根與零點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)換

宋元明

【摘要】本文主要圍繞函數(shù)的零點(diǎn)的基礎(chǔ)求解出發(fā)，將函數(shù)零點(diǎn)運(yùn)用到不同的方面，包括方程的根、函數(shù)的定義域以及不等式等方面.作為函數(shù)的重要性質(zhì)，它把函數(shù)、方程、不等式緊密地聯(lián)系起來(lái).函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，零點(diǎn)范圍以及零點(diǎn)的參數(shù)問(wèn)題是常見(jiàn)的求解問(wèn)題，本文對(duì)這些方面進(jìn)行運(yùn)用并進(jìn)行綜合分析.結(jié)合數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等思想求解問(wèn)題函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)零點(diǎn)；方程的根；單調(diào)性

一、基礎(chǔ)知識(shí)

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)：

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實(shí)數(shù)x做作函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即，方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn).

3.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f（a）f（b）<0，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.

關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用問(wèn)題經(jīng)常要聯(lián)系導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性作為函數(shù)的核心性質(zhì)，通過(guò)對(duì)單調(diào)性的研究進(jìn)而解決零點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)可以運(yùn)用分離變量等方式進(jìn)行解決問(wèn)題.下面主要?dú)w納函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用.

二、判斷函數(shù)的零點(diǎn)根的分布情況

例1（2013年福建高考文科22）已知函數(shù)f（x）=x-1+ae-x（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；（2）求函數(shù)y=f（x）的極值；（3）當(dāng)a=1時(shí)，若直線(xiàn)l：y=kx-1與曲線(xiàn)y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值.

解析如下：

（1）由f′（1）=0易得a=e，（2）略.

（3）直線(xiàn)l：y=kx-1與曲線(xiàn)y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程kx-1=f（x）無(wú)解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+1ex，于是等價(jià)于函數(shù)g（x）在R上沒(méi)有零點(diǎn)，下面可以有兩種處理方法.

方法一分離參數(shù).根據(jù)定理1的推論4知：方程g（x）在R上無(wú)解等價(jià)于（k-1）x=1ex在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，當(dāng)k=1時(shí)，方程1ex=0顯然無(wú)解當(dāng)k≠1時(shí)方程可化為1k-1=xex，構(gòu)造函數(shù)h（x）=xex，由h′（x）=（1+x）ex=0.得x=-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，h′（x）<0，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，h（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增，所以hmin（x）=h（-1）=-1e，且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以h（x）的取值范圍是-1e，+∞所以當(dāng)1k-1∈-∞，-1e時(shí)，方程無(wú)解，所以k的取值范圍是（1-e，1）綜上可得k的取值范圍是（1-e，1]，所以k的最大值為1.

方法二不分離參數(shù).假設(shè)k>1此時(shí)g（0）=1>0，g1k-1=-1+1e1k-1<0.

又函數(shù)g（x）的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，根據(jù)上述定理可知方程g（x）=0在R上至少有一解，與“方程g（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)解”矛盾，故k≤1，又當(dāng)k=1時(shí)，方程1ex=0顯然無(wú)解，所以k的最大值為1.

例2判斷函數(shù)f（x）=|log2（x+1）|+x-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析運(yùn)用方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=|log2（x+1）|與函數(shù)y=-x+1圖像交點(diǎn)問(wèn)題.

根據(jù)圖像可以得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)常用的方法有：（1）直接求解；（2）結(jié)合單調(diào)性和極值，轉(zhuǎn)換為判斷函數(shù)圖像穿過(guò)x軸的次數(shù)；（3）對(duì)于復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換為求兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題.

三、函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)的定義域

例如，求函數(shù)y=x2+5x-6的定義域，需要計(jì)算函數(shù)f（x）=x2+5x-6的零點(diǎn)，從而求解函數(shù)的定義域.

四、函數(shù)零點(diǎn)與不等式求解證明

證明：當(dāng)x>0時(shí)，ln（1+x）

證明構(gòu)造函數(shù)F（x）=ln（1+x）-x，則F′（x）=11+x-1.當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)減少，則F（x）

同理可以證明當(dāng)x>0時(shí)，ex>1+x，這是常有不等式，一般出現(xiàn)在高考的證明中.

這是將方程思想和函數(shù)零點(diǎn)的思想結(jié)合，同時(shí)和函數(shù)的單調(diào)性相關(guān)，從而求解不等式或者證明不等式.

五、總結(jié)

函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用范圍廣，其中包含了方程的根求解、不等式以及函數(shù)等多個(gè)方面，整合了數(shù)學(xué)的方程求解思想，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，主要是運(yùn)用等價(jià)關(guān)系和零點(diǎn)存在定理進(jìn)行計(jì)算求解或證明問(wèn)題.