不確定分?jǐn)?shù)階Colpitts系統(tǒng)的混沌同步研究

李賢麗,竇雪瑩,趙昱陽

(東北石油大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

不確定分?jǐn)?shù)階Colpitts系統(tǒng)的混沌同步研究

李賢麗,竇雪瑩,趙昱陽

(東北石油大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在信息加密等領(lǐng)域具有廣泛的研究價值。通過理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真兩方面的研究，采用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理，對選取的分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌Colpitts振蕩電路系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并計(jì)算出了該系統(tǒng)處于混沌態(tài)時的階數(shù)范圍。研究結(jié)果證明，當(dāng)系統(tǒng)作混沌運(yùn)動時，其混沌吸引子的形態(tài)存在特殊的演變過程，逐漸從單渦卷混沌吸引子演變?yōu)槎鄿u卷混沌吸引子。將自適應(yīng)技術(shù)和參數(shù)辨識技術(shù)應(yīng)用到混沌系統(tǒng)的同步控制中，在參數(shù)不確定的情況下，基于Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了合理的控制器和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律。利用不確定參數(shù)的自適應(yīng)同步法，分別實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)在階數(shù)相同和階數(shù)不同兩種情況下的完全同步以及對未知參數(shù)的辨識。該結(jié)果對于參數(shù)未知混沌系統(tǒng)的同步研究具有重要意義。

信息安全； 自適應(yīng)技術(shù)； 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)； Colpitts系統(tǒng)； Lyapunov穩(wěn)定性理論

0 引言

近年來，人們熱衷于對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究。在信息安全、保密通信等領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)正成為非線性科學(xué)應(yīng)用的新方向[1]，而混沌系統(tǒng)的同步控制技術(shù)是應(yīng)用過程中需要解決的關(guān)鍵問題。到目前為止，已提出許多同步方法，如驅(qū)動-響應(yīng)控制法[2]、自適應(yīng)控制法[3-5]和滑?？刂品╗6]等。上述方法都只是針對確定性系統(tǒng)進(jìn)行的研究，對不確定性系統(tǒng)的同步[7-10]研究卻很少，但不確定性系統(tǒng)在實(shí)際中應(yīng)用廣泛。因此，本文選取分?jǐn)?shù)階的Colpitts振蕩電路系統(tǒng)為研究對象，對系統(tǒng)隨參數(shù)變化的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行研究，并且采用自適應(yīng)同步法，對分?jǐn)?shù)階混沌的不確定性系統(tǒng)，分別實(shí)現(xiàn)了階數(shù)相同和階數(shù)不同兩種情況下的同步。

1 分?jǐn)?shù)階混沌Colpitts系統(tǒng)分析

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

(1)

式中：m為正整數(shù)；a>0；Γ(·)為Gamma函數(shù)。

根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定定理，通過理論計(jì)算求解分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在混沌狀態(tài)時的階數(shù)范圍。采用預(yù)估-校正解法，對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，全面了解系統(tǒng)的參數(shù)、階數(shù)等因素對其動力學(xué)性能的影響。

1.2Colpitts振蕩電路系統(tǒng)模型

對典型Colpitts振蕩電路系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)歸一化處理[11]，并引入分段線性三角波函數(shù)[12]，再增添一維線性控制器，簡化參數(shù)后可得到多渦卷混沌Colpitts系統(tǒng)。本文研究Colpitts系統(tǒng)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可描述為：

(2)

式中：α1,α2,α3,α4∈(0,1)。

(3)

式中：K為正整數(shù);p>0;q∈(0,p)。

分段線性三角波函數(shù)曲線圖(N=3)如圖1所示。

圖1 分段線性三角波函數(shù)曲線圖(N=3)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，通過對比系統(tǒng)隨參數(shù)q變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜可知，q值越小，混沌吸引子所形成的渦卷分布越均勻。因此，本文選取q=0.02p。

1.3 動力學(xué)性質(zhì)分析

選取分?jǐn)?shù)階混沌Colpitts系統(tǒng)中的分段線性三角波函數(shù)的參數(shù)為M=2、N=1、p=1、q=0.02，系統(tǒng)初值為(0.2,0.2,0,0)，利用預(yù)估-校正解法，對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到的系統(tǒng)狀態(tài)變量隨參數(shù)μ變化的分岔圖如圖2所示。

圖2 分岔圖

當(dāng)μ分別為0.4和1時，系統(tǒng)二維相圖如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)二維相圖

當(dāng)μ=(1,2]時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)，分別取參數(shù)μ=1.11、μ=1.13、μ=1.39，并對這些參數(shù)下的混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真。從所得到的二維相圖可以觀察到，隨著參數(shù)的變化，混沌吸引子的形態(tài)也發(fā)生了明顯的變化，在平面x-y上，其由單渦卷向五渦卷演變，具體形態(tài)變化如圖4所示。

圖4 x-y平面上二維相變化圖

在平面y-w上，混沌吸引子由(1×3)渦卷向(5×3)渦卷演變，具體形態(tài)變化如圖5所示。

圖5 y-w平面上二維相變化圖

對分?jǐn)?shù)階混沌Colpitts系統(tǒng)的穩(wěn)定定態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣為:

(4)

(5)

令混沌系統(tǒng)中各狀態(tài)變量對時間的導(dǎo)數(shù)均為0，可得fM(y)=0、fN(w)=0、z=0、x=-y，進(jìn)而求得平衡點(diǎn)以及平衡點(diǎn)處的特征方程。根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)，利用數(shù)值計(jì)算可知，當(dāng)參數(shù)滿足μ>0.626 3時[13]，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

由分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性定理可知，要確保系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸進(jìn)穩(wěn)定，需要滿足特征根(λ1,λ2,λ3,λ4)均在|arg(λ1)|>πα/2、α=max(q1,q2,q3,q4)=1,2,3,4條件下成立。通過數(shù)值計(jì)算可得，當(dāng)分?jǐn)?shù)階超混沌Colpitts系統(tǒng)的階數(shù)為(q1,q2,q3,q4)∈[0.919 1,1)時，滿足條件。

2 分?jǐn)?shù)階混沌Colpitts系統(tǒng)的同步

2.1 相同階數(shù)情況

設(shè)定式(2)為驅(qū)動系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)可以描述為：

(6)

設(shè)系統(tǒng)誤差變量e1=x2-x1、e2=y2-y1、e3=z2-z1、e4=w2-w1，由此可得誤差系統(tǒng)為：

(7)

根據(jù)驅(qū)動系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(6)，為了保證誤差系統(tǒng)(7)在t→∞時漸進(jìn)穩(wěn)定，可以對控制變量和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)率分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，如式(8)所示：

(8)

選取估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律為：

(9)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判定定理可知，在選取合適的控制變量和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律的情況下，誤差系統(tǒng)趨于0，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)同步。

基于改進(jìn)的Adams-Bashforth-Moulton理論算法，分別選取驅(qū)動系統(tǒng)初值為x1(0)=0.2、y1(0)=0.2、z1(0)=0、w1(0)=0,響應(yīng)系統(tǒng)初值為x2(0)=-0.6、y2(0)=-0.45、z2(0)=1、w2(0)=2，估計(jì)參數(shù)初值為μ(0)=0.01，系統(tǒng)階數(shù)取α1=α2=α3=α4=0.92。階數(shù)相同時的同步仿真結(jié)果如圖6所示。隨著時間的變化，在控制變量和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)率的共同作用下，兩系統(tǒng)間的誤差逐漸趨于0，未知參數(shù)μ也逐漸趨于給定值，從而實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間的同步。

圖6 階數(shù)相同時的同步仿真結(jié)果

2.2 不同階數(shù)情況

定義驅(qū)動系統(tǒng)為：

(10)

式中：β1,β2,β3,β4∈(0,1]。

由分?jǐn)?shù)階微積分定義及以上定理，對上式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以得到：

(11)

經(jīng)過如上轉(zhuǎn)換，不同階數(shù)混沌Colpitts系統(tǒng)的同步問題就轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗤A數(shù)的異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)(2)和(11)之間的同步問題。

在響應(yīng)系統(tǒng)(2)中加入控制變量μ=[μ1,μ2,μ3,μ4]T。設(shè)系統(tǒng)誤差變量為e1=x1-x3、e2=y1-y3、e3=z1-z3、e4=w1-w3，由此可得到誤差系統(tǒng)：

(12)

同理，分別設(shè)計(jì)誤差系統(tǒng)(12)的控制變量和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)率：

(13)

(14)

將控制器和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律代入誤差系統(tǒng)，整理后，驗(yàn)證了此設(shè)計(jì)的合理性。

分別選取驅(qū)動系統(tǒng)初值x3(0)=-0.285、y3(0)=-0.255、z3(0)=1、w3(0)=2，階數(shù)β1=β2=β3=β4=0.919 7，響應(yīng)系統(tǒng)初值x1(0)=0.2、y1(0)=0.2、z1(0)=0、w1(0)=0，階數(shù)α1=α2=α3=α4=0.92，估計(jì)參數(shù)初值為μ(0)=0.01。階數(shù)不同時的同步仿真結(jié)果如圖7所示。隨著時間的變化，在控制變量和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)率的共同作用下，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間的誤差逐漸趨于0，未知參數(shù)μ也逐漸趨于給定值，從而實(shí)現(xiàn)了同步。

圖7 階數(shù)不同時的同步仿真結(jié)果

3 結(jié)束語

本文對分?jǐn)?shù)階Colpitts混沌系統(tǒng)進(jìn)行了理論分析和數(shù)值計(jì)算，得出系統(tǒng)隨著參數(shù)的變化，存在穩(wěn)定態(tài)、周期態(tài)和混沌態(tài)等多種運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)階數(shù)的取值范圍為(q1，q2，q3，q4)∈[0.919 2,1]時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)，且系統(tǒng)混沌吸引子的形態(tài)在各個平面上表現(xiàn)出明顯的變化趨勢，由單渦卷逐漸演變?yōu)槎鄿u卷。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)不確定時，基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，構(gòu)造控制器和估計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律。利用自適應(yīng)同步法，分別實(shí)現(xiàn)了相同階數(shù)和不同階數(shù)兩種情況下的分?jǐn)?shù)階混沌Colpitts振蕩電路系統(tǒng)的完全同步。所得到的仿真結(jié)果證明了該方法的有效性以及設(shè)計(jì)的合理性。

[1] ARMAN K B,KIA F,NASER P,et al.A chaotic secure communication scheme using fractional chaotic system based on an extended fractional Kalman filter[J].Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14(3):863-879.

[2] LI C,DENG W.Chaos synchronization of fractional-order differential systems[J].International Journal of Modern Physics B,2006,20(7):791-803.

[3] ZHANG R X,YANG S P.Adaptive synchronization of fractional-order chaotic systems via a single driving variable[J].Nonlinear Dynamics,2011,66(4):831-837.

[4] ODIBAT,ZAID M.Adaptive feedback control and synchronization of nonidentical chaotic fractional-order systems[J].Nonlinear Dynamics,2010,60(4):479-487.

[5] ZHANG R,YANG S.Stabilization of fractional-order chaotic system via a single state adaptive-feedback controller[J].Nonlinear Dynamics,2012,68(1):45-51.

[6] CHEN D,LIU Y,MA X,et al.Control of a class of fractional-order chaotic systems via sliding mode[J].Nonlinear Dynamics,2012,67(1):893-901.

[7] 金鑫,江銘炎.基于非線性控制的異結(jié)構(gòu)混沌同步控制[J].山東大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2007,37(5):78-83.

[8] DAS S.A modified adaptive control method for synchronization of some fractional chaotic systems with unknown parameters[J].Nonlinear Dynamics,2013,73(1),907-919.

[9] 黃麗蓮,齊雪.基于自適應(yīng)滑?？刂频牟煌S分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步[J].物理學(xué)報,2013,62(8):53-59.

[10]董俊,張廣軍,姚宏,等.異結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)函數(shù)投影同步及參數(shù)辨識[J].電子與信息學(xué)報,2013,35(6):1371-1375.

[11]MAGGIO G,FEO O,KENNEDY M.Nonlinear analysis of the colpitts oscillator and applications to design[J].IEEE Transactions on CAS,1999,46(9):1118-1130.

[12]禹思敏.用三角波序列產(chǎn)生三維多渦卷混沌吸引子的電路實(shí)驗(yàn)[J].物理學(xué)報,2005,54(4):1500-1509.

[13]包伯成,劉中,許建平,等.基于Colpitts振蕩器模型生成的多渦卷超混沌吸引子[J].物理學(xué)報,2010,59(3):1540-1548.

Research on the Chaotic Synchronization for the Fractional-Order Colpitts System with Uncertain Parameters

LI Xianli,DOU Xueying,ZHAO Yuyang

(College of Electronics Science,Northeast Petroleum University,Daqing 163318，China)

In information encryption field，the fractional-order chaotic systems have extensive research value.Through the research on theoretical derivation and numerical simulation,by adopting the stability theorem of fractional-order system,the dynamics characteristics of the selected fractional-order multi-scroll chaotic Colpittsoscillation circuit system are analyzed in detail,and the range of the orders in which the systemis in a chaotic state is calculated.The results of research show that when the system is in chaotic motion,the form of the chaotic attractor has a specific transformation process;the single-scroll chaotic attractor gradually turns into multi-scroll chaotic attractor.Adaptive control technology and parameter identification technology are used in the synchronous control of chaotic systems,in the case of uncertain parameters,and based on the Lyapunov stability theory;a reasonable controller is designed,and the parameter adaptive laws are estimated.By using the adaptive synchronization under uncertain parameters,the full synchronization of the fractional-order chaotic systems with the same order and a different order and the identification of the unknown parameter are realized respectively.The results are more useful for researching the synchronization of chaotic systems with unknown parameters.

Information security; Adaptive technology; Fractional-order system; Colpitts system; Lyapunov stability theory

黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A201402)、黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究基金資助項(xiàng)目(12541064)

李賢麗(1971—)，女，博士，教授，主要從事非線性動力學(xué)及混沌控制方向的研究。E-mail:lxl7158@163.com。 竇雪瑩(通信作者)，女，在讀碩士研究生，主要從事分?jǐn)?shù)階混沌同步方向的研究。E-mail:735714684@qq.com。

TH13；TP273

A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201703006

修改稿收到日期：2016-11-29