數(shù)學高考大揭密

蔡斌

數(shù)列是歷年高考數(shù)學中的必考的知識，縱觀每年各個省市的高考數(shù)學試題，可以發(fā)現(xiàn)對于數(shù)列的考查出現(xiàn)的概率為百分百，由此可見，數(shù)列在高考中的重要性不言而喻.本文通過分析2016年全國各個省市的高考數(shù)學試題中出現(xiàn)的數(shù)列考題，對高考中數(shù)列的考查方式及解析方法進行歸納總結，希望能夠給一線教師教學以及學生復習提供幫助.

一、考綱要求

《2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（數(shù)學）》中對于數(shù)列的掌握程度要求如下：

1.數(shù)列的概念和簡單表示法

（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）；

（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).

2.等差數(shù)列、等比數(shù)列

（1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；

（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式；

（3）能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題；

（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.

二、考察方式

分析2016年全國各個省市高考數(shù)學對于數(shù)列的考察，不難發(fā)現(xiàn)，一般一套試題中，會出現(xiàn)和數(shù)列相關的一個選擇題或一個填空題以及一個大型計算題，大型計算題一般出現(xiàn)在解答題的第一題或第二題.在高考中所占的比重大約在20分左右（滿分150分）.對于數(shù)列的考查包括數(shù)列的基本概念、基本表示方法、求解數(shù)列的前n項和或積，還有考查學生通過數(shù)列來解決實際問題的能力.整體來說，對于數(shù)列的考查難度適中，但是對于考生的計算能力要求非常高.

三、例題分析

例1 （2016全國文科，17）

已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1，a2n-（2an+1-1）an-2an+1=0.

（Ⅰ）求a2，a3；

（Ⅱ）求an的通項公式.

例題精講

（1）因為a1=1，a2n-（2an+1-1）an-2an+1=0

所以a21-（2a2-1）a1-2a2=0

所以a2=1/2

同理可得，a22-（2a3-1）a2-2a3=0

得到a3=1/4

（2）由a2n-（2an+1-1）an-2an+1=0

得a2n-2anan+1+an-2an+1=0

即2an+1（an+1）=an（an+1）

由題意知{an}各項均為正數(shù)

所以an+1/an=1/2

綜上{an}是首項為a1=1，公比為1/2的等比數(shù)列.其通項公式為an=（1/2）n-1.

考點解析 這道題目考查難度較低，主要考察數(shù)列前幾項的基本計算，這是最常見的考查方式，同時考查數(shù)列通式的求解.

例2 （2016浙江文科，17）

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*.

（Ⅰ）求通項公式an；

（Ⅱ）求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和.

例題精講

（1）由題意S2=4知：a1+a2=4a2=2a1+1，計算得a1=1a2=3，

又當n≥2時，由an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an，得an+1=3an，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1，其中n∈N*.

（2）設bn=|3n-1-n-2|，n∈N*，b1=2，b2=1，

當n≥3時，由于3n-1>n+2，故bn=3n-1-n-2，n≥3.

設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1=2，T2=3，

當n≥3時，Tn=3+9（1-3n-2）1-3-（n+7）（n-2）2=3n-n2-5n+112，

所以Tn=2，n=13n-n2-5n+112，n≥2，n∈N*

考點解析 這道題目難度中等偏上，將等比數(shù)列和等差數(shù)列結合起來考查，在往年高考中也多次出現(xiàn).主要考察等比數(shù)列的通項公式求解，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和的計算方法.

例3 （2016浙江文科，18）

已知an是等比數(shù)列，前n項和為Snn∈N*，且1a1-1a2=2a3，S6=63.

（Ⅰ）求an的通項公式；

（Ⅱ）若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項，求數(shù)列-1nb2n的前2n項和.

例題精講

（Ⅰ）設數(shù)列{an}的公比為q，由已知條件

1a1-1a2=2a3得

1a1-1a1q=2a1q2，

解得q=2或q=-1，又由

S6=a1（1-q6）1-q=63可得q≠-1，所以a1（1-26）1-2=63，

進一步求得a1=1，所以an=2n-1.

（Ⅱ）由題意得bn=12（log2an+log2an+1）=

12（log22n-1+log22n）=n-12，即數(shù)列bn是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.

設數(shù)列{（-1）nb2n}的前n項和為Tn，則T2n=（-b21+b22）+（-b23+b24）+…+（-b22n-1+b22n）=b1+b2+…+b2n=2n（b1+b2n）2=2n2

考點解析 （Ⅰ）求等比數(shù)列的通項公式，一般用待定系數(shù)法，先由1a1-1a1q=2a1q2

得到q=2或-1，再分別代入S6=63得q值.（Ⅱ）可以先根據(jù)等差中項得

bn=12（log2an+log2an+1）=12（log22n-1+log22n）=n-12

，再利用分組求和求解T2n=（-b21+b22）+（-b23+b24）+…+（-b22n-1+b22n）=b1+b2+…+b2n=2n（b1+b2n）2=2n2.

例4 （2016山東文科，19）

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1.

（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；

（Ⅱ）令cn=（an+1）n+1（bn+2）n.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

例題精講

（Ⅰ）由題意當n≥2時，an=Sn-Sn-1=6n+5，當n=1時，

a1=S1=11，符合an=Sn-Sn-1=6n+5，

所以{an}的通項公式為an=6n+5.

由題意an=bn+bn+1得

a1=b1+b2a2=b2+b3，設等差數(shù)列的公差為d，則

11=2b1+d17=2b1+3d，解得b1=4，d=3，得到bn=3n+1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=（6n+6）n+1（3n+3）n=3（n+1）·2n+1，又因為

Tn=c1+c2+c3+…+cn，代入得Tn=

3[2×22+3×23+4×24+…+（n+1）2n+1]，所以2Tn=3[2×23+3×24+4×25+…+（n+1）2n+2].

將以上兩式分別相減得到

-Tn=3[2×22+23+24+…+2n+1-（n+1）2n+2]=3[4+4（2n-1）2-1-（n+1）2n+2]=-3n·2n+2，故Tn=3n·2n+2.

考點解析 這道題目難度適中，主要考察三點：一是考察等差數(shù)列的通項公式、二是考察等比數(shù)列的求和、三是考察“錯位相減法”，“錯位相減法”是這道題的關鍵所在，要求學生能夠學會運用錯位相減法，要求考生計算過程仔細認真，需要比較高的計算能力.

例5 （2016北京文科，15）

已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和.

例題精講

（Ⅰ）等比數(shù)列{bn}的公比為q=b3b2=93=3，

所以b1=b2q=1，b4=b3q=27，

設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1=b1=1，a14=b4=27，

所以1+13d=27，解得d=2，所以an=2n-1，其中n∈N*.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n-1，bn=3n-1.

因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.

從而數(shù)列{cn}的前n項和

Sn=1+3+…+（2n-1）+1+3+…+3n-1=n（1+2n-1）2+1-3n1-3=n2+3n-12.

考點解析 這道題目難度中等偏上，主要考察等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，同樣要求考生有較高的運算能力.

例6 （2016四川理科，5）

某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（ ）

（參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年

例題精講

設第n年的研發(fā)投資資金為an（單位：萬元），則a1=130，則由“在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%”知

an=130×1.12n-1≥200，解得n≥5.所以公司從2019年開始投入的研發(fā)資金將超過200萬元.

答案：B

考點解析 這是一道等比數(shù)列的實際應用題目，主要考察等比數(shù)列通項公式的求解，考察學生對所學知識的實際運用能力.

例7 （2016江蘇數(shù)學Ⅰ，8）

已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a1+a22=-3，S5=10，則a9的值是 .

例題精講

設公差為d，則由題意可得a1+a1+d2=-3，5a1+10d=10，解得a1=-4，d=3，則a9=-4+8×3=20.

考點解析 通過填空題的形式來考察數(shù)列問題，難度不大，主要是要計算準確.

例8 （2016浙江理科，13）

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1=，S5=.

例題精講

由S2=4知a1+a2=4，a2=2a1+1a1=1，a2=3，再由an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）an+1-an=2anan+1=3an（n≥2），又因為a2=3a1，所以an+1=3an（n≥1），S5=1-351-3=121.

答案：1 121

考點解析 考察數(shù)列的前n項和，考察數(shù)列的首項的求解方法.同時需要考生注意的是要把求得的通項公式和首項進行比較，即把首項代入到通項公式里面進行驗證.

例9 （2016全國理科，17）

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan，其中λ≠0.

（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；

（Ⅱ）若S5=3132，求λ.

例題精講

（I）由Sn=1+λan知a1=S1=1+λa1，所以λ≠1，a1=11-λ，a1≠0.

再由Sn=1+λan，Sn+1=1+λan+1可知an+1=λan+1-λan，即an+1（λ-1）=λan，由a1≠0，λ≠1得an≠0，所以an+1an=λλ-1，

因此{an}是首項為

11-λ，公比為λλ-1的等比數(shù)列，于是an=11-λ（λλ-1）n-1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得到Sn=1-（λλ-1）n，由S5=3132，得到1-（λλ-1）5=3132，即（λλ-1）5=132，解得λ=-1.

考點解析 這道題目中出現(xiàn)了一個系數(shù)，所以很容易讓考生望而生畏，但是只要仔細分析，按部就班的計算，還是可以拿滿分.這道題目主要考察數(shù)列通項an與前n項和Sn的關系，以及等比數(shù)列的定義與通項及前n項和公式.

例10 （2016全國理科，3）

已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（ ）.

A.100 B.99 C.98 D.97

例題精講 由已知，9a1+36d=27a1+9d=8，所以a1=-1，d=1，a100=a1+99d=-1+99=98，故選C.

答案 C

考點解析 這道題目較簡單，主要考察等差數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列的通項公式及其運算.

例11 （2016全國理科，15）

設等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1·a2…an的最大值為.

例題精講

設等比數(shù)列{an}的公比為q（其中q≠0），由于

a1+a3=10a2+a4=5，所以得到

a1（1+q2）=10a1q（1+q2）=5，得到a1=8q=12

，所以

a1a2…an=an1q1+2+…+（n-1）=8n×（12）n（n-1）2=2-12n2+72n，由指數(shù)函數(shù)的單調性和二次函數(shù)的極值求解得，n=3或4時，

a1a2……an得最大值為64.

答案：64

考點解析 將等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)結合起來考察，題型較新穎，考察范圍較廣.

例12 （2016天津理科，18）

已知an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N*，bn是an和an+1的等比中項.

（Ⅰ）設cn=b2n+1-b2n，n∈N*，求證：cn是等差數(shù)列；

（Ⅱ）設 a1=d，Tn=∑2nk=1-1nb2n，n∈N*，求證：∑nk=11Tk<12d2.

例題精講

（Ⅰ）由題意得b2n=anan+1，又因為cn=b2n+1-b2n=an+1an+2-anan+1=2dan+1，所以cn+1-cn=2d（an+2-an+1）=2d2，所以{cn}為等差數(shù)列.

（Ⅱ）Tn=（-b21+b22）+（-b23+b34）+（-b22n-1+b22n）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d·n（a2+a2n）2=2d2n（n+1）

所以，∑nk=11Tk=12d2

∑nk=11k（k+1）=12d2

∑nk=1（1k-1k+1）=12d2·（1-

1n+1）<12d2.

考點解析 以證明題的方式來考察數(shù)列，初看可能感覺難度較大，但是仔細分析，考察的內容無非是等差數(shù)列、等比中項、分組求和、裂項相消求和等知識.

例13 （2016上海理科，23）

若無窮數(shù)列an滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，則稱an具有性質P.

（1） 若an具有性質P. 且a1=1， a2=2， a4=3， a5=2， a6+a7+a8=21，求a3；

（2） 若無窮數(shù)列bn是等差數(shù)列，無窮數(shù)列cn是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c5=1，b5=c1=81，

an=bn+cn，判斷an是否具有性質P，并說明理由；

（3） 設bn是無窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求證：“對任意a1，an都具有性質P”的充要條件為“bn是常數(shù)列”.

例題精講

（1） 因為a2=a5=2，所以a3=a6，所以a4=a7=3，所以a5=a8=2，所以a6=21-a7-a8=16，所以a3=16.

（2）設bn的公差為d，cn的公比為q，則q>0.

b5-b1=4d=80，所以d=20，所以bn=20n-

19，

c5c1=q4=181，所以q=13，所以cn=（13）n-5，所以an=bn+cn=20n-19+（13）n-5，因為a1=82， a5=82，

而a2=21+27=48， a6=101+13=3043，a1=a5但a2≠a6，

故an不具有性質P.

（3） 充分性：若bn為常數(shù)列，設bn=C，則an+1=C+sinan.

若存在p，q使得ap=aq，

則ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，

故an具有性質P.

必要性：若對任意a1，an具有性質P，則a2=b1+sina1

設函數(shù)f（x）=x-b1， g（x）=sinx.

由f（x），g（x）圖像可得，對任意的b1，二者圖像必有一個交點.

所以一定能找到一個a1，使得a1-b1=sina1，所以a2=b1+sina1=a1，

所以an=an+1，

故bn+1=an+2-sinan+1=an+1-sinan=bn.

所以bn是常數(shù)列.

考點解析 將數(shù)列題目作為高考的最后一道壓軸題目，在歷年高考數(shù)學試卷中實屬罕見，難度也非常大.整個題目涉及函數(shù)圖象、三角函數(shù)、充分必要條件，想要做全對還是比較困難的.考察了學生對高中數(shù)學多個知識點的掌握程度、考察學生邏輯思維的連貫性，要求考生有縝密的思維、超高的計算能力.

四、復習策略數(shù)列作為高考的必考點，難度中等偏上.不僅要求考生掌握基本知識點，更要求考生有很高的計算能力、邏輯思維能力.

（1）能夠對高中數(shù)列的基礎知識熟練掌握，達到融會貫通、舉一反三的效果；

（2）考生在平時學習的過程中要嘗試將理論學習與實際運用結合在一起，將數(shù)列與生活結合起來；

（3）多練習，從題目的練習過程中理解數(shù)列基本概念，練習的同時提高計算能力；

（4）嘗試將數(shù)列與三角函數(shù)、二次函數(shù)等知識聯(lián)系起來，尤其是老師在平時上課的時候要多將不同知識點放在一起訓練.