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    關(guān)于莫利秩3的無(wú)限群結(jié)構(gòu)的探討

    2017-03-29 14:06:05楊年西淮北師范大學(xué)信息學(xué)院安徽淮北235000
    關(guān)鍵詞:莫利前提條件子群

    楊年西(淮北師范大學(xué)信息學(xué)院,安徽淮北 235000)

    關(guān)于莫利秩3的無(wú)限群結(jié)構(gòu)的探討

    楊年西
    (淮北師范大學(xué)信息學(xué)院,安徽淮北 235000)

    為了研究莫利秩3的連通群的結(jié)構(gòu),將其分成兩類(lèi),分別是好群和壞群。本文在已知有限莫利秩的無(wú)限群具有降鏈條件下,利用降鏈條件,證明了壞群G是莫利秩3的連通群且Z(G)=1,則?x≠1,x∈G,CG(x)是連通的莫利秩1的群。?x,y≠1,x,y∈G,群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共軛或相等。

    可解群;有限莫利秩群;連通群;無(wú)限群

    莫利秩是1965年由莫利(Morley)定義的,此后,數(shù)學(xué)家Gregory Cherlin和Boris Zil’ber研究有限莫利秩的代數(shù)結(jié)構(gòu)并提出無(wú)限單群代數(shù)猜想(Cherlin-Zil’ber猜想),是指有限莫利秩的無(wú)限單群是在代數(shù)閉域上的線性代數(shù)群[1-2];有限莫利秩的群的研究思想和方法部分來(lái)源于有限群,因?yàn)闊o(wú)限階的元素往往是豐富的,通常不能通過(guò)元素階無(wú)限來(lái)分析群的結(jié)構(gòu);Cherlin把莫利秩3的連通群分成兩類(lèi),分別是好群和壞群,把莫利秩3的連通群含有確定的莫利秩2的群稱為好群,否則稱為壞群;Cherlin給出一個(gè)猜想,即莫利秩3的連通群的壞群是不存在的.本文探討莫利秩3的連通群的壞群性質(zhì)和結(jié)構(gòu).

    1 預(yù)備知識(shí)

    有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-穩(wěn)定的RM(G)<ω(TH(G)表示群G所確定完全的理論,RM(G)表示群G的莫利秩);有限莫利秩的無(wú)限子群具有降鏈條件,也就是說(shuō),沒(méi)有無(wú)限確定子群滿足降鏈G>G1>G2>…[1].類(lèi)似地,代數(shù)幾何中的代數(shù)群,連通部分(用G0表示)是指群G中最小確定有限指數(shù)的子群[1];莫利給出幾個(gè)事實(shí),指出有限莫利秩的無(wú)限群有無(wú)限確定交換子群[1-2];有限莫利秩的無(wú)限群RM(G)=1,則群G0是無(wú)限交換群;Nesin A證明了有限莫利秩的連通的可解導(dǎo)群是連通的冪零群[3].本文中,C(X)表示群G的中心化子,RM(X)表示集合X的莫利秩.本文采用的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的,主要參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2].

    定義1[2]一個(gè)不可解的連通的有限莫利秩群G,如果群G的連通的真子群都是冪零的,則稱群G是一個(gè)壞群.

    引理1[4]如果群G是連通有限莫利秩的無(wú)限冪零群,那么Z(G)是無(wú)限的.

    引理2 一個(gè)有限莫利秩的群G,如果B?G,B是交換群,Z(G)為G中心,則B·Z(G)是交換群.

    證明 設(shè)?x,y∈B·Z(G),不妨設(shè)x=a·b,a,c∈B,b,d∈Z(G),x·y=ab·cd=a·c·d·b=c·a·d·b=cd·ab=y·x,且xy∈B·Z(G),根據(jù)群的定義,B·Z(G)是交換群.

    引理3[5]假設(shè)無(wú)限群G是莫利秩2的連通群,則群G是可解的.

    引理4 設(shè)N?G,N和G/N均可解,則G可解.

    證明 已知G/N可解,依據(jù)文獻(xiàn)[6]的定理4.12,存在一個(gè)整數(shù)n,(G/N)(n)=1=G(n)N/N,推出G(n)?N,由于N可解,存在整數(shù)m,(N)(m)=1=G(n+m)=1,即G可解.

    2 主要結(jié)論

    定理1 假設(shè)非可解群G是連通的莫利秩3的群,如果群G存在確定莫利秩2子群T,則子群T一定是非冪零子群.

    證明 假設(shè)群T是冪零群,則群T的子群也是冪零的,設(shè)A=T0,群A是確定的連通的莫利秩2的冪零群.存在群A的正規(guī)化子N=N(A),因?yàn)榍疤釛l件非可解群G是連通的莫利秩3的群,而子群N≠G,所以子群N是莫利秩2的群.

    設(shè)x∈G-N,那么A∩AX≠A,分兩種情況討論:(1)假設(shè)A∩AX為有限群,則MR(A∩AX)=0,結(jié)果MR(AAX)=4;而AAX?G,則MR(AAX)≤MR(G)=3,產(chǎn)生矛盾.(2)假設(shè)A∩AX為無(wú)限群,且A∩AX≠A,可得MR(A∩AX)=1.計(jì)算AAX的莫利秩,MR(AAX)=3.設(shè)B=(A∩AX)0,群B是連通的莫利秩1的群,則群B是交換群.因?yàn)槿篈是確定連通的莫利秩2冪零群,根據(jù)引理1,中心Z(A)是無(wú)限群.

    下面證明群B?Z(A),假設(shè)A=Z(A),則B?Z(A).假設(shè)A≠Z(A),因群A是確定的連通的莫利秩2的冪零群,推導(dǎo)出RM(Z(A))=1.對(duì)B∩Z(A)的莫利秩再分兩種情況討論:(1)假設(shè)RM(B∩Z(A))=1,因B是連通的莫利秩1的群,則B?Z(A);(2)假設(shè)RM(B∩Z(A))=0,推導(dǎo)出RM(B·Z(A))=2,因?yàn)槿篈是確定連通的莫利秩2冪零群,即B·Z(A)=A,根據(jù)引理2,則有B·Z(A)是交換群,即A=Z(A),則B?Z(A).

    因?yàn)樽尤篈X也是確定連通的莫利秩2冪零群零群,同理也可以證明群B?Z(AX).因?yàn)锳?C(B),Ax?C(B),則AAX?C(B).而MR(AAX)=3,因?yàn)槿篏是連通的莫利秩3的群,則C(B)=G,推導(dǎo)出群B是非可解群G的正規(guī)子群.因群B是交換群,則群B是可解群,計(jì)算莫利秩得MR(G/B)=2,根據(jù)引理3,商群G/B是可解的,再由引理4可知,群G是可解的.則得出群G與前提條件不可解的矛盾.即假設(shè)群T是冪零群不成立,則子群T一定是非冪零子群.

    根據(jù)定理1的證明可知,一個(gè)莫利秩3的不可解群G,如果有確定的莫利秩2的真子群,莫利秩2的真子群一定是非冪零的,可以推導(dǎo)出莫利秩3的壞群G一定沒(méi)有確定的莫利秩2的真子群.

    定理2 連通的莫利秩3的群G是壞群,且Z(G)=1,則?x∈G,x≠1,RM(C(x))=1.

    證明 連通的莫利秩3的群G是壞群,那么群G沒(méi)有確定莫利秩2的子群.已知C(X)是確定子群,所以RM(C(x))≠2.如果RM(C(x))=3,則C(x)=G,推導(dǎo)出?x∈Z(G),x≠1,與前提條件Z(G)=1矛盾,即RM(C(x))≠3.如果RM(C(x))=0,那么C(x)是有限的,{xG}是確定的子集,且RM({xG})=3.計(jì)算連通的莫利秩3的群G的莫利度等于C(X)群的階,|C(X)|≥2,與連通的莫利秩3的群G的莫利度是1矛盾,由上面的討論可知,RM(C(x))=1.

    引理5 假設(shè)連通的莫利秩3的群G是壞群,且Z(G)=1,如果?x∈G,x≠1,?x,y∈G,x,y≠1,C0(x)∩C0(y)≠1,則C0(x)=C0(y).

    證明 設(shè)a∈C0(x)∩C0(y),a≠1,根據(jù)定理2,可以推導(dǎo)出C0(x)和C0(y)都是莫利秩1的交換群,C0(x),C0(y)?C0(a).假設(shè)C0(x)∩C0(y)是有限的,那么RM(C0(a))≥2.現(xiàn)在分析C0(a)的莫利秩,連通的莫利秩3的群G是壞群,根據(jù)定理1,不存在確定莫利秩2的群,那么RM(C0(a))≠2.如果RM(C0(a))=3,因?yàn)槿篏是莫利秩3的連通群,則C0(a)=G,可以推導(dǎo)出a∈Z(G),a≠1,與前提條件矛盾,可知C0(x)∩C0(y)是有限的這一結(jié)論不成立,由此得到C0(x)∩C0(y)是無(wú)限的,所以C0(x)∩C0(y)為莫利秩1的交換群,其連通分支具有唯一性,則C0(x)∩C0(y)=C0(y)=C0(x).

    定理3 假設(shè)連通的莫利秩3的群G是壞群,且Z(G)=1,那么?x∈G,x≠1,C(x)是連通的.

    證明 設(shè)?a∈G,x≠1,記T=C(a),A=C0(a),設(shè)b∈A∩Ag且b≠1,A和Ag都是連通的莫利秩1的群,可得A?C(b),Ag?C(b).因?yàn)槟?的單群G是壞群,可以推導(dǎo)出只有RM(C(b))=1;A和Ag都是連通的莫利秩1的群.由RM(C(b))=1,C(b)的莫利秩1的連通群具有唯一性,即可得A=Ag.

    記D=∪{Ag,g∈G},下面證明D=G.首先假設(shè)D≠G,因?yàn)镽M(N(A))=1,[N(A)∶A]是有限的,通過(guò)計(jì)算,RM(D)=3,且D是正規(guī)子集.不妨假設(shè)存在y∈(G-D)且y≠1.由定理1,得到RM(C(y))=1.設(shè)B=C0(y),D1=∪{Bg,g∈G},顯然D1也是一個(gè)莫利秩3的正規(guī)子集,群G是莫利秩3的連通的群,那么必然存在s∈D∩D1,s≠1,即s∈Ag,s∈Bh,由于Ag和Bh是莫利秩1的連通群,得到Ag=Bh.推導(dǎo)出A和B是共軛的,即得到D=D1.如果T≠A,RM(A)=1,由A是T的正規(guī)子群,則RM(T-A)=1.又記集合D2=∪{(T-A)g,g∈G},假設(shè)(T-A)k∩(T-A)是無(wú)限的,顯然Tk∩T是無(wú)限群,因T連通分支是唯一的,得到A∈Tk∩T,推導(dǎo)出Ak=A,可知(T-A)k∩(T-A)是有限的,計(jì)算出D2莫利秩和D的莫利秩相等,得到RM(D2)=3.

    由RM(D)=3和RM(D2)=3,得到群G是莫利秩3的連通的群,D2∩D必然有無(wú)限多個(gè)元素,那么存在y∈(T-A)滿足yh∈D2∩D.設(shè)yh∈Ak,記d=kh-1,經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化和替換,得到y(tǒng)∈Ad,Ad是連通的莫利秩1的交換群,記g=d-1,經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化和替換,則yg∈A.商群|T/A|的階是有限的,所以存在正整數(shù)n,假設(shè)yn∈A,yn≠1,有y∈Ad,顯然yn∈Ad,推導(dǎo)出yn∈A∩Ad.由引理5,得到y(tǒng)∈A=Ad,與y∈(T-A)產(chǎn)生矛盾.假設(shè)yn=1,因?yàn)閥∈NG(A),A是交換群,由文獻(xiàn)[2]13頁(yè)11題的結(jié)論可知,CA(y)是無(wú)限的,因?yàn)锳是連通的莫利秩1的群,則A=CA(y)?CG(y),可以推導(dǎo)出y∈A=Ad與y∈(T-A)矛盾.因此D≠G假設(shè)不成立,得到D=G相等,即C(x)是連通的.

    推論1 壞群G是莫利秩3的連通群,且Z(G)=1,則?x,y∈G,x,y≠1,群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共軛或相等,而且G=∪{(CG(x))g,g∈G}.

    證明 根據(jù)定理3,?x,y∈G,x,y≠1,群CG(x)和群CG(y)在群G中是莫利秩1的連通群,由于G=∪{(CG(x))g,g∈G},由引理5可知,群CG(x)和群CG(y)在群中相互共軛或相等.

    [1]Marker D.模型論引論[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

    [2]Borovik A,Nesin A.Groups of Finite Morley Rank[M].New York:The Clarendon Press Oxford University Press,1994.

    [3]Burdges J.Simple Groups of Finite Morley Rank of Odd and Degenerate Type[D].New Jersey New Brunswick:Rutgers University,2004.

    [4]楊年西.關(guān)于有限莫利秩的無(wú)限冪零群的性質(zhì)探討[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào),2016(6):987-988.

    [5]楊年西.關(guān)于莫利秩2的連通群的性質(zhì)探討[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào),2016(4):12-14.

    [6]徐明曜.有限群論(上)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

    Study on the Structures of the Connected Groups of Morley Rank 3

    YANG Nian-xi

    (Information College, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000,China)

    We considered two classes of connected groups of Morley rank 3 is conducive to the study of its structure,respectively they are a good group or bad group. We know that any infinite group of finite Morley rank satisfies the descending chain condition, according to the descending chain condition,we show thatGbe a centerless, bad group of connected groups of Morley rank 3, Then ?x≠1,x∈G,CG(x) be a connected groups of Morley rank 1,and ?x,y≠1,x,y∈G,CG(x)andCG(y) are conjugate to each other or equal.

    solvable group; group of finite Morley rank; connected group; infinite group

    2017-03-22

    安徽高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目“模型論在群論中的應(yīng)用研究”(KJ2016A646)。

    楊年西(1972- ),男,講師,碩士,從事模型論研究。

    O142

    A

    2095-7602(2017)06-0012-03

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