數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的疑難問題與策略分析

張鋒

[摘 要] 正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式、法則的基礎(chǔ)，也是學(xué)生提高解題能力的關(guān)鍵. 教學(xué)時(shí)，教師要從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度提出學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)出現(xiàn)的一些疑難問題，進(jìn)而尋找概念學(xué)習(xí)過程中的五條應(yīng)對(duì)策略.

[關(guān)鍵詞] 概念學(xué)習(xí)；疑難；策略

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)重要內(nèi)容，它是反映現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式. 正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式、法則的基礎(chǔ)，也是學(xué)生提高解題能力的關(guān)鍵.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些教師對(duì)概念的教學(xué)往往“視而不見”，他們更多地關(guān)注學(xué)生運(yùn)用概念的能力，而不是幫助學(xué)生建構(gòu)、理解概念. 這種輕視概念教學(xué)、通過反復(fù)練習(xí)來鞏固概念的做法，直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的模糊認(rèn)識(shí)和機(jī)械理解，更談不上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 任何數(shù)學(xué)概念都有它產(chǎn)生的背景，要讓學(xué)生正確理解概念，就要讓學(xué)生知道其產(chǎn)生的背景，通過實(shí)例分析概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)概括、理解概念的內(nèi)涵與外延，從而進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用概念. 本文以數(shù)與式的教學(xué)為例，從學(xué)生學(xué)習(xí)角度分析學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)出現(xiàn)的一些疑難問題以及應(yīng)對(duì)策略.

疑難分析

案例1 “實(shí)數(shù)”教學(xué)片段

上課一開始，教師就給出無理數(shù)的概念：我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)，把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù). 實(shí)數(shù)可以這樣劃分：

當(dāng)然，實(shí)數(shù)還可以這樣分：

接著舉了大量的數(shù)，讓學(xué)生判斷是什么數(shù)……

這樣的安排看起來似乎省了很多時(shí)間，但學(xué)生的情況又怎樣呢？學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的理解還是只停留在表面，缺乏深入的了解，因此學(xué)生有很多疑問：有理數(shù)和無理數(shù)的存在形式是怎樣的？它們之間有什么差異與聯(lián)系？從什么角度對(duì)數(shù)進(jìn)行分類？怎樣分類才能做到不重復(fù)、不遺漏？為什么要學(xué)習(xí)無理數(shù)？為什么要擴(kuò)充數(shù)系？……

學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)概念的把握不到位，與教師的教法固然有關(guān)，但也與學(xué)生本身的基礎(chǔ)知識(shí)、學(xué)習(xí)方法有關(guān)，因?yàn)樗鼤?huì)直接影響學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用，也會(huì)影響他們思維能力的發(fā)展，甚至?xí)憩F(xiàn)出思路閉塞、邏輯紊亂的情況.

學(xué)生為什么會(huì)對(duì)無理數(shù)概念的理解似是而非，抓不住本質(zhì)？

首先，這是由學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)所決定的. 初中生認(rèn)識(shí)事物還帶有很大的形象性，善于進(jìn)行形象思維，而不善于抽象思維，他們常常被一些非本質(zhì)的表面現(xiàn)象所吸引. 有些學(xué)生習(xí)慣用機(jī)械背誦的方法來記憶概念，導(dǎo)致不會(huì)靈活、準(zhǔn)確地運(yùn)用. 做習(xí)題時(shí)，他們只能依樣畫葫蘆，遇到問題的條件或形式稍有變化，就束手無策，因此，在概念教學(xué)中，教師應(yīng)注意發(fā)揮學(xué)生的智力因素，培養(yǎng)學(xué)生自己去獲取知識(shí)的能力.

其次，教師不重視概念教學(xué)，分不清主次或要求不當(dāng)也是造成學(xué)生概念學(xué)習(xí)困難的一個(gè)原因. 如一些教師未認(rèn)識(shí)到概念教學(xué)的重要性，他們對(duì)概念的講解往往是蜻蜓點(diǎn)水，一帶而過，而將精力花費(fèi)在定理、法則的推導(dǎo)與應(yīng)用上，這完全是本末倒置、事倍功半的做法. 也有教師只給出概念的描述（定義），而不去揭示概念的科學(xué)內(nèi)涵，這種教法既缺乏對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)本身的科學(xué)了解，又缺乏對(duì)概念教學(xué)應(yīng)有技能的訓(xùn)練. 還有的教師對(duì)概念教學(xué)分不清主次，眉毛、胡子一把抓，平均使用力量，講解得很吃力，效果卻不好，讓學(xué)生感到乏味. 另外，也有教師對(duì)概念的教學(xué)要求把握不當(dāng)，對(duì)所有的概念都要求學(xué)生理解、記憶、比較. 對(duì)此，曾有位數(shù)學(xué)大師說過：“要我準(zhǔn)確回答什么是等式，什么是方程，什么是坐標(biāo)系等，也確實(shí)有一定的困難.”對(duì)一些次要概念，在不影響學(xué)習(xí)的情況下可適當(dāng)“弱化”. 適當(dāng)?shù)我拍钍乾F(xiàn)代教學(xué)的一種趨勢(shì)，但要把握好“度”.

概念教學(xué)策略

概念作為一種思維形式，是現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特征在思維中的反映，是判斷和推理的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的必要條件. 一切分析、推理、想象都要依據(jù)概念和運(yùn)用概念. 概念是思維的細(xì)胞，是思維的出發(fā)點(diǎn)，荀子語：“源清則流清，源濁則流濁. ”學(xué)生只有理解了概念，才能掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，才能靈活地運(yùn)用知識(shí)和技能正確地進(jìn)行判斷、推理、運(yùn)算. 加強(qiáng)概念的教學(xué)，既可使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解，又可以培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)文本閱讀能力和自覺鉆研的精神.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求是揭示概念的內(nèi)涵與外延，使學(xué)生深刻理解概念，牢固掌握概念，靈活運(yùn)用概念，即達(dá)到理解、鞏固、系統(tǒng)、會(huì)用的目的. 根據(jù)初中生的年齡特點(diǎn)，在數(shù)與式的概念教學(xué)中，宜采用以下一些方法.

1. 聯(lián)系實(shí)際，自然引入概念

概念是比較抽象的知識(shí)，因此在引入新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，要根據(jù)學(xué)生實(shí)際，考慮其接受能力，從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜引入概念. 如教學(xué)“正數(shù)與負(fù)數(shù)”時(shí)，可以這樣進(jìn)行：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)好奇

課件展示：珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地，由同學(xué)感受高于水平面和低于水平面的不同情況.

歡迎同學(xué)們成為初一年級(jí)的一名學(xué)生，從今天開始，老師將帶領(lǐng)大家開始神奇的數(shù)學(xué)之旅. 在我們的這個(gè)教室中就有許多數(shù)學(xué)的應(yīng)用，我們?cè)谝粋€(gè)長(zhǎng)約為10米、寬約為6米的教室里學(xué)習(xí)，多數(shù)同學(xué)都是13歲，我們班共49人，約占全年級(jí)學(xué)生人數(shù)的12.2%，我們的講臺(tái)寬0.8米、長(zhǎng)1.2米……

問題1：老師剛才的描述中出現(xiàn)了你所熟悉的哪幾類數(shù)字？你能將以前所學(xué)的數(shù)字進(jìn)行分類嗎？（學(xué)生交流后回答）

以前我們學(xué)過的數(shù)，實(shí)際上主要有兩類，分別是整數(shù)和分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）.

問題2：那么，在實(shí)際生活中，僅有整數(shù)和分?jǐn)?shù)夠用嗎？你能舉例說明嗎？

（2）合作交流，探究新知

某市某一天的最高溫度是零上5℃，最低溫度是零下5℃. 要表示這兩個(gè)溫度，如果只用小學(xué)學(xué)過的數(shù)，都記作5℃，就不能把它們區(qū)別清楚，這兩個(gè)量表示的意義正好相反.

現(xiàn)實(shí)生活中，像這樣表示相反意義的量還有很多.

例如，前面展示的珠穆朗瑪峰高于海平面8848米，吐魯番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意義是相反的. 某倉庫昨天運(yùn)進(jìn)貨物2噸，今天運(yùn)出貨物5噸，“運(yùn)進(jìn)”和“運(yùn)出”，其意義是相反的. 汽車向東行駛50米和向西行駛120米，“向東”和“向西”的意義是相反的.

想一想：以上都是一些具有相反意義的量，你能用小學(xué)算術(shù)中的數(shù)表示出每一對(duì)量嗎？你能再舉一些日常生活中具有相反意義的量嗎？該如何表示它們呢？

為了用數(shù)表示具有相反意義的量，我們把其中一種意義的量，如零上溫度、前進(jìn)、收入、上升、高出等規(guī)定為正，而把與它相反的量，如零下溫度、后退、支出、下降、低于等規(guī)定為負(fù). 正的量用算術(shù)里學(xué)過的數(shù)或在學(xué)過的數(shù)前面加“+”（讀作正）號(hào)表示，負(fù)的量用學(xué)過的數(shù)前面加上“-”（讀作負(fù)）號(hào)來表示（零除外）.

活動(dòng)：每組同學(xué)相互合作交流，一個(gè)同學(xué)任意說出有關(guān)相反意義的兩個(gè)量，由其他同學(xué)用正負(fù)數(shù)表示.

討論：什么樣的數(shù)是負(fù)數(shù)？什么樣的數(shù)是正數(shù)？0是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？自己列舉正數(shù)、負(fù)數(shù).

總結(jié)：正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是在正數(shù)前面加“-”號(hào)的數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界. 零不是表示“沒有”，它表示一個(gè)實(shí)際存在的數(shù)量. 并指出：正數(shù)、負(fù)數(shù)中的“+”“-”號(hào)是表示性質(zhì)相反的量，符號(hào)寫在數(shù)字前面.

本節(jié)課從學(xué)生身邊熟悉的數(shù)據(jù)入手，回顧小學(xué)里學(xué)過的數(shù)的類型. 通過舉例我們發(fā)現(xiàn)生活中具有相反意義的量，說明了引入負(fù)數(shù)的必要性；現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題讓學(xué)生體會(huì)到了負(fù)數(shù)的應(yīng)用，以及正數(shù)和負(fù)數(shù)具有表示相反意義的量的作用；通過舉例得出了正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的定義；通過練習(xí)、討論，明確了0的歸屬（0即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)）.

2. 類比分析，快速接受概念

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，運(yùn)用類比的方法對(duì)概念進(jìn)行辨析，前后知識(shí)點(diǎn)互相對(duì)應(yīng)，溫故而知新，這對(duì)學(xué)生理解概念大有裨益. 同時(shí)，也有助于加強(qiáng)概念之間的聯(lián)系，有助于對(duì)概念的理解、記憶，能增強(qiáng)思維的靈活性.

數(shù)學(xué)中的許多概念有本質(zhì)不同的一面，又有內(nèi)在聯(lián)系的一面，學(xué)習(xí)時(shí)，如果只注意某一概念本身，忽視不同概念之間的區(qū)別，那么就會(huì)對(duì)概念的掌握停留在膚淺的表面. 因此，我們可采用類比法區(qū)別異同. 通過比較，可排除那些與概念中描述無關(guān)或相異的性質(zhì)，突出概念的本質(zhì)屬性. 同時(shí)，通過類比可以發(fā)現(xiàn)新、舊知識(shí)之間的相同點(diǎn)，利用已有知識(shí)認(rèn)識(shí)新知識(shí). 例如，學(xué)習(xí)分式的概念時(shí)，可通過與分?jǐn)?shù)類比來學(xué)習(xí). 總之，抓住新、舊知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系，有目的、有計(jì)劃地讓學(xué)生將有關(guān)新、舊知識(shí)進(jìn)行類比，就能很快得出新、舊知識(shí)在某些屬性上的相同或相似的結(jié)構(gòu)，從而引進(jìn)概念.

因此，采用類比法學(xué)習(xí)概念，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)類比對(duì)象與學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的共性、差異和特殊性，能啟發(fā)學(xué)生的思維，能加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握.

3. 知識(shí)重組，加深概念理解

在一些課堂教學(xué)中經(jīng)?？梢钥吹浇處煘榱四硞€(gè)概念反復(fù)地講，逐字逐句地推敲，又是畫圈，又是畫線，而學(xué)生在這個(gè)概念上還是一錯(cuò)再錯(cuò)，即使課堂上把概念講清了，學(xué)生理解了，但時(shí)間一長(zhǎng)，學(xué)生又遺忘了. 究其原因，就是學(xué)生沒有加強(qiáng)新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生頭腦中沒有一個(gè)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行重組和改造的過程.

任何一個(gè)概念都不是孤立的，它總處在與其他概念的相互聯(lián)系中. 學(xué)生的學(xué)習(xí)都是通過概念同化習(xí)得新概念的. 在學(xué)習(xí)復(fù)雜概念之前，一般先學(xué)習(xí)更簡(jiǎn)單的概念，把它作為新概念的先行組織者，聯(lián)系學(xué)生已學(xué)過的有關(guān)概念來闡明新概念，這是一個(gè)重要的方法.

實(shí)踐表明，用先前的一個(gè)概念推導(dǎo)出新的概念，這樣既能使學(xué)生較好地理解新的概念，又能幫助學(xué)生樹立起聯(lián)系的思維方法，形成邏輯思維能力. 把新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念建立適當(dāng)聯(lián)系，同時(shí)新概念與有關(guān)概念進(jìn)一步分化、融會(huì)貫通，能形成一個(gè)統(tǒng)一的整體. 例如，學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，可以對(duì)比整式乘法來學(xué)習(xí)，如單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、乘法公式等，由因式分解定義可知把整式乘法倒過來便可以得到因式分解. 在因式分解的教學(xué)過程中，始終抓住這一實(shí)質(zhì)，難點(diǎn)就可以迎刃而解了. 同時(shí)還可以運(yùn)用它們之間的這一關(guān)系檢查因式分解的結(jié)果是否正確. 因此，從數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系來學(xué)習(xí)概念，可深化對(duì)所學(xué)概念的認(rèn)識(shí).

4. 變式訓(xùn)練，揭示概念內(nèi)涵

經(jīng)常有老師埋怨學(xué)生學(xué)得死，不會(huì)靈活運(yùn)用，究其原因就是學(xué)生沒有很好地把握概念的本質(zhì). 數(shù)學(xué)概念往往都是從正面闡述的，這常會(huì)導(dǎo)致“滿以為掌握了概念，但碰到具體的數(shù)學(xué)問題又難以做出正確判斷”的情況. 如果通過反例從反面或側(cè)面去剖析，凸出事物中隱藏的本質(zhì)，就可以深化對(duì)概念的理解.

在數(shù)學(xué)概念的形成過程中，正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“凈化”概念，從而盡可能避免非本質(zhì)屬性泛化的錯(cuò)誤，使數(shù)學(xué)概念的概括精確化，提高了概念教學(xué)的有效性. 通過變式教學(xué)，可以使學(xué)生排除概念中的非本質(zhì)特征，讓學(xué)生能抓住本質(zhì)特征. 當(dāng)然，在使用比較的方法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，必須在這個(gè)概念已經(jīng)建立得比較清楚、牢固的基礎(chǔ)上，再引入其他相關(guān)概念進(jìn)行比較. 也就是說，反例的運(yùn)用是有時(shí)機(jī)的. 一般來說，我們不能在學(xué)生剛剛接觸概念時(shí)就運(yùn)用反例，否則將有可能使錯(cuò)誤概念先入為主，不僅不會(huì)加深學(xué)生對(duì)概念的理解，反而容易產(chǎn)生混淆現(xiàn)象.

因此，學(xué)習(xí)概念時(shí)，既要通過正例來揭示其本質(zhì)，又要恰當(dāng)?shù)赝ㄟ^反例來排除非本質(zhì)特征的干擾，還要交代規(guī)范的名稱、符號(hào)、表示方法和概念間的關(guān)系等. 只有這樣，才能使學(xué)生明確概念的科學(xué)內(nèi)涵.

5. 語言表達(dá)，促進(jìn)概念使用

語言表達(dá)是概念學(xué)習(xí)過程中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié). 數(shù)學(xué)中各種結(jié)論的獲得都要依靠邏輯推理，而數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力直接影響邏輯推理的進(jìn)行，當(dāng)然，也影響數(shù)學(xué)概念的形成. 當(dāng)一個(gè)概念（或定理）用符號(hào)提出時(shí)，它很容易被記住和使用，但不能明顯地看出運(yùn)用它的條件. 有一些學(xué)生會(huì)認(rèn)為：學(xué)習(xí)概念時(shí)，記憶符號(hào)比記憶語言容易一些. 但這些學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們只會(huì)把新概念孤立地使用，時(shí)間一長(zhǎng)就會(huì)忘掉已經(jīng)記憶的大部分內(nèi)容，而把新知識(shí)與以前記憶的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)混淆起來. 例如，學(xué)習(xí)“絕對(duì)值”知識(shí)時(shí)，有的初學(xué)者在運(yùn)用公式a=a（a≥0），-a（a<0） 時(shí)，只會(huì)解決具體數(shù)的化簡(jiǎn)，而對(duì)于較抽象的字母問題，則常會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤：∣a-1∣=a-1. 這是因?yàn)椋@樣的學(xué)生只限于記住其符號(hào)表示形式. 但如果理解其本質(zhì)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，那么他就應(yīng)知道先判斷a-1的符號(hào)，然后分a-1≥0和a-1<0兩種情況進(jìn)行分類討論. 由此可看出，當(dāng)一個(gè)學(xué)生善于將概念用語言準(zhǔn)確表達(dá)出來時(shí)，他肯定會(huì)理解這個(gè)概念的意義，這樣會(huì)促進(jìn)他今后對(duì)這一概念的正確使用.

總之，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，只要從教材和學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，注重?cái)?shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的策略，就一定能提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果，從而提高學(xué)生的思維水平.