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    圓錐擺運(yùn)動(dòng)中的不變量

    2017-03-30 12:12:06鄧?guó)櫽?/span>楊習(xí)志
    物理教師 2017年3期
    關(guān)鍵詞:勻速圓周水平面秋千

    鄧?guó)櫽?楊習(xí)志

    (1. 云南省昆明市宜良縣第二中學(xué),云南 昆明 650000;2. 昆明市第一中學(xué) 云南 昆明 650000)

    ·問(wèn)題討論·

    圓錐擺運(yùn)動(dòng)中的不變量

    鄧?guó)櫽?楊習(xí)志2

    (1. 云南省昆明市宜良縣第二中學(xué),云南 昆明 650000;2. 昆明市第一中學(xué) 云南 昆明 650000)

    經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),在圓錐擺問(wèn)題中,存在一個(gè)不變的量ω2h,即無(wú)論是什么樣的圓錐擺模型,其角速度的平方與其擺高的乘積總是一定值,只要抓住這一不變量,就可以快速而輕松地解決大部分的圓錐擺問(wèn)題.

    圓錐擺; 不變量; 旋轉(zhuǎn)秋千

    在高中物理教學(xué)中,“圓錐擺”模型是較為常見(jiàn)和常考的問(wèn)題之一.由于圓錐擺問(wèn)題的多變性,使得學(xué)生在解答此類(lèi)題型時(shí)總是難以把握.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),在圓錐擺問(wèn)題中存在一個(gè)不變量,只要抓住這個(gè)不變量,就可以快速而輕松地解決大部分圓錐擺問(wèn)題.

    1 圓錐擺中的不變量

    如圖1所示是一個(gè)正立的圓錐擺模型,擺長(zhǎng)為L(zhǎng),下端拴著質(zhì)量為m的小球,在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)繩子與豎直方向成θ角時(shí),其受力情況如圖2所示,運(yùn)動(dòng)方程為mgtanθ=mω2r,其中r=Lsinθ,代入并整理后可得ω2Lcosθ=g,令Lcosθ=h,則有ω2h=g,其中h為圓錐擺的擺高,即圓錐的錐高.可以看出ω2h是一個(gè)與擺長(zhǎng)L、小球質(zhì)量m無(wú)關(guān),只與重力加速度有關(guān)的常量.

    圖1

    圖2

    如圖3所示是一個(gè)倒立的圓錐擺模型,質(zhì)量為m的小球在光滑漏斗中的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其受力情況如圖4所示,則其運(yùn)動(dòng)方程為mgtanθ=mω2r,其中r=htanθ,代入并整理后可得ω2h=g,故ω2h是一個(gè)只與重力加速度g有關(guān)的定值.由以上分析可以看出無(wú)論是正立的圓錐擺還是倒立的圓錐擺,其ω2h均是一個(gè)只與重力加速度g有關(guān)的定值.故ω2h即為圓錐擺的不變量.值得注意的是,在漏斗模型中,由于角度θ已經(jīng)固定,導(dǎo)致其向心力F=mgtanθ, 支持力N=mgcosθ,向心加速度a=gtanθ等均保持不變.

    圖3

    圖4

    2 巧用圓錐擺中的不變量解題

    圖5

    例1.如圖5所示,兩個(gè)質(zhì)量不同的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用長(zhǎng)度不等的細(xì)線(xiàn)拴在同一點(diǎn),并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則它們的

    (A) 周期相同. (B) 線(xiàn)速度相同.

    (C) 角速度相同. (D) 向心加速度相同.

    解析:由不變量ω2h可知,由于A、B兩個(gè)小球具有相同的擺高h(yuǎn),故它們具有相同的角速度,又rA>rB,故由T=2πω,v=rω及a向=ω2r可判斷選項(xiàng)(A)、(C)正確,(B)、(D)錯(cuò)誤.

    圖6

    例2.如圖6所示,兩個(gè)質(zhì)量不同的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用長(zhǎng)度不等的細(xì)線(xiàn)拴在同一點(diǎn),并在水平面內(nèi)的不同高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng),它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,則下列說(shuō)法正確的是

    (A)ωA>ωB. (B)vA>vB.

    (C)TA=TB. (D)aA

    解析:由不變量ω2h可知,由于hAωB,又rA=rB,由T=2πω,v=rω及a向=ω2r可判斷選項(xiàng)(A)、(B)正確,(C)、(D)錯(cuò)誤.

    圖7

    例3.如圖7所示,兩個(gè)質(zhì)量相同的小球在光滑漏斗的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則下列判斷正確的是

    (A)ωA>ωB.

    (B)vA>vB.

    (C)TA=TB.

    (D)aA

    解析:由不變量ω2h可知,由于hA>hB,故ωA<ωB,即TA>TB,又aA=aB,rA>rB,由a=v2r可知vA>vB,故選項(xiàng)(B)正確,(A)、(C)、(D)錯(cuò)誤.

    3 圓錐擺模型的變形及其不變量的運(yùn)用

    圖8

    例4.如圖8所示,“旋轉(zhuǎn)秋千”中可視為質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等,通過(guò)相同長(zhǎng)度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)上.不考慮空氣阻力的影響,當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),下列說(shuō)法正確的是

    (A)A的速度比B的大.

    (B)A與B的向心加速度大小相等.

    (C) 懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等.

    (D) 懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小.

    分析:此題可簡(jiǎn)化成如圖9所示的模型,與其他圓錐擺所不同的是此題中的兩個(gè)物體懸掛于不同的點(diǎn),但均不是各自圓錐擺的頂點(diǎn),如圖10所示,可將擺線(xiàn)進(jìn)行延長(zhǎng)與轉(zhuǎn)軸相交,交點(diǎn)OA和OB即為各自圓錐擺的“頂點(diǎn)”.設(shè)A、B的懸掛點(diǎn)到軸心的距離分別為xA和xB,擺線(xiàn)長(zhǎng)均為L(zhǎng),擺角分別為θA和θB.

    圖9

    圖10

    以A為研究對(duì)象,由幾何關(guān)系得,物體A做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rA=xA+LsinθA,故其運(yùn)動(dòng)方程為

    mgtanθA=mωA2(xA+LsinθA),

    即gωA2=xAtanθA+LcosθA.

    又hA=xAtanθA+LcosθA,故有hA=gωA2,即ωA2hA=g,可以看出在旋轉(zhuǎn)秋千的問(wèn)題中,ω2h=g仍是一個(gè)不變量,同理可得ωB2hB=g,考慮到ωA=ωB,故hA=hB,即同一旋轉(zhuǎn)秋千上的擺高均相同.

    解析:由不變量ω2h可知,由于ωA=ωB,故有hA=hB,假設(shè)A、B兩懸線(xiàn)與豎直方向的夾角相同,則如圖11所示可以看出,hB必定大于hA,因此為保證hA=hB,如圖12所示,則必定有θA<θB,故rA

    圖11

    圖12

    另外,在旋轉(zhuǎn)秋千問(wèn)題中,當(dāng)擺長(zhǎng)不相等時(shí),若LALB,且懸點(diǎn)位置不同,如圖14所示,因擺高必須相等,則內(nèi)側(cè)物體的擺角可能大于、等于或小于外側(cè)物體的擺角,也就可能出現(xiàn)內(nèi)側(cè)物體的圓周運(yùn)動(dòng)半徑大于、等于或小于外側(cè)物體的圓周運(yùn)動(dòng)半徑.

    圖13

    圖14

    綜上所述,在圓錐擺問(wèn)題中,ω2h=g是一個(gè)不變量,只要抓住這一不變量,在分析圓錐擺問(wèn)題時(shí)將會(huì)變得非常的方便和快捷.

    1 李洪軍.“旋轉(zhuǎn)秋千”懸線(xiàn)擺角的分析[J].理科考試研究·綜合版,2015(3):27-28.

    2 白晶.圓錐擺模型的疑難化解與相關(guān)教學(xué)建議[J].物理教師,2016(4):78-80.

    3 袁培耀.圓錐擺模型的遷移應(yīng)用[J].物理教師,2011(2):20-22.

    2016-10-30)

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