保持物理本色 原味求解極值

侯紅彬 范曉波

(靖江市第一高級(jí)中學(xué)，江蘇 靖江 214500)

·復(fù)習(xí)與考試·

保持物理本色 原味求解極值

侯紅彬 范曉波

(靖江市第一高級(jí)中學(xué)，江蘇 靖江 214500)

使用物理分析法處理極值問題,能夠抓住物理情景的本質(zhì),突出臨界狀態(tài)的特征,幫助物理思想的形成．

極值問題； 物理分析法； 數(shù)學(xué)討論法； 臨界狀態(tài)

在自然界發(fā)生的各種物理過程中,有些物理量增加,有些物理量減少,也有些物理量先增后減或先減后增,增與減之間的轉(zhuǎn)折點(diǎn),物理學(xué)中一般稱之為臨界狀態(tài),而數(shù)學(xué)上則取名為極限,這就是極值問題．極值問題綜合性強(qiáng),能力要求高,其分析過程能充分反映學(xué)生的思維水平、推理能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的能力,符合《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中的技能培養(yǎng)目標(biāo)和《2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說明(理科)》中規(guī)定的能力考核目標(biāo),因此極值問題深受命題專家青睞,在歷年的高考物理試卷上出現(xiàn)的頻率比較高．

從方法上講,極值問題的處理思路無非兩條:一條是物理分析法,即“先定后算”,就是先從物理過程變化的特點(diǎn)入手找到出現(xiàn)極值的臨界狀態(tài),再運(yùn)用相應(yīng)的物理規(guī)律計(jì)算極值;另一條是數(shù)學(xué)討論法,即“先算后定”,先運(yùn)用物理規(guī)律寫出考查量大小的計(jì)算式,再借助數(shù)學(xué)討論確定極值,高中階段常用的數(shù)學(xué)方法有二次函數(shù)判別式法、配方法、均值定理法、不等式法、三角函數(shù)法等等.

數(shù)學(xué)討論法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力要求較高,涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算通常比較復(fù)雜,因此筆者更傾向于幫助學(xué)生抓住問題的物理本質(zhì),突出臨界狀態(tài)在研究過程中的特殊性,運(yùn)用物理的思想和方法解決極值問題.這樣既能避開復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,又能體現(xiàn)問題的物理意義,下面筆者就借助實(shí)例闡述方法與讀者共享．

1 熟悉基本情景直議極值狀態(tài)

平時(shí)有針對(duì)性地對(duì)各種物理情景進(jìn)行研究,歸納出力、熱、光、電等各領(lǐng)域常見的臨界狀態(tài)和臨界特征,以后遇到相關(guān)問題時(shí)就能信手拈來,直接討論臨界狀態(tài)計(jì)算極值．

以力學(xué)部分為例,常見的臨界狀態(tài)和臨界特征有:

(1) 兩物體即將相對(duì)滑動(dòng),受力特征為兩物體間靜摩擦力達(dá)到最大,即f0=f0m;

(2) 兩物體即將脫離,作用特征為兩者接觸不擠壓,即恰好有彈力N=0;

(3) 輕繩即將松弛,狀態(tài)特征為輕繩伸直但沒有形變,即恰好有拉力F=0.

圖1

例1.如圖1所示,質(zhì)量為m的木塊放在質(zhì)量為M的木板上,木板放在光滑的水平面上,如果木塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,那么要使木板從木塊下抽出,所加水平力F的大小至少為多少?

解析： 水平力F的大小達(dá)極值時(shí),木塊與木板間靜摩擦力達(dá)到最大,即將相對(duì)滑動(dòng),可以對(duì)這一臨界狀態(tài)直接進(jìn)行討論．

圖2

本題同時(shí)也是個(gè)連接體問題,如果使用整體法、隔離法相結(jié)合的思想進(jìn)行處理,那么求解過程將更加簡(jiǎn)潔．所以可先隔離木塊找到臨界狀態(tài)下的加速度,再對(duì)木塊、木板組成的整體運(yùn)用牛頓第二定律就能快速計(jì)算出水平力的極值大?。?/p>

木塊受力如圖2(a).

由牛頓第二定律可得f0m=ma0，其中f0m≈f=μmg，所以a0=μg.

木塊、木板組成的整體受力如圖2(b).

由牛頓第二定律可得

F=(M+m)a0，所以F=μ(M+m)g.

2 緊扣問題本質(zhì)速定極值狀態(tài)

從物理問題的本質(zhì)著手,依據(jù)基本規(guī)律迅速找出其中的極值狀態(tài)．如對(duì)變加速直線運(yùn)動(dòng)而言,一般當(dāng)加速度為0時(shí),速度取極值;對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)而言,當(dāng)合外力方向與速度方向垂直時(shí),速度取極值;對(duì)帶電粒子穿越有界磁場(chǎng)過程而言,軌跡過磁場(chǎng)區(qū)域端點(diǎn)或與磁場(chǎng)邊界相切時(shí),粒子的速度取極值……下面以曲線運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行說明．

做曲線運(yùn)動(dòng)的物體,合外力方向與速度方向不在同一直線上,借助分解的思想可以將所有外力分解到軌跡的切線方向和法線方向．

圖3

如圖3所示,其中法向外力Fn產(chǎn)生法向加速度an(對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)而言就是向心力產(chǎn)生向心加速度),改變速度v的方向;切向外力Fτ產(chǎn)生切向加速度aτ,改變速度v的大?。?dāng)切向加速度與速度同向時(shí),物體的速度增大,當(dāng)切向加速度與速度反向時(shí),物體的速度減小,當(dāng)切向加速度為0時(shí),速度取極值．由此可見,對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的物體而言,速度取極值的位置在切向外力為0處,此時(shí)合外力恰好沿法線方向,即與速度方向垂直．掌握這一特征,與曲線運(yùn)動(dòng)有關(guān)的極值問題基本可以解決．

圖4

例2.如圖4所示,在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線,一端連著一質(zhì)量為m帶電量為+q的小球,另一端固定于O點(diǎn),現(xiàn)把小球拉至細(xì)線水平且與場(chǎng)強(qiáng)方向平行的位置,無初速釋放,小球能擺到最低點(diǎn)的另一側(cè),細(xì)線與豎直方向的最大夾角θ=30°．求: (1) 場(chǎng)強(qiáng)E的大小; (2) 若使帶電小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng),小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小動(dòng)能是多少?

(1) 對(duì)小球由釋放點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至左端點(diǎn)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理

mgLcosθ-EqL(1+sinθ)=0，

其中θ=30°，解得

(2) 當(dāng)細(xì)線上張力為0時(shí),重力和電場(chǎng)力的合力充當(dāng)向心力,此時(shí)小球的動(dòng)能最小，

3 依據(jù)對(duì)稱規(guī)律確定極值狀態(tài)

物理世界中對(duì)稱現(xiàn)象比比皆是,對(duì)稱的過程、對(duì)稱的結(jié)構(gòu)、對(duì)稱的作用、對(duì)稱的電路、對(duì)稱的光路……用對(duì)稱性解題的關(guān)鍵在于敏銳地抓住物理過程的對(duì)稱點(diǎn),然后利用物理規(guī)律進(jìn)行定量計(jì)算,確定極值．如文中例2即可依據(jù)對(duì)稱性求擺動(dòng)過程中的小球速度的極大值．

圖5

例3.如圖5所示的電路中,電源電動(dòng)勢(shì)E=6.3V,內(nèi)電阻r=0.5Ω,固定電阻R1=2Ω,R2=3Ω,R3是總阻值為5Ω的滑動(dòng)變阻器．按下開關(guān)S,調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器的滑片P,求通過電源的電流范圍．

解析：本題常見的錯(cuò)誤是因思維定勢(shì)而誤認(rèn)為滑片P處在變阻器兩端時(shí),總電阻取極值,對(duì)應(yīng)電流取極值．實(shí)際上,當(dāng)滑片P移動(dòng)過程中,左右兩條并聯(lián)支路電阻同時(shí)變化,根據(jù)極值對(duì)稱原理可知,兩條支路電阻相等時(shí),電路總電阻最大,總電流最小;而兩條支路電阻相差最多時(shí),電路總電阻最小,總電流最大．

滑片P處在變阻器最右端時(shí),外電阻最小,數(shù)值為R=1.6Ω,此時(shí)總電流最大,為

滑片P處在變阻器中間某一位置,使兩側(cè)支路電阻相等時(shí),外電阻最大,數(shù)值為R′=2.5Ω,此時(shí)總電流最小,為

所以通過電源的電流變化范圍為

2.1A≤I≤3.0A.

4 巧借模型轉(zhuǎn)換 妙找極值狀態(tài)

不同的物理模型,處理方法存在差異,借助一些物理規(guī)律可以將原本復(fù)雜的模型轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單模型,有利于快速確定臨界狀態(tài),計(jì)算相關(guān)量的極值．

圖6

解析：沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)的木塊受重力、支持力、拉力、滑動(dòng)摩擦力4個(gè)外力作用,無法直接看出拉力取極值的狀態(tài),常用處理方法是先利用平衡條件列方程組,化簡(jiǎn)后找到拉力大小的計(jì)算式,再使用三角函數(shù)知識(shí)尋找拉力的極值．過程復(fù)雜,耗時(shí)耗力．其實(shí)我們可以借助支持力、滑動(dòng)摩擦力大小間的關(guān)聯(lián)將兩者合二為一,將原本4力平衡的問題轉(zhuǎn)化為3力平衡的問題處理．

圖7

與數(shù)學(xué)討論法相比,物理分析法具有明顯的優(yōu)勢(shì),且臨界狀態(tài)的特征清晰,學(xué)生容易理解和接受．

5 繪制物理圖像凸顯極值狀態(tài)

圖像具有直觀、形象的特征,利用圖像來處理物理問題,既簡(jiǎn)捷又明了,往往對(duì)問題的解決起到事半功倍的效果．

例5.用細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的重物,從深為H的井底提起重物并豎直向上做直線運(yùn)動(dòng),重物到井口時(shí)速度恰為0,已知細(xì)繩的最大承受力為T,則用此細(xì)繩提升重物到井口的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少?

圖8

解析：從井底到井口物體可能經(jīng)歷加速上升、勻速上升和減速上升3個(gè)階段,其v-t圖像如圖中的折線①所示;也可能先勻加速后直接勻減速到達(dá)井口,如圖中折線②所示,在位移相同即圖中折線與橫軸所圍面積相等的條件下,顯然折線②所用時(shí)間更短．

因此,要使重物上升時(shí)間最短,必須在開始階段用細(xì)繩以最大承受力提升重物,讓重物以最大加速度加速上升;緊接著使重物以最大加速度減速上升(此狀態(tài)繩子松弛,物體豎直上拋),當(dāng)重物減速為0時(shí)恰好到達(dá)井口．

強(qiáng)調(diào)運(yùn)用物理分析法解決極值問題,并非完全排斥數(shù)學(xué)討論法．不論是物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量和計(jì)算,還是物理概念和規(guī)律的表達(dá)等,都離不開數(shù)學(xué)的應(yīng)用．但是,數(shù)學(xué)只是工具,作為工具的數(shù)學(xué)必須與物理現(xiàn)象的內(nèi)容相統(tǒng)一,從屬于物理分析過程．在中學(xué)物理教學(xué)過程中,我們不能忽略物理問題的核心,盲目地將各種物理問題數(shù)學(xué)化,而是必須根據(jù)具體的情況作出恰當(dāng)?shù)倪x擇,努力做到既潛移默化地滲透了數(shù)學(xué)方法,又水到渠成地加深了學(xué)生對(duì)物理規(guī)律的理解,使物理和數(shù)學(xué)這兩門學(xué)科互相滲透、互相促進(jìn)、相得益彰．

1 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[S].北京： 人民教育出版社，2014.

2 教育部考試中心.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說明(理科)[S]. 北京：高等教育出版社，2016.

2016-09-26)