基于Vague集的不確定數(shù)據(jù)模型

孫國寶

摘要：不確定數(shù)據(jù)廣泛的存在日常生活中，不確定數(shù)據(jù)挖掘是當前重要方向研究方向。研究者必須通過對象的可能世界實例，得到概率密度函數(shù)。當對象的可能世界實例缺失時，經(jīng)典不確定數(shù)據(jù)的模型將束手無策。對Vague集進行擴展，提出一種新的面向不確定數(shù)據(jù)的Vague集模型，即U-Vague集模型。并定義了U-Vague集模型之間的距離。通過直接聚類算法對模型的有效性進行了驗證。最后對不確定數(shù)據(jù)的研究做出了展望。

關(guān)鍵詞：可能世界；實例缺失；U-Vague集；距離；直接聚類

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2017）01-0218-04

1 引言

不確定數(shù)據(jù)即帶有不確定性（uncertainy）的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的不確定性產(chǎn)生的原因有多種，可能是原始數(shù)據(jù)本來不準確或采用了粗粒度的數(shù)據(jù)集合，也可能是原始數(shù)據(jù)是為了滿足特殊應用目的或經(jīng)過處理或者數(shù)據(jù)集成而生成的[1]。不確定性的主要表現(xiàn)形式為隨機性和模糊性。當前，學者已提出的不確定數(shù)據(jù)對象的模型，為可能世界（possible world）模型以及根據(jù)可能世界模型衍生的特殊模型。表1表示的為一組上海市嘉定區(qū)某日，氣溫采集數(shù)據(jù)。氣溫數(shù)據(jù)，分別由10個散布在嘉定區(qū)不同區(qū)域的溫度采集傳感器獲得。

將嘉定區(qū)氣溫視為不確定對象，可以根據(jù)氣溫數(shù)據(jù)建立嘉定區(qū)氣溫的可能世界模型，如表2所示， c表示嘉定區(qū)氣溫可能世界實例（possible world instance），p（c）為不確定對象即嘉定區(qū)氣溫取值為c時的概率，概率值由各氣溫數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻率計算得出。由表2，即可對嘉定區(qū)氣溫數(shù)據(jù)進行下一步處理。

當傳感器由于老化或者損壞等原因，導致采集到的數(shù)據(jù)存在缺失，如表3所示，傳感器P2、P6和P8的數(shù)據(jù)無法獲得。

此時，由于可能世界實例的不完整，無法對氣溫建立可能世界模型，完全限制了對數(shù)據(jù)繼續(xù)處理。在傳統(tǒng)確定數(shù)據(jù)挖掘的研究中，也存在數(shù)據(jù)缺失或不完備的情形，如[2]、[3]、[4]等采取的策略均是直接忽略丟失部分，其結(jié)果往往會導致真實信息的丟失。文章對Vague集理論進行擴展，提出了U-Vague集模型和U-Vague集之間的距離度量。

在文章第二節(jié)中介紹了Vague集理論相關(guān)定義，第三節(jié)定義了U-Vague集模型及U-Vague集之間的距離。第四節(jié)中，對U-Vague集模型的有效性，進行了驗證。最后對不確定數(shù)據(jù)的模型的研究和Vague集的研究做出了展望。

2 相關(guān)定義

Vague集作為Fuzzy集的拓展集，引入了假隸屬度函數(shù)，比Fuzzy集具有更強的表達能力和靈活性。

定義1[5]令為點集空間，用表示其中的元素，的一個Vague集可以用真隸屬度函數(shù)和假隸屬度函數(shù)表示。表示從支持的證據(jù)所導出的的肯定隸屬度的下界，是從反對的證據(jù)所到處的的否定隸屬度的下界，為相對Vague集的Vague值（Vague value），和分別是到的一個映射

3.1 U-Vague集的定義

定義4 對不確定數(shù)據(jù)對象集合，由集合中所有元素的可能世界實例的集合組成的實例空間為，即。將等距離劃分成為個子空間，即稱為的可能世界實例集合區(qū)間，后文簡稱為集合區(qū)間。用公式表達即為：

定義5對于給定不確定數(shù)據(jù)對象集合，中的對象，根據(jù)定義2和定義4將的可能世界實例集合按集合區(qū)間分割成為個子區(qū)間，即其中。稱為不確定對象關(guān)于集合區(qū)間的區(qū)間二元組，其中即為不確定對象關(guān)于可能世界實例子集合的概率。?？蓪⒉淮_定對象表示為區(qū)間二元組集合，即為：

定義6對于不確定對象集合以及可能世界空間，不確定數(shù)據(jù)對象可以用一個真區(qū)間隸屬度函數(shù)和一個假區(qū)間隸屬度函數(shù)表示。表示支持對象取值在集合區(qū)間的證據(jù)的下界，表示反對對象取值不在集合區(qū)間的證據(jù)的下界稱為對象關(guān)于集合區(qū)間的U-Vague值。

對于不確定對象由公式，可得

即表示對象的缺失實例均不在集合區(qū)間內(nèi)時，取值為集合區(qū)間概率，即為。表示對象缺失實例均在集合區(qū)間內(nèi)時，取值為集合區(qū)間概率，即為。

不確定對象的U-Vague集模型就可以表示為：

不確定對象集合為：

即稱為不確定對象集合的U-Vague集矩陣。

下面通過對一組溫度數(shù)據(jù)集合，模擬U-Vague集的模型建立過程。圖1為某省5個市不同監(jiān)測站在同一天所采集到的溫度數(shù)據(jù)，由于傳感器和數(shù)據(jù)保存的過程中疏忽，造成圖1中的部分數(shù)據(jù)難以獲得，—表示傳感器數(shù)據(jù)丟失，黑色為被污染區(qū)域。

首先，用溫度數(shù)據(jù)矩陣對圖1進行表示，為：

然后根據(jù)溫度數(shù)據(jù)矩陣的元素，劃分可能世界實例集合區(qū)間，設k=5

可以得到溫度數(shù)據(jù)的實例集合區(qū)間，用軸線進行表述，如圖2所示對中溫度數(shù)值進行根據(jù)等距劃分：

最后由各可能實例集合的真隸屬度與假隸屬度函數(shù)建立每個市的U-Vague集：

對于市Ⅰ，可能世界實例集中在和中，缺失的實例有可能落在任何實例區(qū)間。由市Ⅰ的觀測站個數(shù)為10，可以得到市Ⅰ的關(guān)于實例集合區(qū)間和的真隸屬和假隸屬度分別為：

市Ⅰ的U-Vague模型可以表示為：

同理，我們得到其他市的U-Vague集模型，可以用U-Vague集矩陣表示，為：

3.2 U-Vague集之間的距離

在經(jīng)典Vague集的研究領(lǐng)域中，Vague值之間的距離是重要的研究方向。本節(jié)引入，對chen【引用】提出的距離進行針對U-Vague集模型的拓展，得到了U-Vague值之間的距離公式。

3.2.1 U-Vague值之間的距離

定義7令和為不確定數(shù)據(jù)對象集合的兩個對象元素，為的一個集合區(qū)間。和關(guān)于集合區(qū)間的U-Vague值為：

其中，

表示對象關(guān)于集合區(qū)間可能世界實例集合的期望，即：

的值越大，表示U-Vague值之間距離越接近。

3.2.2 U-Vague集之間的距離

定義8給定不確定數(shù)據(jù)對象集合，以及所對應U-Vague集矩陣，中任意兩個對象和，即任意兩個U-Vague集的距離為兩個對象關(guān)于對應集合區(qū)間的U-Vague值的距離總和，值越大，表示越相似。用公式表達為：

由公式（13）和公式（15），我們就可以對進行計算，得到的相似性矩陣：

4 實驗分析

聚類（cluster）是一個將數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)劃分具有一定意義的簇（clustering），使簇內(nèi)的對象盡可能相近，簇間的對象盡可能相異。聚類可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中所隱含的關(guān)系和模式，是數(shù)據(jù)挖掘、機器學習等研究領(lǐng)域的重要方法。直接聚類算法是通過直接對相似矩陣進行分析，的一類模糊聚類算法。直接聚類算法省去了矩陣自乘運算，避免了原有數(shù)據(jù)的失真。其算法描述如下表4所示：

由3.2.2節(jié)所得求得U-Vague集的相似性矩陣，即可對進行直接聚類，得到的聚類結(jié)果，如表5所示：

結(jié)合圖2和表5，對聚類結(jié)果進行分析。根據(jù)圖2中各市的溫度分布情況，市Ⅱ和市Ⅳ分布最為相似，表5中的聚類結(jié)果也最先把市Ⅱ和市Ⅳ劃分到同一個簇內(nèi)。市Ⅰ和市Ⅱ或市Ⅳ的溫度分布很明顯要比市Ⅲ和市Ⅴ更接近，從表5也可以得出同樣的結(jié)果。模型的有效性即得到驗證。

5 展望

不定數(shù)據(jù)挖掘是數(shù)據(jù)挖掘的研究熱點之一，當前不確定挖掘研究主要面向的是隨機不確定對象，對象的可能世界實例缺失，對不確定數(shù)據(jù)的進一步處理形成了障礙。本文引入Vague集理論，針對不確定對象實例缺失的情形提出U-Vague集模型，既有效的保留了不確定對象的實例缺失特性，又實現(xiàn)了對不確定對象的進一步處理。引入其他研究方向，比如模糊集、粗糙集等對不確定的研究的，已有的研究成果，是一種新的，研究不確定數(shù)據(jù)挖掘的思路。不確定數(shù)據(jù)相對于傳統(tǒng)確定數(shù)據(jù)，區(qū)別在于不確定數(shù)據(jù)增加了概率維度。學者們通過，概率密度函數(shù)對數(shù)據(jù)的不確定性進行描述，從而實現(xiàn)對不確定數(shù)據(jù)的處理。新的，針對數(shù)據(jù)不確定性模型的研究，將會是不確定數(shù)據(jù)挖掘的接下來的研究方向之一。

U-Vague集模型與Vague集的重要的區(qū)別在于，U-Vague集元素不限于，論域中確定單一元素，而是由論域生成的等距集合邏輯單元，即實例集合區(qū)間。這個突破，對Vague集的廣義化，以及模糊集的廣義化提供了一個新的思路。

6 總結(jié)

文章首先對不確定對象可能世界實例缺失進行了介紹，在詳細闡述U-Vague集模型之前，對Vague集模型的定義進行了概述。通過定義實例集合區(qū)間、實例二元組、區(qū)間二元組等定義，詳細地闡述了U-Vague集模型的定義。緊接著，利用實例演示了U-Vague集模型的建立過程。文章提出了，U-Vague集之間的距離公式，并在實驗分析中對，U-Vague集模型以及U-Vague集模型之間距離公式的有效性進行了驗證。最后，對不確定數(shù)據(jù)以及Vague集的研究，做出了展望。

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