例談“尚簡”的解題藝術(shù)

朱曉琳

摘 要：數(shù)學(xué)解題追求“簡約而不簡單”的境界，“尚簡”是數(shù)學(xué)解題的至真追求。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題展開去偽存真的分析，可以從“退”中求簡、“化”中求簡、“換”中求簡、“設(shè)”中求簡 、“借”中求簡、“分”中求簡。通過化繁為簡、刪繁就簡，發(fā)掘“簡”的解題之道，生成“簡”的解題智慧與藝術(shù)。

關(guān)鍵詞：尚簡；解題藝術(shù)；簡中求道

當(dāng)下的數(shù)學(xué)解題必須走出復(fù)雜化、煩瑣化的傾向。簡單、明快、直接、自然應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征。教學(xué)中，教師對數(shù)學(xué)問題的表述要深入淺出，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，去粗取精、去偽存真，優(yōu)化解題思路。解題時，要化繁為簡、刪繁就簡，從“簡”中挖掘解題之道，讓數(shù)學(xué)解題達(dá)到“簡約而不簡單”的境界。

一、 從“退”中求簡

老子說，“少則得，多則惑”。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“以小見大”，將復(fù)雜、煩瑣甚至無從下手的數(shù)學(xué)問題化簡。從簡單的情形開始，或許我們就能讀懂題意，理清數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)題目中蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而找到問題解決的路徑。

分析：本題看上去比較繁復(fù)，直接計算是很難得出結(jié)果的。我們可以采用“簡約化”的解題原則——“以小見大”，從中可能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這也就是著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所倡導(dǎo)的“欲進(jìn)先退”的解題策略。華羅庚曾經(jīng)說過：“善于退、足夠的退，退到最原始而不失重要性的地方是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅?！庇捎?÷7=0……1；11÷7=1……4；111÷7=15……6；1111÷7=158……5；11111÷7=1587……2；111111÷7=15873。顯然，每6個1除以7能夠沒有余數(shù)，而商也呈現(xiàn)出015873的反復(fù)出現(xiàn)現(xiàn)象，余數(shù)呈現(xiàn)出1，4， 6，5，2的周期現(xiàn)象。由于本題中有2016個1，因此我們用2016除以6，得336，正好是6的倍數(shù)。所以，本題中的商為15873015873…015873，余數(shù)為0。

二、 從“化”中求簡

對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知不能停留于表面，而必須深入到數(shù)學(xué)本質(zhì)的層面，通過相似聯(lián)想、類比推理將陌生的問題“化”成熟悉的問題。從“化”中求簡，往往能夠打破解題的僵局，化難為易。某種意義上，數(shù)學(xué)的“化”簡來自于學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺、數(shù)學(xué)靈感，即學(xué)生能夠在瞬間產(chǎn)生類似于連接電路的思維通路。

例2：小紅星期天在家里做作業(yè)。剛開始做作業(yè)時，小紅看了一下鐘面，這時分針略超過時針。做完作業(yè)，小紅又看了一下鐘面，發(fā)現(xiàn)時針和分針恰好互換了位置。你知道小紅做作業(yè)用了多長時間嗎？

分析：粗略地看上去，本題中的已知條件比較特殊，沒有一個數(shù)據(jù)，好像很難找到解題的路徑。但是仔細(xì)讀題并展開數(shù)學(xué)思考，我們就能發(fā)現(xiàn)題目中的一個關(guān)鍵條件，那就是“時針和分針恰好互換了位置”，這說明什么呢？“時針和分針恰好互換了位置”說明時針走到了原來分針的位置，分針走到了原來時針的位置。因此，時針和分針一共走了1圈。為此，我們可以將本題簡易地“化”成一個“和倍問題”：分針的速度是時針的12倍，分針和時針一共走了60小格，分針走了多少格？由于“和倍問題”是我們熟悉的問題，因此本題也能迎刃而解。

三、 從“換”中求簡

在數(shù)學(xué)解題中，有時我們會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目的形式非常復(fù)雜但又隱藏著一定的規(guī)律，常常讓我們產(chǎn)生一種欲罷不能的解題欲望，但直接展開求解會比較困難、復(fù)雜。為此，我們可以對題目中一些有規(guī)律的整體元素進(jìn)行換元，則有可能將題目的表征形式變得簡單。整體換元能夠讓我們發(fā)現(xiàn)題目中隱含的解題規(guī)律，通過“換”的方式來尋求解題簡便、巧妙的通道，進(jìn)而在“曲徑通幽處”誕生出迂回的“巧妙解法”。

四、從“設(shè)”中求簡

有些數(shù)學(xué)問題內(nèi)含的數(shù)量關(guān)系比較抽象，在解題時不容易找尋到突破口。為此，教師可以化抽象為具體，通過“假設(shè)”使抽象的數(shù)量關(guān)系顯現(xiàn)出來。通過“假設(shè)”，可以讓數(shù)學(xué)解題過程不蔓不枝、清清楚楚、干干凈凈。在“設(shè)”中求簡，彰顯的是教師“以設(shè)求解”的解題藝術(shù)。

五、 從“借”中求簡

“借”是一種重要的解題策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有許多問題通過巧妙的“借與還”能夠使其變得簡單起來?！敖琛笔且环N智慧，通過“借來還去”，許多有難度的問題就會迎刃而解，獲得非常漂亮、非常簡潔的解答。

六、 從“分”中求簡

數(shù)學(xué)解題總的指導(dǎo)原則就是“化復(fù)雜為簡單”。教學(xué)中，教師可以采用“分”的策略，對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡約化處理。當(dāng)然有時運用“分”的策略解題并不是一蹴而就的，而是需要反復(fù)嘗試、探索，才能獲得問題的成功解決。在“分”的過程中，教師要把握數(shù)學(xué)問題的精髓，當(dāng)某種“分”的方法出現(xiàn)障礙或問題時，要及時變換，而不能在某一種“分”法上過分糾纏。

例6：公交車A車站有公交車192輛，B車站有公交車48輛，每天從A車站發(fā)往B車站的公交車有24輛，從B車站發(fā)往A車站的公交車有21輛。那么，幾天以后，B車站的公交車是A站的7倍？

分析：從題目中的關(guān)鍵句“每天從A車站發(fā)往B車站的公交車有24輛，從B車站發(fā)往A車站的公交車有21輛”可以看出，每天A車站都會少3輛公交車。由于題目中的問題是“幾天以后，B車站的公交車是A車站的7倍”，就需要知道當(dāng)B車站公交車數(shù)量是A車站的7倍時，A、B兩站各有多少公交車。于是，我們可以對原來稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分解，讓數(shù)學(xué)問題的表征變得簡單些。

由題目可知A車站和B車站共有公交車192+48輛，當(dāng)B車站的公交車數(shù)量是A車站的7倍時， A車站有多少輛車？顯然，將A車站的公交車數(shù)量看作1份，那么B車站的公交車數(shù)量就是7份，則A車站的公交車數(shù)量為：（192+48）÷（7+1）=30（輛）。由于A車站原有公交車48輛，當(dāng)B車站的公交車數(shù)量是A車站的7倍時， A車站的公交車數(shù)量為30輛，即A車站一共少了18輛公交車，又因為A車站每天少3輛公交車，故這道題的本質(zhì)就是“求18輛里有幾個3輛”，列式為18÷3=6。如此，通過“分解”策略，對數(shù)學(xué)問題展開剝蒜頭式的分析，就能將看似繁雜的問題有效化簡。

大道至簡，真水無香。誠如英國著名戲劇家莎士比亞所說，“簡潔是智慧的靈魂”。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)刪繁就簡，從簡中求道。教師從“退”中求簡、從“化”中求簡、從“換”中求簡、從“設(shè)”中求簡、從“借”中求簡、從“分”中求簡，就能以簡馭繁，生成簡約的解題策略。“尚簡”的解題思想背后彰顯的是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大氣、睿智與深刻。教學(xué)中，教師引領(lǐng)著學(xué)生展開豐富、靈動、有效的數(shù)學(xué)解題實踐，就能從根本上提升學(xué)生的解題素養(yǎng)。