“數(shù)”“形”結(jié)合，分組探究，相得益彰

王慧慧

【摘要】“指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)”是蘇教版教材必修一第三章第一課時的內(nèi)容，是學生在已掌握了函數(shù)的一般性質(zhì)之后系統(tǒng)學習的第一個函數(shù)。通過對指數(shù)函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)的探究，進一步深化學生對函數(shù)概念的理解與認識，從“數(shù)”和“形”兩個角度得到研究函數(shù)性質(zhì)的方法。在問題探究方式上，采用分組研究的方法，調(diào)動學生積極性的同時也讓兩種方法得到了互相驗證，相得益彰。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)函數(shù)；教學設(shè)計；教學反思；數(shù)形結(jié)合；分組探究；思維方式

一、對教學幾個環(huán)節(jié)的認識和重構(gòu)

1.問題引入，得出概念

師：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，3個分裂成8個……一個這樣的細胞，分裂x次后，你能求出細胞分裂的個數(shù)y與x之間滿足的關(guān)系式嗎？

生：y與x之間的關(guān)系式，可以表示為y=2（x∈N*）。

師：有1根長1米的繩子，第一次剪去繩長一半，第二次再剪去剩余繩子的一半……剪了x次后繩子剩余的長度為y米，試寫出y與x之間滿足的關(guān)系式。

生：y=（）（x∈N*）

這兩個都是實際問題，讓學生感知到這種函數(shù)在實際情境中經(jīng)常會用到，且和以往學過的函數(shù)不同，從而體會學習新知的必要性。雖然從實際背景中抽離出兩個數(shù)學模型，但是兩個函數(shù)定義域都是N*，多多少少會給部分學生造成一定誤解，好像指數(shù)函數(shù)定義域只可取，所以可以考慮換一個定義域不是N*的實際例子，比如：

某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，這種物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%，如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量為y，那么該如何描述這兩個變量的關(guān)系？

之后，還要說明這兩個變量的關(guān)系式都是函數(shù)表達式，既然是函數(shù)，又和以往的不同，那這種函數(shù)的一般形式是什么，取個什么名字比較好，那么這些問題就比較自然了。

2.指數(shù)函數(shù)概念的理解

新課標在知識與技能層面要求學生掌握指數(shù)函數(shù)的概念，并能根據(jù)定義判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)。因此針對一些學生不太清晰或易錯的點要指明。比如判斷y=5×3，y=3，y=-3是不是指數(shù)函數(shù)。通過以上這三個小問題學生就知道了判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)的標準：經(jīng)過整理后的形式符合：（1） ax的系數(shù)是1；（2）a的指數(shù)是x；（3）a大于0且a不等于1。三個例子中，y=3是指數(shù)函數(shù)。這樣就對一些同學的錯誤認識，即只通過看指數(shù)位置是否為自變量來判斷是否是指數(shù)函數(shù)，提前做了規(guī)避，加深了對指數(shù)函數(shù)概念的理解。

3.數(shù)形結(jié)合得出指數(shù)函數(shù)性質(zhì)

新課標在過程與方法層面上要求：（1）通過探討指數(shù)函數(shù)的概念，感知數(shù)學概念的嚴謹性和科學性；（2）在學習指數(shù)函數(shù)過程中體驗研究具體函數(shù)的過程和方法，如從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法。但在實際應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來發(fā)現(xiàn)性質(zhì)時，可能會出現(xiàn)一些問題。

在指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出的過程中，不少老師可能會讓學生通過幾個具體指數(shù)函數(shù)的圖像來研究，因此會列表，描點，連線。但如果僅僅如此，會有學生在作圖時出現(xiàn)不標出定點（0，1）的情況，導致在觀察圖像時總結(jié)不出圖像過定點的結(jié)論，原因是他們在列表時就沒想到讓x取0。

為了避免這個問題，一方面我們可以通過類比的方法來解決。比如我們在畫二次函數(shù)圖像時，雖然是畫草圖，但草圖上也會標出函數(shù)的頂點，以及與坐標軸的交點（若有的話）。由此觀察圖像，得出指數(shù)函數(shù)過（0，1）定點。這是從“形”的角度來考慮。

另一方面，我們研究函數(shù)的性質(zhì)可以先從函數(shù)解析式出發(fā)，從“數(shù)”的角度得出此函數(shù)會有哪些性質(zhì)。比如，（1）當x=0時，y=1，所以過（0，1）；（2）奇偶性：定義域是R關(guān)于原點對稱，但a-x不恒等于 ax，也不恒等于-ax，所以指數(shù)函數(shù)不具有奇偶性，是非奇非偶函數(shù)。（3）單調(diào)性：不妨先考慮x取正整數(shù)的情況，此時y=ax 就是x個a相乘，所以a>1和01時，y隨著x的增大而增大，y=ax在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；00，所以值域是（0，+∞）。

當然除了從“數(shù)”的角度來分析，還要讓學生動手畫圖（列表，描點，連線），從“形”的角度加以驗證。通過實物投影展示學生作圖，加以對比分析，總結(jié)性質(zhì)。同時借助幾何畫板，展示規(guī)范作圖和當a取不同值時的函數(shù)圖像，一方面驗證指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，另一方面引導學生發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)其他可研究的內(nèi)容。

4.比較值的大小

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

除了通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性來比較值大小外，可能會有學生想到借助作差或作商的方法來比較大小，比如，1.5-1.5=1.5（1-1.5）或者=1.5，不論哪種方法最后還是要借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖像來比較，因為由指數(shù)函數(shù)y=1.5的單調(diào)性可知，1.50.7>1，所以1.5>1.5。由此可以總結(jié)，在處理比較值大小的題目時直接借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決更好。切不可對學生作差或作商的想法直接予以否定，強行中斷思路，強行引導到構(gòu)建指數(shù)函數(shù)的思路上來。（3）可分別借助y=1.5，y=0.8的圖像，觀察出兩個值的大小，學生會自然發(fā)現(xiàn)要和1比較。最后總結(jié)：在比較不同底的函數(shù)值大小時，要尋求中間數(shù)來比較，這個中間數(shù)常會考慮1，熟練掌握后可不用畫圖?？傊?，在剛接觸這類題目時，教師應(yīng)調(diào)動學生學習積極性，讓學生暢所欲言，感受思考帶來的樂趣，學生通過自主探究，歸納出處理這類問題的最優(yōu)方案。

經(jīng)過前面四塊內(nèi)容的改進與重構(gòu)，下面概述一下這節(jié)課整體的教學設(shè)計（部分內(nèi)容已在前面詳述，不贅述）。

二、改進后，我的教學設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境

問題1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，3個分裂成8個……一個這樣的細胞，分裂x次后，你能求出細胞分裂的個數(shù)y與x之間滿足的關(guān)系式嗎？

問題2：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，這種物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%.如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量為y，那么該如何描述這兩個變量的關(guān)系？

（1）對于關(guān)系式y(tǒng)=2 （x∈N）和y=0.84 （x∈（0，+∞））

讓學生思考討論以下問題（問題逐個給出）：

①它們能否構(gòu)成函數(shù)？有什么共同特征？

②是我們學過的哪個函數(shù)嗎？如果不是，你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個恰當?shù)拿郑?/p>

（2）讓學生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義，同時根據(jù)定義，由學生討論給出a的范圍，即a>0且a≠1。

之后，教師可通過讓學生寫出指數(shù)函數(shù)式的方式來判斷學生是否理解指數(shù)函數(shù)概念，也可寫出一些解析式讓學生判斷，如計y=5×3x，y=32x，y=-3x。

2.數(shù)形結(jié)合，分 組探究，歸納指數(shù)函數(shù)性質(zhì)

（1）提出問題，集思廣益

問題3：你打算如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

問題4：一般研究函數(shù)哪些性質(zhì)，你打算怎樣研究？

設(shè)計意圖：學生的思路基本會分成兩類：一類嘗試通過邏輯關(guān)系的探究，得出定義域、值域及單調(diào)性、奇偶性等，這類學生的邏輯思維能力較強；而另一部分學生則想通過畫函數(shù)圖像的方法去判斷，這類學生是以形象思維為主要思維方式。這恰恰也反映了高中生在數(shù)學學習上表現(xiàn)的兩種典型思維：形象思維和抽象思維。

（2）分組活動，合作學習

按學生思路，將學生分為兩組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，一組借助列表、描點、連線的作圖方法，通過觀察圖像研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)。

（3）展示交流、逐步完善

教師在巡視過程中應(yīng)關(guān)注各組的研究情況，先讓組一同學的代表從代數(shù)角度上臺展示其研究成果，其他組員可對其進行補充完善。再讓組二同學結(jié)合自己畫的圖像，利用投影儀展示對前面組一同學的結(jié)論進行評價，最后教師對兩組同學的成果以及表現(xiàn)進行點評，并用幾何畫板展示不同的指數(shù)函數(shù)圖像，與學生一起從“數(shù)”、“形”兩個角度對比得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。當然，還可以拋出問題讓學生留作思考：除了定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，你是否還發(fā)現(xiàn)了其他的性質(zhì)？

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)一方面讓學生從兩個角度（代數(shù)、幾何）合作探究，自主得出了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學生對新知識理解得更加透徹，掌握得更加扎實，印象更加深刻；另一方面，探究的過程就是學生獨立思考，合作學習，并展示自我的過程，這體現(xiàn)了教學中“以學生為主體”的啟發(fā)性教學原則，發(fā)揮了學生學習的主動性，激發(fā)了其對數(shù)學學習的興趣，啟迪其思考，利于其思維水平的提高。同時，這種探究過程能提高學生語言的表達能力和展示自我的勇氣，符合我們本節(jié)課對情感態(tài)度價值觀這一教學目標的要求，同時也為我們以后研究其他函數(shù)的性質(zhì)指明了方向。

3.鞏固訓練，提升能力

例1.比較下列各組數(shù)中兩個值的大小：

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

例2 .（1）已知 3≥3，求實數(shù)x的取值范圍；

（2）已知0.2<25，求實數(shù)x的取值范圍；

4.課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課我們學到了什么新知識？

（2）回顧我們的研究過程，我們是怎么研究指數(shù)函數(shù)的。

三、教學反思

（1）本節(jié)課的重難點在于如何引導學生研究并歸納出指數(shù)函數(shù)性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想方法是高中常用數(shù)學方法之一，也反映了高中生的兩種思維方式：抽象思維和形象思維。教師在這一環(huán)節(jié)中，引導學生從“數(shù)”和“形”兩個角度研究函數(shù)，避免了學生一些易犯的錯誤，讓學生知其然，知其所以然，明晰研究和思考的全過程，在實際教學中也取得了很好的教學效果，也為以后如何研究函數(shù)指明思路。

（2）交流是教學活動最基本的形式，在這一階段，教師給學生提供了一個各抒己見、真實表達自己思路、充滿對話交流的開放性場景，組織學生討論、辯論，互相啟迪，互相評價。在深化知識點的同時，讓學生明白不僅要傾聽和理解他人，還要學會正確的表達自己。本節(jié)以學生討論交流為主，教師適時點撥，發(fā)現(xiàn)和捕捉學生思維亮點的同時，引發(fā)學生更高層次的體驗和感悟。

（3）數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，數(shù)學學習只有學習者參與思維活動才有效。教師應(yīng)讓學生充分思考，去探索問題，在探索中解決問題，在解決問題中引發(fā)更深的新問題。只有不斷探索、解決問題，學生的思維能力和創(chuàng)新能力才能得到有效的發(fā)展。我們應(yīng)該堅持關(guān)注學生的體驗，在課堂上給學生更多思考的時間和空間。

【參考文獻】

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