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    概念活用思路寬廣

    2017-03-27 03:44:45申娜
    湖南教育 2017年11期
    關(guān)鍵詞:尼斯動點定點

    文︳申娜

    概念活用思路寬廣

    文︳申娜

    李邦河院士在《數(shù)的概念的發(fā)展》報告中指出:“數(shù)學根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也。”細細體會這話,運用到數(shù)學學習中,還真是那么回事。

    例如,推導一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)根與系數(shù)的關(guān)系時,我們通常是求出方程的兩個根,再算兩根之和與之積。如果用方程根的概念,則另有一番風光。

    設(shè)x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的兩根,則

    ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0。

    兩方程相減并分解因式,得(x1-x2)[a(x1+x2)+b] =0。

    若x1=x2,則b2-4ac=0,b2=4ac,方程有兩個相等的實根

    若x1≠x2,則a(x1+x2)+b=0,

    將兩方程相加并配方,得[a(x1+x2)2-2x1x2]+ b(x1+x2)+c=0,將代入并化簡,得x1x2=

    雖然上述過程并不比用求根公式計算簡便,但也打開了思維的另一扇窗,使我們思考問題的路子更寬廣。

    許多數(shù)學概念中就有數(shù)學表達式,如橢圓、雙曲線的定義,本身就是用數(shù)學式子敘述的。在思考問題時,很多題目就可靈活運用定義求解。

    如,設(shè)點F1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,P為橢圓上任一點,又有一定點M(6,4),求|PM|+|PF1|的最大值。

    很容易想到設(shè)點P(x1,y1),或者設(shè)P(5cosθ, 4sinθ)代入橢圓方程,得到一個等式,然后又代入|PM|+|PF1|中,求函數(shù)的最大值。這樣做思路易得,求解卻難。如果利用橢圓定義的表達式,則會顯得簡便。

    易求得F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),依據(jù)橢圓定義,有|PF1|+|PF2|=10,則|PF1|=10-|PF2|。

    于是,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=

    當|PM|-|PF2|=|MF2|時,取得最大值15。那么,取得最大值時,點P的坐標是什么?從圖形上發(fā)現(xiàn),當點P是線段MF2的延長線與橢圓的交點時,才能滿足|PM|-|PF2|=|MF2|。直線MF2的方程是與橢圓方程聯(lián)立,解得P(0,-4)或顯然,點P(0,-4)滿足條件。

    橢圓、雙曲線定義中,動點到兩定點的距離和或差是定值。那么,動點到兩定點的距離商如果是定值,動點的軌跡是什么呢?

    設(shè)動點是P(x,y),兩定點分別是F1(-a,0),F(xiàn)2(a,0),a>0,且,λ>0,且λ≠1。那么,,化簡,得

    (1-λ2)x2+(2a+2aλ2)x+(1-λ2)y2+(a2-a2λ2)=0。

    由于λ≠1,則1-λ2≠0,那么上式表示的是圓的方程,動點P(x,y)的軌跡是圓。這個圓叫阿波尼斯圓。運用阿波尼斯圓可以簡解下面兩道高考數(shù)學題。1.(2008年江蘇)滿足條件的△ABC面積的最大值是_________。

    2.(2014年湖北)已知圓x2+y2=1和點A(-2,0),若定點B(b,0)(b≠-2)和常數(shù)λ滿足:對圓O上任意一點M,都有|MB|=λ|MA|,則b=_______,λ=________。

    第1題中,設(shè)A(-1,0),B(1,0),C(x,y),則λ=。由上面的阿波尼斯圓的方程,得點C的軌跡是:(x-3)2+y2=8(除去點(,0))。由于|AB|=2是定值,要使△ABC的面積最大,只要點C到AB的距離最大即可。顯然,最大距離是圓的半徑,因此,最大面積是

    第2題中,設(shè)M(x0,y0),由|MB|=λ|MA|,得

    (作者單位:邵東縣第一中學)

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