破解等差數(shù)列的最值問題

四川 張 戈 李 華

(作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)贛馬高級中學(xué))

(作者單位：四川省渠縣中學(xué)，四川省渠縣第三中學(xué))

破解等差數(shù)列的最值問題

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，而等差數(shù)列是數(shù)列中更為特殊的數(shù)列，它的通項具有一次函數(shù)的性質(zhì)，它的前n項的和Sn具有二次函數(shù)的性質(zhì)，正因為具有這一特點，所以高考題目中常常出現(xiàn)與等差數(shù)列最值有關(guān)的題目，而解決這類題目除了用數(shù)列本身的相關(guān)知識和等差數(shù)列的性質(zhì)外，還常用到函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、對稱性等解題，本文就解決等差數(shù)列最值有關(guān)的題目的幾種常用方法作以介紹，僅供參考.

一、若{an}是等差數(shù)列，利用通項an具有函數(shù)的性質(zhì)求最大項

(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由.

1點2點3點4點5點6點1點2345672點3456783點4567894點56789105點678910116點789101112

4.不放回問題可用半表計算基本事件

【例4】一個盒子里裝有標(biāo)號1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的標(biāo)簽，今隨機地選取兩張標(biāo)簽.如果標(biāo)簽選取是無放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率.

【解析】隨機地從盒子里選取兩張標(biāo)簽，如果不放回，則有如下45個基本事件(例如：摸到1,2號標(biāo)簽用{1,2}表示)：{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{1,8},{1,9},{1,10}

{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{2,9},{2,10}

{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{3,9},{3,10}

{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{4,9},{4,10}

{5,6},{5,7},{5,8},{5,9},{5,10}

{6,7},{6,8},{6,9},{6,10}

{7,8},{7,9},{7,10}

{8,9},{8,10}

{9,10}

【評注】當(dāng)從有限總體中不放回抽取兩個樣本時，可以不考慮抽取的順序，通過列表來計算基本事件.

【變式4】一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出兩個球，

(1)共有多少個基本事件？

(2)摸出的兩個都是白球的概率是多少？

【解析】(1)分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1，2號球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10個基本事件．

(作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)贛馬高級中學(xué))

( )

【評注】因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以求最大項時，常?？梢岳猛梐n的單調(diào)性求解.

二、若{an}是等差數(shù)列，已知通項an利用或求前n項和Sn的最值

【例2】若數(shù)列{an}滿足：a1=19，an+1=an-3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時，n的值為

( )

A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】∵an+1-an=-3，

∴數(shù)列{an}是以19為首項，-3為公差的等差數(shù)列，

∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.

∵k∈N*，∴k=7.故滿足條件的n的值為7.

【變式1】已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=25，a4=16.求當(dāng)n為何值時，Sn取得最大值.

【解析】∵等差數(shù)列{an}中，a1=25，a4=16，

令an=-3n+28>0，則n≤9.

∴當(dāng)n≤9時，an>0；當(dāng)n>9時，an<0.

∴當(dāng)n=9時，Sn取得最大值.

【變式2】若等差數(shù)列{an}的公差d<0，a1+a11=0，則數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最大值時的項數(shù)n是

( )

A.5 B.6

C.5或6 D.6或7

【解析】∵a1+a11=0，∴a1+a1+10d=0，即a1=-5d.∴an=a1+(n-1)d=(n-6)d.由an≥0得(n-6)d≥0，∵d<0，∴n≤6.即a5>a6=0.所以前5項或前6項的和最大.

三、若{an}是等差數(shù)列，已知相鄰兩項或幾項的關(guān)系，利用正負(fù)轉(zhuǎn)折項求前n項和Sn的最值

【例3】若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，則當(dāng)n=________時，{an}的前n項和最大.

【解析】在等差數(shù)列{an}中，a7+a8+a9=3a8>0.

又a7+a10=a8+a9<0，∴a9<0.

∴當(dāng)n=8時，其前n項和最大.故填8.

【評注】在等差數(shù)列中，當(dāng)通項公式具有單調(diào)性的時候，利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，或者利用等差數(shù)列性質(zhì)：當(dāng)p+q=n+m,am+an=ap+aq找到通項發(fā)生正負(fù)變化時的相鄰兩項便可求得和的最值.

( )

A.11 B.19

C.20 D.21

【變式2】設(shè)數(shù)列{an}是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為前n項和，若S6=5a1+10d，則Sn取最大值時，n的值為

( )

A.5________B.6

C.5或6 D.11

【解析】由題意得S6=6a1+15d=5a1+10d，所以a6=0，故當(dāng)n=5或6時，Sn最大，選C.

四、若{an}是等差數(shù)列，已知Sn和Sm關(guān)系，利用Sn=An2+Bn求前n項和的Sn的最值

【例4】在等差數(shù)列{an}中，已知a1=20，前n項和為Sn，且S10=S15，求當(dāng)n取何值時，Sn有最大值，并求出它的最大值.

【解析】∵a1=20，S10=S15，

∵n∈N*，∴當(dāng)n=12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130.

【評注】利用等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù))為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.另外，對于非等差數(shù)列常利用函數(shù)的單調(diào)性來求其通項或前n項和的最值.

【變式1】設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是

( )

A.若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項

B.若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0

C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn>0

D.若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

【變式2】等差數(shù)列{an}中，S15>0，S16<0，則使an>0成立的n的最大值為

( )

A.6 B.7

C.8 D.9

【變式3】在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4=7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}前n項的和.若Sn取得最大值，則n=________.

【變式4】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a11-a8=3，S11-S8=3，則使an>0的最小正整數(shù)n的值是

( )

A.8 B.9

C.10 D.11

【解析】∵a11-a8=3d=3，∴d=1.

∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3，

∴a1=-8，∴an=-8+(n-1)>0，解得n>9，

因此使an>0的最小正整數(shù)n的值是10.

五、若{an}是等差數(shù)列，已知前n項和Sn的最值，利用正負(fù)轉(zhuǎn)折項求公差為d的范圍

【例5】在等差數(shù)列{an}中，a1=7，公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n=8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________.

【解析】 由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n=8時Sn有最大值，

【評注】在等差數(shù)列中，已知前n項和Sn的最值，可以求出正負(fù)轉(zhuǎn)折項，利用相鄰兩項的正負(fù)性，求出d的范圍.

【變式】設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0.求d的取值范圍.

因為S5S6+15=0，

所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0.

所以d2≥8.

(作者單位：四川省渠縣中學(xué)，四川省渠縣第三中學(xué))