“物理原理+數(shù)學(xué)圖像+等效思想”三管齊下分析電學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差

李勝強(qiáng)

“伏安法”在電學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用主要有兩種，第一種是測(cè)量電阻，第二種是測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。安培表和伏特表都不是理想電表，在電路中必然會(huì)分壓和分流，故存在不可避免的系統(tǒng)誤差。[BF]

1 “伏安法”測(cè)電阻的誤差分析

“伏安法”測(cè)電阻時(shí)，應(yīng)結(jié)合電阻的大小及實(shí)驗(yàn)的要求確定測(cè)量電路和控制電路，此時(shí)伏特表和安培表是為電阻服務(wù)的，故應(yīng)圍繞著電阻測(cè)量其電壓和電流。測(cè)量電路的構(gòu)建通常有兩種方式，如圖1所示為安培表“內(nèi)接法”，圖2所示為安培表“外接法”。

1.1 物理原理

圖1中的安培表測(cè)量電阻Rx的真實(shí)電流，而伏特表測(cè)量電阻Rx及安培表共同的電壓，故U測(cè)=Ux+UA，R測(cè)=U測(cè)I測(cè)=Rx+RA>Rx，即用安培表“內(nèi)接法”測(cè)量電阻Rx時(shí)，測(cè)量值大于真實(shí)值。

圖2中的伏特表測(cè)量電阻Rx的真實(shí)電壓，而安培表測(cè)量電阻Rx及伏特表共同的電流，故I測(cè)=Ix+IV，R測(cè)=U測(cè)I測(cè)=RxRVRx+RV

1.2 等效思想

圖1中的安培表是有內(nèi)阻的（即使很?。?，故可將安培表看成理想安培表和內(nèi)阻RA的串聯(lián)，此時(shí)“伏安法”測(cè)未知電阻的研究對(duì)象轉(zhuǎn)變?yōu)镽x與RA的串聯(lián)整體，故用安培表“內(nèi)接法”測(cè)量電阻Rx時(shí)，測(cè)量值大于真實(shí)值，測(cè)量值比真實(shí)值多的那部分就是（Rx+RA）-Rx=RA，即安培表的內(nèi)阻。

圖2中的伏特表也是有內(nèi)阻的（即使很大），故可將伏特表看成是理想伏特表和內(nèi)阻RV的并聯(lián)，此時(shí)“伏安法”測(cè)未知電阻的研究對(duì)象轉(zhuǎn)變?yōu)镽x與RV的并聯(lián)整體，故用安培表“外接法”測(cè)量電阻Rx時(shí)，測(cè)量值小于真實(shí)值，測(cè)量值比真實(shí)值少的那部分為Rx-RxRVRx+RV=Rx2Rx+RV。

2 “伏安法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的誤差分析

2.1 物理原理

如圖3所示，“伏安法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻——安培表干路接法，對(duì)于研究對(duì)象電源而言，安培表測(cè)量的是電源的干路電流I，伏特表測(cè)量的不是電源的路端電壓U（安培表內(nèi)阻要分壓），需要修正為U+UA。由閉合電路的歐姆定律可得，E=（U+UA）+Ir=（U+IRA）+Ir，干路電流I越大，UA越大，伏特表測(cè)量的誤差越大。

如圖4所示，“伏安法”測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻——安培表支路接法，對(duì)于研究對(duì)象電源而言，伏特表測(cè)量的是電源的路端電壓U，安培表測(cè)量的不是電源的干路電流I（伏特表內(nèi)阻要分流），需要修正為I+IV。由閉合電路的歐姆定律可得，E=U+（I+IV）r=U+（I+URV）r，路端電壓U越大，IV越大，安培表測(cè)量的誤差越大。

2.2 等效思想

如圖3所示的安培表干路接法的電路圖中，可將安培表看成為理想安培表和內(nèi)阻RA的串聯(lián)，此時(shí)電源理解為等效電源（電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為RA+r），安培表和伏特表都為等效電源服務(wù)。對(duì)等效電源而言，安培表和伏特表的測(cè)量都是準(zhǔn)確的，E=U+I（RA+r），在電源的U-I圖像中，傾斜直線斜率的數(shù)值等于等效電源的內(nèi)阻RA+r，比真實(shí)電源的內(nèi)阻r偏大，故r測(cè)>r真。

如圖4所示的安培表支路接法的電路圖中，可將伏特表看成為理想伏特表和內(nèi)阻RV的并聯(lián)，此時(shí)電源理解為等效電源（電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為RVrRV+r），安培表和伏特表都為等效電源服務(wù)。對(duì)等效電源而言，安培表和伏特表的測(cè)量都是準(zhǔn)確的，E=U+I·RVrRV+r，在電源的U-I圖像中，傾斜直線斜率的數(shù)值等于等效電源的內(nèi)阻RVrRV+r，比真實(shí)電源的內(nèi)阻r偏小，故r測(cè)

2.3 數(shù)學(xué)圖像

在安培表干路接法的電路圖中，安培表測(cè)量的是干路電流I，但伏特表測(cè)量的不是電源的路端電壓U（安培表不是理想電表必然要分壓），這也是系統(tǒng)誤差的來源。由于安培表的分壓作用，有U真=U測(cè)+UA，即U真=U測(cè)+IRA，這樣在U-I圖線上對(duì)應(yīng)每個(gè)I，應(yīng)加上一修正值ΔU=IRA。由于RA很小，所以在I很小時(shí)，ΔU趨于零，故由極限思想可得E測(cè)=E真，當(dāng)I增大時(shí)，修正值ΔU也增大，測(cè)量數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)間的分叉越來越大，如圖5所示，可以看出，r測(cè)>r真。安培表干路接法中測(cè)量不準(zhǔn)確的是伏特表，而這恰恰是測(cè)量準(zhǔn)確的安培表的內(nèi)阻存在分壓造成的系統(tǒng)誤差，安培表的內(nèi)阻越小，系統(tǒng)誤差越小，伏特表的示數(shù)越小，系統(tǒng)誤差也越小。

安培表支路接法的電路圖中，伏特表測(cè)量的是電源的路端電壓U，但安培表測(cè)量的不是干路電流I，而是支路電流（伏特表不是理想電表必然要分流），這也是系統(tǒng)誤差的來源。由于伏特表分流IV，使安培表所測(cè)的電流I測(cè)小于電源的輸出電流I真，即：I真=I測(cè)+IV，而IV=URV，U越小，修正值IV越小。故由極限思想可得U=0，IV=0，此時(shí)I真=I測(cè)，即短路電流相同。U越大，修正值IV越大，測(cè)量數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)間的分叉越來越大，在圖6中，測(cè)量線為AB，真實(shí)線應(yīng)為A′B，可以看出E測(cè)

3 結(jié)語

電學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用的安培表和伏特表都不是理想電表，故在伏安法測(cè)電阻和測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)中，不可避免的會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。若直接利用安培表和伏特表的讀數(shù)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，必然會(huì)帶來誤差；若實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過程中充分考慮安培表和伏特表因內(nèi)阻原因造成的系統(tǒng)誤差，并對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正，則可大大減小系統(tǒng)誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。故在電學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，要善于結(jié)合物理原理和數(shù)學(xué)圖像，利用等效思想多角度分析系統(tǒng)誤差，這樣既是對(duì)電學(xué)實(shí)驗(yàn)的深入研究，也是對(duì)學(xué)生能力多方面的培養(yǎng)。