數(shù)與形，結(jié)合與深入

岑茜　高明

【摘要】 如今，數(shù)形結(jié)合的思想有著重要的地位.這種思想的應(yīng)用非常廣泛，它是數(shù)學(xué)解題中時(shí)常用到的一種思想方法，這種思想可以使某些抽象難理解的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠?qū)⒊橄笏季S轉(zhuǎn)化為形象具體的思維，有助于我們把握理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合；解題應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考查，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既對(duì)立又統(tǒng)一，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系常常又可以通過幾何圖形做出直觀的反映.

一、數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在不等式問題上能起到鬼斧神工的效果，當(dāng)不等式大于零時(shí)，代表函數(shù)圖像在x軸上方；當(dāng)不等式小于零時(shí)，代表函數(shù)圖像在x軸下方.所以，在解不等式時(shí)，我們應(yīng)先把函數(shù)圖像畫出來，再通過觀察函數(shù)圖像得到不等式的解集，比如下面的例子.

例1 解關(guān)于x的不等式|x2+2x|< 3 2 .

分析 像這種含有絕對(duì)值的不等式，首先，我們想到的是把絕對(duì)值符號(hào)去掉，而這里如果去掉絕對(duì)值符號(hào)，我們需要分類討論，即討論x2+2x的正負(fù)；我們也可以利用含絕對(duì)值符號(hào)的不等式性質(zhì)求解，即若|f（x）|a，則f（x）>a或f（x）<-a（其中a>0）.除這兩種方法之外，我們還可以用數(shù)形結(jié)合思想來考慮此題，即畫出函數(shù)圖像，再觀察兩個(gè)函數(shù)圖像的高低.

解 設(shè)y1=|x2+2x|，y2= 3 2 ，在直角坐標(biāo)系中做出這兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖1所示，則原不等式的解集即為滿足函數(shù)y1=|x2+2x|的圖像在函數(shù)y2= 3 2 圖像下方的x的集合，即在圖中A、B兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，又因?yàn)榉匠蘾x2+2x|= 3 2 的解為x=± 2- 10 2 ，所以原不等式的解集為 x -2- 10 2

圖1

注：對(duì)于此題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來解答，相對(duì)于其他方法來說沒有體現(xiàn)出很大的優(yōu)越性，但是，如果不等式再加大難度的話，前面兩種方法就很難解決了，而數(shù)形結(jié)合在不等式中不管題的難易程度多大，它都是非常適用的.

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)的圖像和性質(zhì)是利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的重要載體，在解題中，我們應(yīng)做到看見解析式便可想到它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，并能將函數(shù)圖像畫出來，再由函數(shù)圖像的性質(zhì)找出它所對(duì)應(yīng)的代數(shù)式.養(yǎng)成這樣的好習(xí)慣，便可隨時(shí)記住數(shù)形結(jié)合思想，這對(duì)我們解題有很大的幫助，比如下面例子.

例2 求函數(shù)y= cosθ- 3 sinθ+1 的最大值.

分析 此題函數(shù)解析式是含有正余弦函數(shù)的分式形式，若想直接求得其最小值，很困難.我們觀察它的形式，可以看成是直線的斜率公式，由此，我們就將這一難題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的直線斜率問題了.

圖2

解 如圖2，則 cosθ- 3 sinθ+1 可以看成過點(diǎn)A（sinθ，cosθ）與點(diǎn)B（-1， 3 ）的直線的斜率.點(diǎn)A是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為定點(diǎn).則有BO=2，AO=DO=1，則∠DBO=∠OBA=30°，

所以，圓O的切線BC的傾斜角為150°.

所以函數(shù)y= cosθ- 3 sinθ+1 的最大值為tan150°=- 3 .

注：此題賦予函數(shù)幾何意義，則可以根據(jù)幾何圖形求解函數(shù)的最值，若直接求解是不可行的，所以，數(shù)形結(jié)合在此題中的意義是非常重大的.

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題的局限性

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題雖然很方便，很直觀，可以很快找到解題思路，最重要的是可以避免一些計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過程，但我們知道世間萬物都有利有弊，當(dāng)然數(shù)形結(jié)合思想也不例外，雖然運(yùn)用它解題有很多長(zhǎng)處，但它的使用也是有局限的.所謂數(shù)形結(jié)合就是“數(shù)”與“形”相結(jié)合，這里的“數(shù)”當(dāng)然精準(zhǔn)無比，但“形”是我們用手畫的，難免會(huì)出現(xiàn)誤差，所以，對(duì)于一些函數(shù)圖像不易畫出來的題，我們最好避免運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的方法解決.

以上對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在解題當(dāng)中的應(yīng)用做了一些分析，這種思想不僅僅在以上三種模型中得以應(yīng)用，還在復(fù)數(shù)、立體幾何等等模塊中廣泛出現(xiàn)，巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將題目化抽象為具體，效果將事半功倍.在高中階段，這種思想方法更是重要，在函數(shù)當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用尤為廣泛，利用二次函數(shù)圖像解二次方程、二次不等式，三者之間有機(jī)的結(jié)合才利于這類問題的解決；有關(guān)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、方程和不等式問題等等都需要結(jié)合兩類函數(shù)的圖像來考查知識(shí)點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在中學(xué)階段有著不可替代的地位，要求當(dāng)代的中學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握這種思想方法，要求當(dāng)代的教師必須有著扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底.