(3)

(4)

圖2 雙葉質(zhì)心和圓弧中點(diǎn)軌跡

質(zhì)心表達(dá)式(3)和(4)其實(shí)是橢圓弧，所以雙葉上任意固定一點(diǎn)的軌跡由3段對稱的橢圓弧組合而成，這從圖2上可以看出來.

圖3 三葉在正方體內(nèi)的滾動(dòng)

(5)

(6)

(7)

隨后，三葉質(zhì)心平移(xc,yc)，然后整體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角度.三葉滾動(dòng)后，兩個(gè)端點(diǎn)E和F仍舊落在正方形邊上.計(jì)算得到質(zhì)心平移量與轉(zhuǎn)動(dòng)角度的關(guān)系式

(8)

(9)

質(zhì)心表達(dá)式(8)和(9)其實(shí)是橢圓弧，所以三葉上任意固定一點(diǎn)的軌跡由4段對稱的橢圓弧(與質(zhì)心的橢圓弧不一樣)組合而成，這從圖4上可以看出來.

圖4 三葉質(zhì)心和圓弧中點(diǎn)軌跡

第三種情況如圖5所示，是一個(gè)三葉內(nèi)擺線在另一個(gè)四葉內(nèi)擺線內(nèi)的滾動(dòng).

圖5 三葉內(nèi)擺線在四葉內(nèi)擺線內(nèi)的滾動(dòng)

內(nèi)擺線可以看作一個(gè)小圓在一個(gè)大圓內(nèi)純滾動(dòng)時(shí)，小圓圓周上固定一點(diǎn)的軌跡.如果大圓半徑為R，小圓半徑為r，以大圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么內(nèi)擺線復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程是[4]

(10)

設(shè)3個(gè)圓的半徑分別為r1,r2,r3.小的內(nèi)擺線是第一個(gè)圓在第二個(gè)圓里面滾動(dòng)形成的，它相對第二個(gè)圓圓心的參數(shù)方程是

(11)

這個(gè)內(nèi)擺線隨著第二個(gè)圓一起在第三個(gè)圓內(nèi)滾動(dòng)，由復(fù)數(shù)加法和乘法意義，加法代表平移，乘法exp(iθ)表示轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角為θ.設(shè)第二個(gè)圓質(zhì)心平移后的復(fù)數(shù)坐標(biāo)是u，那么滾動(dòng)后擺線的參數(shù)方程是

(12)

滾動(dòng)后擺線上一點(diǎn)要落在第二個(gè)內(nèi)擺線上.第二個(gè)擺線由第一個(gè)圓在第三個(gè)圓內(nèi)滾動(dòng)而成，復(fù)坐標(biāo)具有以下表達(dá)式

(13)

式(11)和式(12)應(yīng)該相等.假定平移后第二個(gè)圓質(zhì)心復(fù)坐標(biāo)有這樣的形式u=(r3-r2)exp(iφ)，對比式(11)和(12)，得到參數(shù)角與轉(zhuǎn)動(dòng)角的關(guān)系式

(14)

取半徑為(1,3,4)，就得到圖5中的圖形.取半徑為(1,3,5)，就得到圖6中的圖形.

圖6 三葉內(nèi)擺線在五葉內(nèi)擺線內(nèi)的滾動(dòng)

由以上平移和轉(zhuǎn)動(dòng)表達(dá)式，還能得到三葉內(nèi)擺線在五葉內(nèi)擺線內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，尖點(diǎn)和“弧線”中間點(diǎn)的滾動(dòng)軌跡，如圖7所示.

圖7 三葉內(nèi)擺線尖點(diǎn)和弧線中點(diǎn)的滾動(dòng)軌跡

這樣，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)分解和約束條件，得到了質(zhì)心平移量(或位置)與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)角的解析表達(dá)式，并給出了物體上特殊點(diǎn)的滾動(dòng)軌跡.這種方法也能求其他曲線之間的滾動(dòng)軌跡，不再詳述.

1 陶濤，邱為鋼.橢圓旋輪線.大學(xué)物理，2013，32(1)：33～34

2 佘守憲, 唐瑩.淺析物理學(xué)中的旋輪線(擺線).大學(xué)物理，2001，20(6): 5～10

3 萊洛三角形. http://mathworld.wolfram.com/Reuleau- xTriangle.html

4 擺線. http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid. html

The Rolling Motion between Curves

Yang Jie

(Department of Physics, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000)

Qiu Weigang

(Department of Physics, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000;Physical Visual effects studio, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000)

A rolling motion is composed of displacement of center of mass (COM) and rotation around COM. From constraint condition, the rotation angle parametric expressions of displacement of COM are given for two kind of rolling motion between two curves: a leaf-like body made of arcs rolling inside a regular triangle and a square and a hypocycloid rolling inside another hypocycloid. The orbits of some special point on the rolling body are also given.

rolling motion; hypocycloid; orbit

*高等學(xué)校力學(xué)課程教學(xué)研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：JZW-15-LX-15；湖州師范學(xué)院教改項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：JGB16022;國家自然科學(xué)基金，項(xiàng)目編號：11475062

楊潔(1995- )，女，在讀本科生.

邱為鋼(1975- )，男，博士，副教授，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)研究工作.

2016-10-10)